大学物理——机械振动.pptx

*,*,*,*,*,*,机械振动,第六章,广义振动,：任一物理量(如位移、电流等)在某一,数值附近重复改变。,机械振动,：物体在一定位置附近作往返往复运动。,A,A,O,m,K,q,q,L,i,第1页,弹簧振子,简谐振动微分方程,一、,简谐振动基本特征,6-1 简谐振动,（,simple harmonic motion,),其通解为：,谐振动运动方程,运动学定义,:,动力学,定义,:,1,、,简谐振动定义,A,A,O,m,k,第2页,运动方程,振幅,A,物体离开平衡位置最大距离,决定于初条件,.,频率,单位时间内振动次数,.,角频率,周期,T,物体完成一次全振动所需时间,.,初相位,相位,t,决定谐振动物体运动状态,2,、,描述简谐振动特征量,A,A,O,m,k,第3页,3.,振动速度及加速度,简谐振动加速度和位移成正比而反向,.,x,v,a,a,v,x,T,O,t,第4页,4.,振动初相及振幅由初始条件决定,初始条件：当,t,=0,时,x,=,x,0,，,v,=,v,0,代入,得,=,arctan,A,A,O,m,k,第5页,例,6-1,.,一质点沿,x,轴作简谐振动，振幅,A,=0.12 m,，周期,T,=2 s,，当,t,=0,时，质点对平衡位置位移,x,0,=0.06 m,此时刻质点向,x,正向运动。求此简谐振动表示式。,解,取平衡位置为坐标原点。,由题设,T,=2 s,，则,A,=0.12 m,由初条件,x,0,=0.06 m,，,v,0,0,得,简谐振动表示式为,设简谐振动表示式为,第6页,例,6-2,.,如图所表示，倔强系数为 810,3,Nm,-1,轻质弹簧一端固定于,A,，,另一端系一质量为,M,=4.99kg,木块静止于水平光滑桌面上。质量,m,=0.01kg,子弹以水平速度,v,=10,3,ms,-1,射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时,。,取,平衡位置为坐标原点,、,向右为,x,轴正方向，求其振动方程。,m,v,M,A,第7页,解：,mv,=(,m+M,),V,0.0110,3,=(4.99+0.01),V,V,=2m.s,-1,A=0.05m,第8页,二、简谐振动旋转矢量表示法,1.,简谐振动与匀速圆周运动,t+,O,P,m,x,y,A,匀速圆周运动在,x,轴上投影,（或分运动）为简谐振动：,2.,简谐振动旋转矢量表示法,x,O,第9页,3.,两同频率,简谐振动相位差（,phase difference,）,O,x,O,x,O,x,两个谐振动,相位差,两同频率谐振动相位,差等于它们初相差。,=,2,1,0,x,2,超前,x,1,=,0,同相,=,，,反相,第10页,x,v,a,a,v,x,T,O,t,x,v,a,O,4.,谐振动位移、速度、加速度之间位相关系,第11页,例,6-3.,以余弦函数表示简谐振动位移时间曲线,如图所表示，求此简谐振动表示式。,x,(cm),O,t,(s),1,2,1,2,1,t,=1s,t,=0,O,x,解,设简谐振动方程为,x,0,=,A,/2,，,v,0,0,由旋转矢量表示法,v,0,0,旋转矢量以,匀角速由,t,=0,到,t,=1s,转过了,4/3,t,=1s,角频率计算：,t,=1s,时，对应图示旋转矢量。,第12页,例,6-4.,已知某简谐振动 速度与时间关系曲线如图所表示，试求其振动方程。,解：方法1,用解析法求解,设振动方程为,第13页,故振动方程为,第14页,v,旋转矢量与,v,轴夹角表示,t,时刻相位,由图知,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,第15页,固有角频率,三、简谐振动实例,1.,弹簧振子,(block,spring system,),平衡位置,：,弹簧为原长时，振动物体所处位置,.,x,=0,F,=0,位移为,x,处,:,由,牛顿第二定律,角频率,完全由振动系统本身性质决定。,固有周期,固有频率,A,A,O,m,k,第16页,2.,单摆,(simple pendulum),当,5(=,0.0873rad),时，,摆球相对于平衡位置角位移为,时，,切,向,合外力,:,l,mg,sin,m,C,平衡位置,：摆线与竖直方向夹角,=0.,由,牛顿第二定律,得,或,谐振动微分方程,结论,：,单摆小角度摆动是简谐振动。