微积分下册总复习.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,总 复 习,第1页,1、多元函数定义、极限及连续性,确定极限,不存在,方法,(1),此时即可断言极限不存在。,找两种不一样趋近方式,但二者不相等,存在,第七章 多元函数微分学,第2页,2、偏导数与,全微分,第3页,可 微,连 续,偏导数连续,偏导存在,第4页,若不存在，则不可微，,不然转下一步；,若为0，则可微，,不然不可微。,第5页,3、复合函数求导法,则复合函数,第6页,(1)一个方程情形(二元方程、三元方程),4、,隐函数求导法,隐函数存在定理1,设,某一邻域内满足:,在点,则方程,某一邻域内,并有,(1),含有连续偏导数,;,它,满足,条件,在点,恒能,唯一,确定一个,连续且含有连续导数,函数,第7页,第8页,(2)方程组情形,隐函数个数=方程个数,隐函数自变量个数=总自变量个数 方程个数,第9页,5.多元函数微分学几何应用,(1)空间曲线切线与法平面(三种情形),(2)空间曲面切平面与法线(三种情形),6.方向导数与梯度,方向导数,梯度,*,*,第10页,方向导数与梯度关系,函数沿梯度方向方向导数最大(即增加最快)，且方向导数最大值为梯度模。,7.多元函数极值与最值,(1)极值必要条件,极值充分条件,(2)求条件极值方法,代入法，Lagrange乘数法,*,第11页,(3)求最值方法,1.求,D,内全部驻点和不可导点；,2.用求条件极值方法(Lagrange乘数法或代入法)求,D,边界上条件极值点；,3.求,D,边界边界点；,4.计算上面三步求出全部点函数值，最大者即为,D,上最大值，最小者即为最小值。,第12页,1.,了解二重积分、三重积分概念,第八章 重积分,2.,掌握二重积分计算法(直角坐标、极,3.会用重积分求一些几何量与物理量.,了解,重积分性质.,了解三重积分计算法（直角坐标、,坐标)，,柱面坐标、球面坐标).,第13页,其中,二重积分,是各小闭区域直径中最大值.,几何意义,二重积分,I,表示以,D,为底,柱体体积.,z,=,f,(,x,y,)为曲顶,侧面是,定义,1.,平面上有界闭区域,D,上二元有界函数,z,=,f,(,x,y,)二重积分,2.,当连续函数,以,D,边界为准线,母线平行于,z,轴柱面,曲顶,普通情形,xOy,平面上方曲顶柱体体积,减,xOy,平面下方曲顶柱体体积.,第14页,物理意义,3.,若平面薄片占有平面内有界闭区域,D,则它质量,M,为:,它面,密度为连续函数,性质1(线性运算性质),为常数,则,(重积分与定积分有类似性质),4、,二重积分性质,第15页,性质2,将区域,D,分为两个子域,对积分区域可加性质.,以,1为高,性质3(几何应用),若 为,D,面积,注,既可看成是以,D,为底,柱体体积,.,又可看成是,D,面积.,第16页,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),性质5(估值性质),为,D,面积,则,第17页,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以,D,为底,几何意义,域,D,上连续,为,D,面积,则在,D,上最少存在一点,使得,则曲顶柱,为高平顶柱体体积.,设,f,(,x,y,)在闭区,第18页,(1)设,f,(,x,y,)在有界闭区域,D,上连续.,若,D,关于,则,x,轴对称,f,(,x,y,)对,y,为奇函数,即,f,(,x,y,)对,y,为偶函数,即,则,其中,5、对称区域上奇偶函数积分性质,第19页,(2)设,f,(,x,y,)在有界闭区域,D,上连续.,若,D,关于,则,y,轴对称,f,(,x,y,)对,x,为奇函数,即,f,(,x,y,)对,x,为偶函数,即,则,其中,第20页,其中函数,在区间,a,b,上连续.,(1)直角坐标系,先对,y,后对,x,二次积分,6、二重积分计算,第21页,其中函数,在区间,c,d,上连续.,先对,x,后对,y,二次积分.,第22页,交换积分次序步骤,(1)利用已给二次积分积分限得出对应二重积分积分区域,(2)按相反次序写出对应二次积分.,并画出草图;,第23页,极坐标系中面积元素,(2)极坐标系,其中函数,第24页,其中函数,第25页,极坐标系,下区域,面积,其中函数,第26页,2、三重积分几何意义,3、三重积分性质,类似于二重积分性质,1、三重积分定义,三重积分,第27页,三重积分,对称性质,则称,f,关于变量,z,奇,函数.,关于,坐标面上半部区域.,(偶),第28页,关于,坐标面前半部区域.,三重积分,第29页,关于,坐标面右半部区域.,三重积分,第30页,4、三重积分计算,()直角坐标,第31页,()柱面坐标,注,通常是,先积,再积,后积,第32页,()球面坐标,通常是,注,第33页,5、二重积分应用,(1)体积,设S曲面方程为：,曲面S面积为,(2)曲面面积,第34页,当薄片是均匀，重心称为形心.,(3)重心,第35页,薄片对于,x,轴转动惯量,薄片对于,y,轴转动惯量,(4)转动惯量,第36页,薄片对,轴上单位质点引力,为引力常数,(5)引力,第37页,6、三重积分应用,()重心,第38页,()转动惯量,第39页,第九章 曲线积分与曲面积分,曲线积分性质及两类曲线积分关系.,2.会计算两类曲线积分.,曲线积分与路径无关条件.,1.了解两类曲线积分概念,了解两类,3.掌握格林(Green)公式,会使用平面,第40页,(Gauss)、,5.了解散度、旋度概念及其计算,6.会用曲线积分、,4.了解两类曲面积分概念及高斯,并会,计算两类曲面积分.,斯托克斯(Stokes)公式,方法.,曲面积分求一些,几何量与物理量.,第41页,曲 线 积 分,第一类曲线积分,第二类曲线积分,定义,联络,计,算,三代一定,二代一定,(与方向相关),第42页,格林公式,第43页,与路径无关四个等价命题,条件,等,价,命,题,第44页,思绪,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,第二类曲线积分,计算法,+,L,y,y,x,Q,x,y,x,P,d,),(,d,),(,-,=,D,y,x,y,P,x,Q,I,d,d,),(,第45页,假如曲面方程为以下三种：,第一类曲面积分,曲面积分,则,则,第46页,则,第47页,第二类曲面积分,其中符号当,取上侧时为正，下侧时为负。,其中符号当,取右侧时为正，左侧时为负。