不定积分-(公式大全).pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 不定积分,5.1 原函数与不定积分概念,一、原函数与不定积分,经过对求导和微分学习，我们能够从一个函数,yf(x)出发，去求它导数f(x),那么，我们能不能从一个函数导数f(x)出发，,反过来去求它是哪一个函数(原函数)导数呢?,定义,已知f(x)是定义在某区间上一个函数，假如存在函数F(x)，使得在该区间上任何一点x处都有F(x)f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上一个原函数。,第1页,例1 求以下函数一个原函数：,f(x)2x f(x)cosx,解：(x,2,)2x,x,2,是函数2x一个原函数,(sinx)cosx,sinx是函数cosx一个原函数,这里为何要强调是一个原函数呢?因为一个函数,原函数不是唯一。,比如在上面中，还有(x,2,1)2x，,(x,2,1)2x,所以 x,2,、x,2,1、x,2,1、x,2,C(C为任意常数),都是函数f(x)2x原函数。,第2页,定理5.1,设F(x)是函数f(x)在区间I上一个原函数，,C是一个任意常数，那么，,F(x)C也是f(x),在该区间I上,原函数,f(x),该在区间I上全体原函数能够表示,为F(x)C,证实：,F(X)CF(x)(C)f(x),F(x)C也是f(x)原函数,略,第3页,这说明,函数f(x)假如有一个原函数F(x)，那么它,就有没有穷多个原函数,，,它们都能够表示为F(x)C,形式。,定义5.2,函数f(x)全体原函数叫做函数f(x)不定积分，,记作f(x)dx，,其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积,分变量。,求函数f(x)不定积分就是求它全体原函数，,所以，f(x)dxF(x)C,其中C是任意常数，叫做积分常数。,第4页,例2 求以下不定积分,x,5,dx sinxdx,解：,是x,5,一个原函数,cosx是sinx一个原函数,第5页,二、不定积分几何意义,设F(x)是函数f(x)一个原函数，则曲线yF(x),称为f(x)一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把曲,线yF(x)上下平移所得到曲线族。所以，不定积分,几何意义是指由f(x)全体积分曲线组成积分曲,线族。,例4 求斜率为2x且经过点(1,0)曲线。,解：设所求曲线为yf(x)，则f(x)2x，,故yx,2,C，,曲线过点(1,0)以x1、y0代入得01,2,C，,解得C1，,所以，所求曲线为yx,2,1。,第6页,三、基本积分公式,因为积分运算是求导运算逆运算，所以由基本,求导公式反推，可得基本积分公式,dxxC x,dx (-1),e,x,dxe,x,C,sinxdxcosxC cosxdxsinxC,sec,2,xdxtanxC csc,2,xdxcotxC,第7页,说明：冪函数积分结果能够这么求，先将被积函数,指数加1，再把指数倒数放在前面做系数。,注意,不能认为 arcsinxarccosx，他们之间,关系是 arcsinx2arccosx,第8页,四、不定积分性质,f(x)dxf(x),该性质表明，假如函数f(x)先求不定积分再求导，,所得结果仍为f(x),F(x)dxF(x)C,该性质表明，假如函数F(x)先求导再求不定积分，,所得结果与F(x)相差一个常数C,kf(x)dxkf(x)dx(k为常数),该性质表明，被积函数中不为零常数因子能够,提到积分号前面,f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx,该性质表明，两个函数和或差不定积分等于,这两个函数不定积分和或差,第9页,五、基本积分公式应用,例7 求(9x,2,8x)dx,解：(9x,2,8x)dx9x,2,dx8xdx,33x,2,dx42xdx3x,3,4x,2,C,例11 求3,x,e,x,dx,第10页,5.2 不定积分计算,一、直接积分法,对被积函数进行简单恒等变形后直接用,不定积分性质和基本积分公式即可求出不定,积分方法称为直接积分法。,利用直接积分法能够求出一些简单函数,不定积分。,第11页,第12页,一、第一换元法(凑微分法),假如被积函数自变量与积分变量不相同，,就不能用直接积分法。,比如求cos2xdx，被积函数自变量是2x，,积分变量是x。,这时，我们能够设被积函数自变量为u，,假如能从被积式中分离出一个因子u(x)来，,那么依据f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C,就能够求出不定积分。,这种积分方法叫做,凑微分法,。,第13页,讲解例题,例2 求2sin2xdx,解：设u2x，则du2dx,2sin2xdxsin2x2dxsinudu,cosuCcos2xC,注意：最终结果中不能有u，一定要还原成x。,解：设ux,2,1，则du2xdx,第14页,解：设ux,2,，则du2xdx,设ucosx，则du-sinxdx,第15页,当计算熟练后，换元过程能够省去不写,。,例 求sin,3,xcosxdx,解：sin,3,xcosxdxsin,3,xd(sinx)sin,4,xC,第16页,二、第二换元积分法,比如，求 ，把其中最难处理部分换,元，令 则原式 ，再反解xu,2,1，,得dx2udu，代入,这就是,第二换元积分法,。