高三数学复习第八章立体几何第五节空间向量及其运算理.pptx

,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第五节空间向量及其运算,1/25,1.空间向量相关概念,教材研读,名称,概念,表示,零向量,模为0向量,0,单位向量,长度(模)为1向量,相等向量,方向相同且模相等向量,a,=,b,相反向量,方向相反且模相等向量,a相反向量为-a,共线向量,表示空间向量有向线段所在直线相互平行或重合向量,a,b,共面向量,平行于同一个平面向量,2/25,2.空间向量中相关定理,(1)共线向量定理,空间两个向量,a,(,a,0)与,b,共线充要条件是存在实数,使得,b,=,a,.,推论如图所表示,点,P,在,l,上充要条件是,=,+,ta,(,O,为空间上任意一点).,(*),其中,a,叫直线,l,方向向量,t,R,在,l,上取,=,a,则(*)可化为,=,+,t,3/25,或,=,(1-,t,),+,t,.,(2)共面向量定理,共面向量定理向量表示式:,p,=,xa,+,yb,其中,x,y,R,a,b,为不共线,向量,推论表示式为,=,x,+,y,或对空间任意一点,O,有,=,+,x,+,y,或,=,u,+,v,+,w,其中,u,+,v,+,w,=,1,.,(3)空间向量基本定理,假如向量,e,1,e,2,e,3,是空间三个不共面向量,a,是空间任意一向量,那么存,在唯一一组实数,1,2,3,使得,a,=,1,e,1,+,2,e,2,+,3,e,3,其中,e,1,e,2,e,3,叫做,这个空间一个基底.,4/25,3.空间向量数量积及运算律,(1)数量积及相关概念,(i)两向量夹角,已知两个非零向量,a,b,在空间任取一点,O,作,=,a,=,b,则,AOB,叫做,向量,a,与,b,夹角,记作,其范围是,0,若=,则称,a,与,b,相互垂直,记作,a,b,.,(ii)两向量数量积,已知空间两个非零向量,a,b,则,|,a,|,b,|cos,叫做向量,a,b,数量,积,记作,a,b,即,a,b,=,|,a,|,b,|cos,.,(2)空间向量数量积运算律,结合律:(,a,),b,=,(,a,b,),;,交换律:,a,b,=,b,a,;,分配律:,a,(,b,+,c,)=,a,b,+,a,c,.,5/25,4.空间向量坐标表示及其应用,设,a,=(,a,1,a,2,a,3,),b,=(,b,1,b,2,b,3,).,向量表示,坐标表示,数量积,a,b,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,共线,a,=,b,(,b,0,R),a,1,=,b,1,a,2,=,b,2,a,3,=,b,3,垂直,a,b,=0(,a,0,b,0),a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,=0,模,|,a,|,夹角,(,a,0,b,0),cos=,6/25,5.两个主要向量,(1)直线方向向量,直线方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)有向线段所,表示向量,一条直线方向向量有没有数个.,(2)平面法向量,直线,l,平面,取直线,l,方向向量,则这个向量叫做平面,法向量.显,然一个平面法向量有没有数个,它们是共线向量.,7/25,1.已知,a,=(,+1,0,2),b,=(6,2,-1,2,),若,a,b,则,与,值能够是,(),A.2,B.-,C.-3,2D.2,2,答案,A,a,b,b,=,ka,(,k,R),即(6,2,-1,2,)=,k,(,+1,0,2),解得,或,2.若平面,、,法向量分别为,n,1,=(2,-3,5),n,2,=(-3,1,-4),则(),A.,B.,C.,与,相交但不垂直D.以上均不正确,答案,C由题意知,n,1,与,n,2,不平行,又,n,1,n,2,=2,(-3)+(-3),1+5,(-4),0,n,1,与,n,2,不垂直,与,相交但不垂直.故选C.,8/25,3.已知正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,点,E,为上底面,A,1,C,1,中心,若,=,+,x,+,y,则,x,y,值分别为,(),A.,x,=1,y,=1B.,x,=1,y,=,C.,x,=,y,=,D.,x,=,y,=1,答案,C易求,=+,+,故,x,=,y,=,.,4.已知向量,a,=(4,-2,-4),b,=(6,-3,2),则(,a,+,b,)(,a,-,b,)值为,.,答案,-13,解析,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,=4,2,+(-2),2,+(-4),2,-6,2,+(-3),2,+2,2,=-13.,9/25,5.以下命题:,若,A,、,B,、,C,、,D,是空间任意四点,则有,+,+,+,=0;,|,a,|-|,b,|=|,a,+,b,|是,a,、,b,共线充要条件;,若,a,、,b,共线,则,a,与,b,所在直线平行;,对于空间任意一点,O,与不共线三点,A,、,B,、,C,若,=,x,+,y,+,z,(其中,x,y,z,R),则,P,、,A,、,B,、,C,四点共面.,其中不正确命题是,.,答案,解析,正确;对于,|,a,|-|,b,|=|,a,+,b,|是,a,、,b,共线充分无须要条件;对于,a,与,b,所在直线可能是同一条直线;对于,必须满足,x,+,y,+,z,=1,故,错.,10/25,考点一空间向量线性运算,典例1,(四川内江六中期末)如图所表示,在平行六面体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,设,=,a,=,b,=,c,M,N,P,分别是,AA,1,BC,C,1,D,1,中点,试用,a,b,c,表示以下各向量:,(1),;,(2),;,(3),+,.,考点突破,11/25,解析,(1),P,是,C,1,D,1,中点,=,+,+,=,a,+,+,=,a,+,c,+,=,a,+,c,+,b,.,(2),N,是,BC,中点,=,+,+,=-,a,+,b,+,=-,a,+,b,+,=-,a,+,b,+,c,.,12/25,(3),M,是,AA,1,中点,=,+,=,+,=-,a,+,=,a,+,b,+,c,又=,+=,+=,+=,c,+,a,+,=,+,=,a,+,b,+,c,.,13/25,方法技巧,用基向量表示指定向量方法,(1)结合已知向量和所求向量观察图形.,(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.,(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.,变式1-1,在本例条件下,若,=,xa,+,yb,+,zc,求,x,y,z,值.,解析,=,+,=-,+,+,=-,+,+,=-,a,+,b,+,c,x,=-,y,=1,z,=,.,14/25,考点二共线、共面向量定理应用,典例2,已知点,A,B,C,三点不共线,对平面,ABC,外任一点,O,若点,M,满足,=,(,+,+,).,(1)判断,三个向量是否共面;,(2)判断点,M,是否在平面,ABC,内.,解析,(1)由已知得,+,+,=3,所以,-,=(,-,)+(,-,),即,=,+,=-,-,所以,共面.,(2)由(1)知,共面,又它们有公共点,M,所以四点,M,A,B,C,共面,从而点,M,在平面,ABC,内.,15/25,方法技巧,1.证实点共线方法,证实点共线问题可转化为证实向量共线问题,如证实,A,B,C,三点共线,即,证实,共线,亦即证实,=,(,0).,2.证实点共面方法,证实点共面问题可转化为证实向量共面问题,假如证实,P,A,B,C,四点共,面,只要能证实,=,x,+,y,或对空间任一点,O,有,=,+,x,+,y,或,=,u,+,v,+,w,(,u,+,v,+,w,=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非,零向量所在直线共面充要条件,.,16/25,2-1,如图所表示,已知斜三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,点,M,N,分别在,AC,1,和,BC,上,且,满足,=,k,=,k,(0,k,1).向量,是否与向量,共面?,17/25,解析,=,k,=,k,=,+,+,=,k,+,+,k,=,k,(,+,)+,=,k,(,+,)+,=,k,+,=,-,k,=,-,k,(,+,),=(1-,k,),-,k,由共面向量定理知向量,与向量,共面.,18/25,考点三利用空间向量证实平行或垂直,典例3,如图所表示,已知四棱锥,P,-,ABCD,底面是直角梯形,ABC,=,BCD,=90,AB,=,BC,=,PB,=,PC,=2,CD,侧面,PBC,底面,ABCD,.,证实,:,(1),PA,BD,;,(2),平面,PAD,平面,PAB,.,19/25,证实,(1)取,BC,中点,O,连接,PO,平面,PBC,底面,ABCD,PBC,为等边三角形,PO,底面,ABCD,.,以,BC,中点,O,为坐标原点,以,BC,所在直线为,x,轴,过点,O,与,AB,平行直线,为,y,轴,OP,所在直线为,z,轴,建立空间直角坐标系,如图所表示.,不妨设,CD,=1,则,AB,=,BC,=2,PO,=,.,A,(1,-2,0),B,(1,0,0),D,(-1,-1,0),P,(0,0,).,20/25,=(-2,-1,0),=(1,-2,-,).,=(-2),1+(-1),(-2)+0,(-,)=0,PA,BD,.,(2)取,PA,中点,M,连接,DM,则,M,.,=,=(1,0,-,),=,1+0,0+,(-,)=0,即,DM,PB,.,=,1+0,(-2)+,(-,)=0,即,DM,PA,.,又,PA,PB,=,P,DM,平面,PAB,.,DM,平面,PAD,平面,PAD,平面,PAB,.,21/25,方法技巧,1.用向量证实平行方法,(1)线线平行:只需证实两直线方向向量是共线向量.,(2)线面平行:证实直线方向向量能用平面两个基向量表示,或证实,直线方向向量与平面法向量垂直.,(3)面面平行:证实两平面法向量是共线向量.,转化为线面平行、线线平行问题.,2.用向量证实垂直方法,(1)线线垂直:证实两直线方向向量相互垂直,即证它们数量积为零.,(2)线面垂直:证实直线方向向量与平面法向量共线,或将线面垂直,判定定理用向量表示.,(3)面面垂直:证实两个平面法向量垂直,或将面面垂直判定定理用,向量表示,.,22/25,3-1,如图所表示,已知正方形,ABCD,和矩形,ACEF,所在平面相互垂直,AB,=,AF,=1,M,是线段,EF,中点.求证:,(1),AM,平面,BDE,;,(2),AM,平面,BDF,.,证实,(1)以,C,为坐标原点,CD,CB,CE,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴正,方向,建立如图所表示空间直角坐标系,设,AC,BD,=,N,连接,NE,.,23/25,则点,N,E,坐标分别为,(0,0,1).,=,.,又点,A,M,坐标分别是(,0),=,.,24/25,=,且,NE,与,AM,不共线.,NE,AM,.,又,NE,平面,BDE,AM,平面,BDE,AM,平面,BDE,.,(2)由(1)知,=,D,(,0,0),F,(,1),=(0,1).,=0.,.,同理可证,.,又,DF,BF,=,F,DF,平面,BDF,BF,平面,BDF,AM,平面,BDF,.,25/25,