高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1讲义.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.4.2,正弦函数、余弦函数性质,(,一,),1/45,2/45,1.,函数周期性,(1),周期函数：对于函数,f(x),假如存在一个,_,常数,T,使得,当,x,取定义域内每一个值时,都有,_=f(x).,这个函数,周期为,_.,(2),最小正周期：假如在周期函数,f(x),全部周期中存在一个,最小,_,那么这个最小,_,就叫做,f(x),最小正周期,.,非零,f(x+T),T,正数,正数,3/45,2.,正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性,函数,y=sin x,y=cos x,周期,2k(kZ,且,k0),2k(kZ,且,k0),最小正周期,_,_,奇偶性,_,_,2,2,奇函数,偶函数,4/45,1.,判一判,(,正确打“”，错误打“,”),(1),因为 则 是函数,y=sin x,一个周期,.,(),(2),因为 所以函数 周期为,4.,(),(3),函数 是奇函数,.(),(4),10,是函数,y=sin x,一个周期,.(),5/45,【,解析,】,(1),错误,.,因为对于函数,y=f(x),使,y=f(x+T)=f(x),成立,x,必须取定义域内每一个值才能够,即,x,含有任意性,.,(2),错误,.,因为 所以函数,周期为,6.,(3),正确,.,由奇偶性定义可知此函数是奇函数,.,(4),正确,.,因为,y=sin(x,10)=sin x,，由周期函数定义可,知,10,为函数,y=sin x,一个周期,.,答案：,(1)(2)(3)(4),6/45,2.,做一做,(,请把正确答案写在横线上,),(1),函数 最小正周期为,_.,(2),函数 最小正周期为,_,_,_.,(3),函数 是,_,函数,.(,填“奇”或“偶”,),7/45,【,解析,】,(1),因为 所以由周期函数定义,可知，原函数最小正周期为,2.,答案：,2,(2),因为 所以由周期函数,定义可知，函数 最小正周期为,8.,答案：,8,(3),因为 所以此函数为偶函数,.,答案：,偶,8/45,【,关键点探究,】,知识点,1,函数周期性,1.,关于函数周期了解,(1),存在一个不等于零常数,T.,(2),对于定义域内每一个值,x,都有,x+T,属于这个定义域,.,(3),满足,f(x+T)=f(x).,9/45,2.,对周期函数三点说明,(1),并不是每一个函数都是周期函数,若函数含有周期性,则其周期也不一定唯一,.,(2),假如,T,是函数,f(x),一个周期,则,nT(nZ,且,n0),也是,f(x),周期,.,(3),在周期函数,y=f(x),中，若,xD,，则,x+nTD(nZ).,从而要求周期函数定义域一定为无限集，且无上下界,.,10/45,3.,对函数最小正周期两点说明,(1),最小正周期是指能使函数值重复出现自变量,x,要加上那个最小正数,这个正数是对,x,而言,如,y=sin 2x,最小正周期是,因为,y=sin(2x+2)=sin 2(x+),即,是使函数值重复出现自变量,x,加上最小正数,是对,x,而言,而非,2x.,(2),并不是全部周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数,f(x)=c,任一个正实数都是它周期,因而不存在最小正周期,.,11/45,【,微思索,】,假如,2,是函数,y=f(x),一个周期,那么全部,2k(kZ),也是它周期吗,?,提醒：,不一定,.,当,k=0,时,2k,不一定是它周期,.,12/45,【,即时练,】,关于周期函数以下说法正确是,_.,周期函数定义域能够是有限集；,周期函数周期只有唯一一个；,周期函数周期能够有没有数多个；,周期函数周期可正可负,.,【,解析,】,由周期函数定义可得是错误，是正确,.,答案：,13/45,知识点,2,正弦、余弦函数周期性与奇偶性,1.,对正弦函数、余弦函数周期性两点说明,(1),由正弦函数图象和周期函数定义可得：正弦函数是周期函数，,2k(kZ,且,k0),都是它周期，最小正周期为,2.,(2),余弦函数也是周期函数，,2k(kZ,且,k0),都是它周期，最小正周期为,2.,14/45,2.,正弦函数、余弦函数奇偶性,(1),正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反应在图象上,正弦曲线关于原点,O,对称,余弦曲线关于,y,轴对称,.,(2),正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形,.,15/45,【,微思索,】,判断函数奇偶性主要看几个方面？