,第17页,(1)假如被积函数含有 ，能够用xasint换元。,(2)假如被积函数含有 ，能够用xatant换元。,第18页,(3)假如被积函数含有 ，能够用xasect换元。,第19页,以下结果能够作为公式使用：,tanxdxln|secx|C,cotdxln|cscx|C,secxdxln|secxtanx|C,cscxdxln|cscxcotx|C,第20页,5.3 分部积分法,一、分部积分公式,考查函数乘积求导法则：,u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),两边积分得,u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx,于是有,u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx,或表示成,u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x),这一公式称为,分部积分公式,。,第21页,二、讲解例题,例1 求xe,x,dx,解:令 u(x)x，v(x)e,x,则原式为u(x)v(x)dx形式,(e,x,)e,x,v(x)e,x,，,由分部积分公式有,xe,x,dxxe,x,e,x,dxxe,x,e,x,C,例2 求xcos2xdx,解：令 u(x)x，v(x)cos2x，则v(x)sin2x,于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx,xsin2x cos2xC,第22页,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使,用几次分部积分公式才能够求出结果。,例5：求x,2,e,-2x,dx,解：令u(x)x,2,，v(x)e,-2x,，则v(x),于是,第23页,由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数,次数能够降低一次。假如所得到积分式还需要用分,部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。,为了简化运算过程，下面介绍:,三、分部积分法列表解法,比如：求 x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导 +积分,2x -cosx,x,2,sinxdx-x,2,cosx-2x(-cosx)dx,第24页,分部积分法列表解法,比如：求 x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导,积分,2x,-cosx,x,2,sinxdx,-x,2,cosx2xcosxdx,-x,2,cosx2xsinx,-2sinxdx,求导,积分,-sinx,-x,2,cosx2xsinx,2cosxC,求导,积分,+cosx,第25页,例4,：求xlnxdx,x lnx,求导 积分,1,?,这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。,把lnx放在左边用分部积分法解,：,lnx x,求导 +积分,-,第26页,普通标准,对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，,指数函数、三角函数应放在右边。,有些单独一个函数不定积分也要用分部,积分法解。,例3：求lnxdx,lnx 1,求导 +积分,-x,=xlnxdx=xlnxxC,第27页,例6求arcsinxdx,arcsinx 1,求导 +积分,-x,例7,1,求导 积分,x,第28页,例8 求e,x,sin3xdx,解：e,x,sin3xdxe,x,sin3x3e,x,cos3xdx,e,x,sin3x3e,x,cos3x9e,x,sin3xdx,移项得,e,x,sin3xdx e,x,(si3nx3cos3x)C,5.4 有理函数积分法,一、有理函数定义,有理函数是指分子、分母都是多项式分,式函数，形如,第29页,二、真分式部分分式分解,设分子次数为n，分母次数为m。,当nm时，该分式称为真分式；,当nm时，该分式称为假分式。,假分式能够写成多项式与真分式和。,这里主要讲解真分式部分分式分解。,例分解 成部分分式,解：因为分母含有(x1)三重因式，所以设,第30页,等式右边通分后得,比较等式两边分子各项系数得,1解得：1,3202,30 1,1 2,这种方法称为待定系数法,第31页,几个简单分式积分法,一、,第32页,二、,1.当分子不含一次项时,因为分母中p,2,-4q0，所以分母能够配方成(x-m),2,+n,2,，,再深入，还能够化成,第33页,第34页,2.,当分子含有一次项时，可将分子凑成份母导数与另一常数之和再分别积分。,第35页,三、分母能够因式分解有理函数,1.若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和,2.,对于真分式，先将分母因式分解，再用待定系数法化为部分分式之和,3.,对每个最简分式分别求不定积分。,第36页,第37页,再如前面举过例子,求,第38页,作业,P.253 1，2，4,P.267 2(23)(25),P.273 1 8,P.279 1,4,9,第39页,