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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第1章 数、式与方程,1.1 数（式）运算,1.2 解方程（组）,1.3 指数与对数运算,第1页,1.1 数（式）运算,数基本知识,整式运算,分式运算,数乘方和开方运算,回顾,第2页,数基本知识,有理数,整数和分数统称为有理数。,无理数,无限不循环小数叫做无理数。,实数,有理数和无理数统称为实数。,数轴,要求了原点、正方向和单位长度直线叫做数轴。,倒数,乘积是1两个数叫做互为倒数。,相反数,只有符号不一样两个数叫做互为相反数。,绝对值,几何定义：一个数a绝对值就是数轴上表示a点与原点距离，数a绝对值记作|a|。,代数定义：,第3页,例题解析,例1,求以下数绝对值：,（1）3.4 （2）,解,单击鼠标继续,（1）因为3.40，所以|3.4|3.4。,（2）因为 ,b,，则,a,b,0，,b,a,0。,所以,c,|,a,b,|,b,a,|(,a,b,)(,a,b,)0,若,a,b,，则,a,b,0。,所以,c,|,a,b,|,b,a,|(,b,a,)(,b,a,)0,若,a,b,，则,a,b,0，,b,a,0。,所以,c,|,a,b,|,b,a,|0,总而言之，,c,0。,例2,若,a,、b是两个已知数，且,c,=|,a,b,|,b,a,|，求,c,。,解,单击鼠标继续,第5页,1在2、这些数中，整数有_，分数有_，有理数有_，无理数有_。,2 相反数为_，倒数为_；0相反数_，0有倒数吗？,3求以下各式中,x,值：,（1）,x,0，|,x,|0.1,（3）|,x,|,4已知,a,0，求,x,。,第6页,整式运算,幂运算法则,（,a、b,0，,m,、,n,是整数）,a,n,a,m,a,n,m,(,a,m,),n,a,m,n,(,a,b,),n,a,n,b,n,惯用乘法公式,因式分解,乘法,因式分解,多项式因式分解就是把一个多项式化为几个整式积，多项式因式分解和整式乘法是相反方向变换。,第7页,例题解析,例1,计算：,（1）,（2）,解,（1）原式,（2）原式,单击鼠标继续,第8页,解,例2,把以下各式分解因式,（1）,（2）,（3）,（1）原式,（2）原式,（3）原式,单击鼠标继续,第9页,1计算,2计算,3分解因式：,（1）,（2）,（3）,（4）,第10页,分式运算,分式,A,、,B,表示两个整式，,A,B,就能够表示成 形式，假如,B,中含有字母，式子 就叫做分式，其中,A,叫做分式分子，,B,叫做分式分母。,分式基本性质,分式分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零整式，分式值不变，这个性质叫做分式基本性质，即,，（,M,为不等于零整式）,分式运算,分式加减运算是使用通分进行；分式乘除运算是使用约分进行。,第11页,例题解析,解,例,计算：,（1）（2）,（3）,分析,分式加、减法关键是求最小公分母，基本方法：先将各分母分解因式；将全部因式全部取出，公因式应取次数最高；将取出因式相乘，积为最小公分母。在分式乘除运算中，先要将各分式分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母公因式，再化简。,（1）原式,（2）原式,（3）原式,单击鼠标继续,第12页,1当,x,_时，分式 没有意义。,2当,x,_时，分式 值为0。,3计算：,（1）,（2）,第13页,数乘方和开方运算,正整数指数幂,（,n,是正整数）,零指数幂,（,a,0）,负整数指数幂,（,a,0，,n,是正整数）,平方根,若,x,2,a,(,a,0)，则称,x,为,a,平方根（二次方根）,立方根,若,x,3,a,(,a,0)，则称,x,为,a,立方根（三次方根）,第14页,n,次方根,若,x,n,a,（,a,是一个实数，,n,是大于1正整数），,则称数,x,为,a,一个,n,次方根。,当,n,为偶数时，对于每一个正实数,a,，它在实数集里有两个,n,次方根，互为相反数，分别表示为 和 ；而对于每一个负数,a,，它,n,次方根没有意义。,当,n,为奇数时，对于每一个实数,a,，它在实数集里只有一个,n,次方根，表示为 。,当,a,0时，0；当,a,0时，0。,n,次方根是。,第15页,n,次根式,我们把形如 （有意义时）式子称为,n,次根式，其中,n,称为根指数，,a,称为被开方数，正,n,次方根 称为,a,n,次算术根，而且,（,n,1，,n,是正整数）,第16页,例题解析,例1,计算,：,解,例2,求8立方根，16四次方根。,解,8立方根为,16四次方根为,单击鼠标继续,第17页,例题解析,例,计算（用计算器运算）：,（1）22,15,（用科学计数法表示，保留4位有效数字）,（2）(1.052),10,（保留4位有效数字）,（3）10(1.052),10,（保留4位有效数字）,（4）（保留4位有效数字）,（5）（保留4位有效数字）,（6）（准确到0.001）,解,分析,在计算器上用一个,y,x,键来进行数乘方运算，按键次序为：,底数,y,x,指数 ,在计算器上用,y,x,第二功效键进行数开方运算，按键次序为：,被开方数 2ndF,y,x,开方次数 =,（1）22,15,1.36910,20,（2）(1.052),10,1.660,（3）10(1.052),10,16.60,（4）1.196,（5）19.62,（6）1.035,单击打开计算器,单击鼠标继续,第18页,1计算以下各式值：,4,0,、0.1,2,。