,提醒：,一是看函数定义域是否关于原点对称；二是看,f(x),与,f(,x),关系,.,16/45,【,即时练,】,1.,以下函数中最小正周期为 是,(),A.B.,C.D.y=sin 4x,【,解析,】,选,D.,最小正周期为,6,，和,最小正周期为,4,，,y=sin 4x,最小正周期为,17/45,2.,试判断函数,y=sin(+x),奇偶性,.,【,解析,】,令,y=f(x),，则,f(x)=sin(+x)=-sin x,，,因为,f(,x)=,sin(,x)=,(,sin x)=-f(x),，,f(x),定义域为,R,，所以函数,y=sin(+x),为奇函数,.,18/45,【,题型示范,】,类型一,三角函数周期问题及简单应用,【,典例,1】,(1)(,邯郸高一检测,),以下函数是以,为最小正周期函数是,(),A.y=sin x B.y=sin x+2,C.y=cos 2x+2 D.y=cos 3x,1,(2),求以下函数最小正周期：,19/45,【,解题探究,】,1.,题,(1),中怎样求形如,y=Asin(x+,),或,y=Acos(x+,),函数周期,?,2.,题,(2),中求,y=|sin x|,最小正周期应先对函数作怎样处理,?,【,探究提醒,】,1.,对形如,y=Asin(x+,),或,y=Acos(x+,),函数可经过周期函数定义或公式来求其周期,.,2.,对形如,y=|sin x|,函数可去掉绝对值号，经过作出其图象,观察得周期,.,20/45,【,自主解答,】,(1),选,C.y=sin x,及,y=sin x+2,最小正周期为,2,，,y=cos 2x+2,最小正周期为,，,y=cos 3x,1,最小正,周期为 所以选,C.,(2),方法一：,所以最小正周期为,.,21/45,方法二：,作图以下：,观察图象可知最小正周期为,.,22/45,【,延伸探究,】,将本例,(2),中,y=|sin x|,改为,y=sin|x|,，是否还是周期函数？,【,解析,】,作出函数,y=sin|x|,图象，如图所表示：,由图象知，此函数不是周期函数,.,23/45,【,方法技巧,】,求三角函数周期方法,(1),定义法，即利用周期函数定义求解,.,(2),公式法，对形如,y=Asin(x+,),或,y=Acos(x+,)(A,是常数，,A0,0),函数，,(3),观察法，即经过观察函数图象求其周期,.,24/45,【,变式训练,】,(,陕西高考,),函数,f(x)=,最小,正周期是,(),A.B.,C.2,D.4,【,解题指南,】,直接利用余弦函数周期公式 求出它,最小正周期即可,.,【,解析,】,选,B.,故,B,正确,.,25/45,【,赔偿训练,】,1.(,烟台高一检测,),若,f(x),是以 为周期,函数，则,=_.,【,解析,】,答案：,-1,26/45,2.,已知,f(n)=(nN,*,),，则,f(1)+f(2)+f(3)+f(100),=_.,【,解析,】,f(1)=,f(2)=,f(4)=cos=,1,，,故,f(1)+f(2)+f(3)+,+f(8)=0,，,所以,f(n)=(nN,*,),周期为,8,，,所以,f(1)+f(2)+f(3)+,+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=,1.,答案：,1,27/45,类型二,三角函数奇偶性判定,【,典例,2】,(1),以下函数中为偶函数是,(),A.y=sin|x|B.y=sin 2x,C.y=,sin x D,y=sin x+1,(2)(,沧州高一检测,),函数,y=4sin(2x+),图象关于,(),A.x,轴对称,B.,原点对称,C.y,轴对称,D.,直线 对称,(3),判断函数 奇偶性,.,28/45,【,解题探究,】,1.,题,(1),中函数应满足什么条件才为偶函数？,2.,题,(2),中在判断选项前需对函数式进行怎样处理？,3.,题,(3),中怎样对函数式 进行化简？