,第17页,3.,复摆,(compound pendulum),绕不过质心水平固定轴转动刚体。,令,小幅摆动时,角位移,，,回复力矩,M,=,mgh,sin,M,=,mgh,由刚体,转动定律,或,得,谐振动微分方程,结论,：,复摆小角度摆动是简谐振动。,第18页,线性谐振动,角谐振动,简谐振动判断及振动方程确实定,归纳与总结,例：判断以下运动是否为简谐振动,1.乒乓球在地面上上下跳动,第19页,2.,小球在半径很大光滑凹球面底部作小幅振动,mg,O,切向运动,简谐振动,振动角频率和周期分别为：,第20页,四、简谐振动能量,谐振动系统能量=系统动能,E,k,+,系统势能,E,p,某一时刻，谐振子速度为,v,，,位移为,x,谐振动动能和势能是时间周期性函数,.,系统机械能守恒,第21页,振动能量曲线,x,t,o,t,T,o,E,E,k,(,t,),E,p,(,t,),第22页,例:,如图,m=,2,10,-2,kg,弹簧静止形变为,l=,9.8,cm,t=,0,时,x,0,=-,9.8cm,v,0,=0,(1),取开始振动时为计时零点，,写出振动方程；,(2)若取,x,0,=0，,v,0,0,为计时零点，,写出振动方程,并计算振动频率。,x,O,m,x,解：,确定平衡位置,mg=k,l,取为原点,k=mg/,l,令向下有位移,x,则,f=mg-k,(,l+x,),=-kx,作谐振动 设振动方程为,第23页,初条件:,由,x,0,=A,cos,0,=,-0.0980,cos,0,0,x,0,=Acos,0,=,0,cos,0,=0,0,=/2,3/2,v,0,=-A,sin,0,sin,0,0,取,0,=3/2,x,=9.810,-2,cos(10,t,+3,/2),m,对同一谐振动取不一样计时起点,不一样，但,、,A,不变,固有频率,x,O,m,x,第25页,例:,如图所表示，振动系统由一倔强系数为,k,轻弹簧、二分之一径为,R,、,转动惯量为,J,定滑轮和一质量为,m,物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期,T,.,m,m,解：取位移轴,ox,，,m,在平衡位置时，设弹簧伸长量为,l,，,则,第26页,当,m,有位移,x,时,联立得,物体作简谐振动,m,m,第27页,一、同方向、同频率谐振动合成,合振动是简谐振动,其频率仍为,。,合振动,x,1,x,2,1,2,x,O,6-2 简谐振动合成,第28页,如,A,1,=,A,2,则,A,=0,，两个等幅反相振动合,成结果将使质点处于静止状态。,合振动振幅取得最大，两分振,动相互加强。,合振幅最小,，,两分振动相互减弱。,分析,若两分振动同相：,若两分振动反相:,第29页,二.两个同方向频率相近简谐振动合成,拍,假如我们先后听到频率很靠近声音，如,552,和,564,Hz,，我们极难区分它们频率差异；假如这两,种声音同时抵达我们耳朵，我们听到声音频率为,558Hz=(552+564)/2,其强度以,12Hz(=564,552),频,率改变。这种现象称为,拍,，,12Hz,为,拍频。,x,t,x,1,t,x,2,t,第30页,分振动,合振动,1.,拍及拍频,令,则,T,拍,x,t,cos(,t+,),2,A,cos,t,拍,=,2,=,2,1,拍,=,2,1,拍,:,拍频:,单位时间内振动加强或减弱次数,.,合振动忽强忽弱现象,.,第31页,拍现象常被用于校正乐器。比如我们能够利用标准音叉来校准钢琴频率：因为音调有微小差异就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴一个键就被校准了。,2.,拍应用,第32页,三、两个相互垂直同频率简谐振动合成,合振动,分振动,合,振动质点轨迹方程,第33页,合振动轨迹为经过原点且在第一、第三象限内直线,质点离开平衡位置位移,讨论,第34页,合振动轨迹为经过原点且在第二、第四象限内直线,质点离开平衡位置位移,第35页,合振动轨迹为以,x,轴和,y,轴为轴线椭圆.质点沿椭圆运动方向是顺时针。,合振动轨迹为以,x,轴和,y,轴为轴线椭圆.质点沿椭圆运动方向是逆时针。,第36页,2,1,=0,2,1,=,时，质点沿逆时针方向运动。,时，质点沿顺时针方向运动。,第37页,四、,两个相互垂直不一样频率简谐振动合成,轨迹称为,李萨如图形,对于两个频率不相同谐振动，其相位差,不停地随时间改变，因而合振动不一定有稳定轨迹。