,第48页,其中符号当,取前侧时为正，后侧时为负。,注意:,对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧.,第49页,两类关系,第50页,高斯公式,第51页,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场经过有向曲面,通量为,2.通量与散度,G,内任意点处,散度,为,第52页,斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,第53页,斯托克斯(Stokes)公式,第54页,2.旋度,第55页,第二类曲,面积分计算法,1.,利用Gauss公式,含有,则,外侧.,一阶连续偏导数,含有,一阶连续偏导数,则,第56页,2.,上侧为正，下侧为负。,第57页,常数项级数,函数项级数,交,错,级,数,正,项,级,数,幂级数,三角级数,收,敛,半,径,R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任,意,项,级,数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,在收敛 级数与数,条件下 相互转化,第十章 无穷级数,第58页,定义,1、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,第59页,(2)比较审敛法极限形式,第60页,第61页,定义,正、负项相间级数称为交织级数.,2、交织级数及其审敛法,第62页,定义,正项和负项任意出现级数称为任意项级数,.,3、任意项级数及其审敛法,第63页,4、函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,第64页,(3)和函数,第65页,(1)定义,5、幂级数,第66页,(2)收敛性,第67页,推论,第68页,定义:,正数R称为幂级数,收敛半径,.,幂级数收敛域称为幂级数,收敛区间,.,第69页,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数运算,第70页,乘法,(其中,除法,第71页,b.和函数分析运算性质:,第72页,(4),幂级数展开式,第73页,充要条件,唯一性,第74页,展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,依据唯一性,利用常见展开式,经过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式.,第75页,常见函数展开式,第76页,第77页,应用,a.近似计算,b.欧拉公式,第78页,(1)三角函数系,三角函数系,6、傅里叶级数,第79页,(2)傅里叶级数,定义,三角级数,第80页,其中,称为傅里叶级数.,第81页,(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),第82页,(4)正弦级数与余弦级数,第83页,第84页,奇延拓:,(5)周期延拓,第85页,偶延拓:,第86页,第87页,第十一章 微分方程,一阶微分方程,可分离变量方程,齐次方程,(可化为齐次方程方程),一阶线性微分方程,2.可降阶高阶微分方程,Bernoulli方程,全微分方程,4.常系数线性微分方程,(齐次，非齐次),3.线性微分方程解结构,第88页,1、基本概念,微分方程,凡含有未知函数导数或微分方程叫微分方程,微分方程阶,微分方程中出现未知函数最,高阶导数阶数称为微分方程阶,微分方程解,代入微分方程能使方程成为恒等式函数称为微分方程解,第89页,通解,假如,微分方程解中含有任意常数，而且任意常数个数与微分方程阶数相同，这么解叫做微分方程通解,特解,确定了通解中任意常数以后得到解，叫做微分方程特解,初始条件,用来确定任意常数条件.,初值问题,求微分方程满足初始条件解问题，叫初值问题,第90页,(1)可分离变量微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,第91页,齐次方程,不然为非齐次方程,(3)可化为齐次方程,解法,化为齐次方程,是两直线,交点,第92页,(4)一阶线性微分方程,上方程称为齐次,上方程称为非齐次.,齐次方程通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程通解为,（使用常数变易法）,第93页,(5)伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法,需经过变量代换化为线性微分方程,第94页,解法,应用曲线积分与路径无关.,用直接凑,全微分方法.,通解为,其中,形如,(6)全微分方程,用不定积分,方法.,第95页,(7)可化为全微分方程,形如,观察法:,熟记常见函数全微分表示式，经过观察直接找出积分因子,第96页,常见全微分表示式,可选取积分因子,第97页,3、可降阶高阶微分方程解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程,得,第98页,特点,型,解法,代入原方程,得,第99页,4、高阶线性微分方程解结构,(1)齐次线性微分方程解结构,解叠加性：,是方程(1)解，,也是(1)解，其中,第100页,是(1)通解，其中,通解结构：,是方程(1)n个线性无关解,(2)非齐次线性微分方程解结构,第101页,（可推广到n阶非齐次线性微分方程）,解性质：,是非齐次方程(2)两个解,是(2)所对应齐次方程(1)解.,若,设,第102页,是对应齐次方程n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程特解,则非齐次方程,通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,通解结构：,第103页,5、二阶常系数线性,齐次,微分方程解法,特征方程:,实根,（以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）,特 征 根,通 解,第104页,特征方程为,特征根,通解中对应项,n阶常系数齐次线性方程解法：,第105页,6、二阶,常系数线性,非齐次,微分方程,通解为,非齐次方程特解,对应齐次方程通解,特解 待定系数法,第106页,关系,第107页,