,【,探究提醒,】,1.,函数,y=f(x),，对于关于原点对称定义域中,任意,x,，使得,f(,x)=f(x).,2.,利用诱导公式先对函数式化简，然后再判断,.,3.,可利用诱导公式将 化简为,29/45,【,自主解答,】,(1),选,A.y=sin|x|,定义域为,R,，且,sin|-x|,=sin|x|,，所认为偶函数,.,(2),选,B.,因为,y=4sin(2x+)=,4sin 2x,，所以,y=4sin(2x+),为奇函数，故图象关于原点对称,.,(3),因为,函数定义域为,R,，,所以,所以函数 为偶函数,30/45,【,方法技巧,】,判断函数奇偶性应把握好两个关键点,关键点一是看函数定义域是否关于原点对称；,关键点二是看,f(x),与,f(,x),关系,.,对于三角函数奇偶性判断,有时可依据诱导公式先将函数式化简后再判断,.,31/45,【,变式训练,】,(,开封高一检测,),判断,f(x)=lg(sin x+,奇偶性,.,【,解题指南,】,利用函数奇偶性定义，结合对数运算性质化简并判断,.,32/45,【,解析,】,函数定义域为,R,，,因为,f(,x)=,所以函数 为奇函数,33/45,【,赔偿训练,】,函数,f(x)=xsin(-x),奇偶性为,(),A.,奇函数,B.,偶函数,C.,既是奇函数又是偶函数,D.,非奇非偶函数,【,解析,】,选,B.,函数,f(x)=x,sin(-x),定义域为,R,，,因为,f(x)=x,sin(-x)=x,sin x,所以,f(-x)=(-x),sin(-x)=x,sin x=f(x),所以函数,f(x)=x,sin(-x),是偶函数,.,34/45,类型三,三角函数奇偶性与周期综合应用,【,典例,3】,(1)f(x),是以,2,为周期奇函数，若 则 值为,(),A.1 B.,1 C.D.,(2)(,大同高一检测,),若,f(x),为奇函数，当,x0,时，,f(x)=x,2,sin x,，求当,x0,时解析式，求,x0,解析式时怎样利用,已知解析式？,【,探究提醒,】,1.,2.,设,x0,故可利用,x0,时解析式,.,36/45,【,自主解答,】,(1),选,B.,因为,f(x),是以,2,为周期奇函数，,所以,所以,(2),当,x0,，,f(,x)=(,x),2,sin(,x)=x,2,+sin x,，,因为,f(x),为奇函数，,所以,f(x)=,f(,x)=,x,2,sin x,，,即当,x0,时，,f(x)=,x,2,sin x.,37/45,【,方法技巧,】,三角函数周期性与奇偶性解题策略,(1),探求三角函数周期，惯用方法是公式法，即将函数化为,y=Asin(x+,),或,y=Acos(x+,),形式，再利用公式求解,.,(2),判断函数,y=Asin(x+,),或,y=Acos(x+,),是否具备奇偶性，关键是看它能否经过诱导公式转化为,y=Asin x(A0),或,y=Acos x(A0),其中一个,.,38/45,【,变式训练,】,(,宿州高一检测,),定义在,R,上函数,f(x),既,是偶函数又是周期函数，若,f(x),最小正周期是,，且当,x,时，,f(x)=sin x,求 值,.,【,解析,】,因为,f(x),最小正周期为,且为偶函数，,所以,39/45,【,赔偿训练,】,已知定义在,R,上奇函数,f(x),满足,f(x+2)=-f(x),求,f(6),值,.,【,解析,】,由,f(x+2)=-f(x),，可知,f(x),周期为,4,，,所以,f(6)=f(2),又,f(2)=f(0+2)=-f(0)=0,所以,f(6)=0.,40/45,【,易错误区,】,判断函数奇偶性时忽略函数定义域致误,【,典例,】,函数 奇偶性为,(),A.,奇函数,B,既是奇函数也是偶函数,C.,偶函数,D.,非奇非偶函数,.,41/45,【,解析,】,选,D.,由题意知,当,1,sin x0,即,sin x1,时，,所以函数定义域为,因为定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数,.,42/45,【,常见误区,】,错解,错因剖析,选,A,化简之后因为只考虑阴影处sin x形式而忽略了定义域以及绝对值号从而误判为奇函数,选,C,因为只强调阴影处变形，重点考虑了绝对值符号而忽略了函数定义域，从而造成判断失误,43/45,【,防范办法,】,准确判断函数奇偶性,这类问题普通是按函数奇偶性定义加以判断,判断奇偶性要本着定义域优先标准，同时若要化简,应注意化简前后等价性,如本例,若化为,y=|sin x|,则易出现判断该函数为偶函数错误,.,44/45,【,类题试解,】,函数 在定义域内是,(),A.,奇函数,B.,偶函数,C.,既是奇函数又是偶函数,D.,非奇非偶函数,【,解析,】,选,C.,由,lgcos x0,得,cos x1,又,cos x1,所以,cos x=1,即,x=2k,kZ,从而函数定义域为,x|x=2k,kZ,定义域关于原点对称,此时 所以该函数既是奇函数又是偶函数,.,45/45,