,y,x,A,2,A,1,o,-,A,1,-,A,2,只有在两振动,频率成简单整数比,时，,才有稳定轨迹。,第38页,若已知一个分振动周期，可依据合振动,李萨如图形,求出另一个分振动周期，这种方法惯用来测定频率。,李萨如图形,T,1,:,T,2,=,2,1,=,0,1:2,1:3,2:3,第39页,*,五、简谐振动分解 频谱,振动分解,：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。,若周期振动频率为:,0,则各分振动频率为:,0,、,2,0,、,3,0,(基频,二次谐频,三次谐频,),按傅里叶级数展开,任何一个复杂周期性振动，都可看作是若干个简谐振动合成。,第40页,方波分解,t,0,x,3,t,0,x,1,+,x,3,+,x,5,+,x,0,方波可按傅里叶级数展开为：,比如：,0,t,x,1,0,x,0,t,t,0,x,5,第41页,第42页,第43页,x,o,t,锯齿波,A,0,3,0,5,0,锯齿波频谱图,比如：,锯齿波,可按傅里叶级数展开为：,第44页,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续改变简谐振动。,x,o,t,阻尼振动曲线,阻尼振动频谱图,o,A,第45页,一、阻尼振动,（,damped vibration,)：,阻尼振动,1.阻尼振动,能量随时间减小振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼：,系统克服阻力作功，系统动能转化为热能。,辐射阻尼：,振动以波形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,6-3 阻尼振动 受迫振动和共振,简谐振动是物体在回复力作用下一个,无阻尼自由振动。,当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下,振动，称为,阻尼振动,。,第46页,弹簧振子,动力学方程,系统固有角频率,阻尼因子,物体以不大速率在粘性介质中运动时,介质对物体阻力与速度一次方成正比,阻力系数,2.阻尼振动振动方程,（以摩擦阻尼为例）,第47页,(1)弱阻尼振动:,阻尼对振动影响：1.,A,减小 2.,T,增大,非简谐振动,3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动,弱阻尼,x,t,第48页,(2)临界阻尼振动,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来.,(3)过阻尼振动,系统不作往复运动，而是非常迟缓地回到平衡位置.,临界阻尼,x,t,过阻尼,x,t,第49页,二、受迫振动,受迫振动,振动系统在周期性外力作用下振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下受迫振动方程,周期性外力策动力,令,第50页,阻尼振动,简谐振动,稳定解,第51页,稳定解,(1),频率:等于策动力频率,(3),初相:,特点,:,稳态时受迫振动按简谐振动规律改变,(2)振幅:,受迫振动振幅大小，与系统初始条件无关，而决定于振动系统性质(固有角频率、质量)、阻尼大小和策动力特征。,第52页,三、共振,在一定条件下,振幅出现极大值,振动猛烈现象。,1).位移共振,(1)共振频率:,(2)共振振幅:,若,则,称尖锐共振,第53页,2)速度共振:,一定条件下,速度幅,v,m,=,A,极大现象。,速度共振时，系统动能也到达最大，此时系统从外界吸收能量最多。,第54页,共振利与弊,钢琴、小提琴等乐器木制琴身，利用共振现象使,其成为了一共鸣盒，以提升音响效果；收音机调,谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子,核内核磁共振用来进行物质结构研究及医疗诊,断等。,比如，共振时振动系统振幅过大，建筑物、机器,设备等就会受到严重损坏；汽车行驶时，若发动,机运转频率靠近车身固有频率，车身也会产生,强烈共振而受到损坏。,办法,：破坏外力周期性、改变物体固有频率、,改变外力频率、增大系统阻尼等。,共振现象在实际中有着广泛应用,：,共振现象也有其危害性：,第55页,