,2 平方根为_；0平方根为_；27立方根为_；立方根为_；四次方根为_。,3用计算器运算：,（1）32,12,、(2.05),10,（用科学计数法表示，保留4位有效数字）,（2）、（准确到0.001）,第19页,1.2 解方程（组）,解一元二次方程,解简单二元二次方程组,回顾,第20页,解一元二次方程,一元二次方程,求根公式,判别式,当0时，方程有两个不相等实数根；,当0时，方程有两个相等实数根；,当0时，方程没有实数根。,一元二次方程解法,（1）直接开平方法。（2）配方法。,（3）公式法。（4）因式分解法。,根和系数关系,假如,ax,2,bx,c,0（,a,0）两根是,x,1,、,x,2,，那么，,x,1,x,2,，,x,1,x,2,。,第21页,例题解析,例,解方程,解法一（配方法）,原方程配方，得,整理得,所以,解得,解法二（因式分解法）,原方程可化为,所以,解法三（公式法）,解得,单击鼠标继续,第22页,1解方程：,（1）,x,2,5,x,60 （2）,x,2,1690,2若方程9,x,2,2,mx,160有两个相等实数根，那么,m,_。,3若方程8,x,2,(,k,1),x,k,70一个根是0，则,k,=_，另一个根是_。,第23页,解简单二元二次方程组,二元一次方程组,几个二元一次方程组成方程组，叫做二元一次方程组。,二元二次方程,含有两个未知数，而且含有未知数项中，最高次数是2 整式方程，叫做二元二次方程，它普通形式为：,Ax,2,+bxy+cy,2,+dx+ey+f,0,二元二次方程组,由两个二元方程组成而且其中最少有一个是二元二次方程方程组叫做二元二次方程组。,二元二次方程组解法,由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成二元二次方程组，普通可用代入消元法来解。其目标是把二元方程化为一元方程。,第24页,例题解析,例,解方程组：,解,由（2）得 （3）,把（3）代入（1），得,整理得,解得,或,将,x,1,、,x,2,分别代入（3），求得,或,所以，原方程组解为,或,单击鼠标继续,第25页,1解方程：（1）（2）,2解方程组：,（1）（2）,3解方程组：（1）（2）,第26页,1.3 指数与对数运算,指数运算,对数运算,回顾,第27页,指数运算,有理指数幂,这么，我们把整数指数幂概念推广到了,有理指数幂,。,法则1,a,p,a,q,a,p,q,法则2,(,a,q,),p,=,a,q,p,法则3,(,a,b,),p,a,p,b,p,普通地，我们要求,（为既约分数，,m,、,n,都是正整数）,其中，当,n,为偶数时，,a,0；当,n,为奇数时，,a,为任意实数。,负分数指数幂意义：设,a,0，,n,、,m,都是正整数且,n,1，当 有意义时，我们要求,（为既约分数，,m,、,n,都是正整数）,第28页,例题解析,例1,求分数指数幂值：,解,例2,求值：,解,单击鼠标继续,第29页,1计算以下有理指数幂值：,2用计算器计算以下各式近似值：（准确到0.001）,第30页,对数运算,在代数式,a,b,N,中有,a,、,b,、,N,三个量，若已知其中两个量，就能够求出第三个量。已知,a,、,b,求,N,是乘方运算；已知,b,、,N,，求,a,是开方运算；已知,a,、,N,，求,是什么运算呢？,比如：（1）已知2,x,，求,x,；（2）已知2,x,，求,x,。它们都是已知底数和幂值，求指数运算。因为2,3,，所以（1）中,x,，但（2）中,x,是多少呢？要想顺利地处理这个问题，还需要学习新知识：,对数,。,第31页,对数定义,普通地，在式,a,b,N,（,a,0，,a,1）中，称,b,为,以,a,为底,N,对数,。而且把,b,记为log,a,N,，即,log,a,N,b,其中,a,称为,对数底数,（简称底），,N,称为,真数,。,因为,a,0，所以,a,b,总是正数，即,零和负数没有对数,。,因为,a,0,1，所以log,a,10，即,1对数等于0,。,因为,a,1,a,，所以log,a,a,1，即,底对数等于1,。,对数恒等式,N,第32页,例1,求以下各式值：,（1）log,3,1 （2）（3）,例题解析,解,（1）log,3,10,（2）,（3）,例2,求以下对数值：,（1）log,2,8 （2）,解,（1）因为2,3,8，所以log,2,83。,（2）因为2,2,，所以log,2,2。,单击鼠标继续,第33页,对数运算法则,设,a,0，,a,1，,M,、,N,都是正实数，则有：,法则1,法则2,法则3,第34页,例题解析,例1,求log,2,32和 值。,解,例2,求 值。,解,单击鼠标继续,第35页,惯用对数,我们把以10为底对数称为,惯用对数,。通常把log,10,N,简记为lg,N,。,自然对数,以无理数2.71828为底对数称为,自然对数,。把log,e,N,简记为,ln,N,。,换底公式,设,a,0，,a,1，,N,是正数，则,第36页,例题解析,例,用计算器计算以下对数值：（准确到0.01）,（1）log,1.15,2 （2）log,1.036,1.5,解,（1）,（2）,单击鼠标继续,第37页,1请写出以下指数式对应对数式，并指出底数和真数：,2,2,4，3,3,27，。,2求以下对数值：,log,10,1、log,2,16、。,3用计算器计算以下对数值,：（准确到0.01）,、ln5、ln0.56、log,5,0.752、。,第38页,本章结束,第39页,
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