高等数学-平面和直线.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第4节,一、,平面及其方程,二、直线及其方程,三、两直线及两平面夹角,平面与直线,第七章,第1页,一、平面点法式方程,设一平面经过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,点法式方程,求该平面,方程.,法向量,.,量,则有,故,第2页,例1.,求过三点,即,解,:,取该平面,法向量为,平面,方程,.,利用点法式得平面,方程,第3页,此平面,三点式方程,也可写成,普通情况:,过三点,平面方程为,说明,:,第4页,尤其,当平面与三坐标轴交点分别为,此式称为平面,截距式方程,.,时,平面方程为,分析:,利用三点式,按第一行展开得,即,第5页,二、平面普通方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面点法式方程,此方程称为,平面普通,任取一组满足上述方程数,则,显然方程,与此点法式方程等价,平面,所以方程,图形是,法向量为,方程,.,第6页,特殊情形,当,D,=0,时,A x,+,B y,+,C z,=0,表示,经过原点,平面;,当,A,=0,时,B y,+,C z,+,D,=0,法向量,平面平行于,x,轴;,A x+C z+D,=0,表示,A x+B y+D,=0,表示,C z,+,D,=0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,平面,;,平行于,z,轴,平面,;,平行于,xOy,面 平面;,平行于,yOz,面 平面；,平行于,zOx,面 平面.,第7页,例2.,求经过,x,轴和点(4,3,1)平面方程.,例,3,.,用平面普通式方程导出平面截距式方程.,解,:,因平面经过,x,轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,第8页,三、两平面夹角,设平面,1,法向量为,平面,2,法向量为,则两平面夹角,余弦为,即,两平面法向量夹角(常指锐角)称为,两平面夹角.,第9页,尤其有以下结论：,第10页,所以有,例4.,一平面经过两点,垂直于平面,:,x+y+z,=0,求其方程,.,解,:,设所求平面法向量为,即,法向量,约去,C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,第11页,外一点,求,例5.,设,解:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面距离,d.,则,P,0,到平面距离为,(点到平面距离公式),第12页,例6,.,解,:,设球心为,求内切于平面,x+y+z,=1,与三个坐标面所组成,则它位于第一卦限,且,所以所求球面方程为,四面体球面方程,.,故,第13页,内容小结,1.,平面,基本方程:,普通式,点法式,截距式,三点式,第14页,2.,平,面,与平面,之间关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,第15页,备用题,求过点,且垂直于,二,平面,和,平面方程.,解:,已知二平面法向量为,取所求平面法向量,则所求平面方程为,化简得,第16页,三 空间直线方程,空间直线普通方程,空间直线方程通惯用两个平面交线来刻画：,第17页,第18页,空间直线点向式方程与参数方程,第19页,第20页,第21页,第22页,第23页,第24页,第25页,第26页,第27页,平面束,第28页,第29页,第30页,第31页,第32页,第33页,第34页,第35页,