高三数学复习第一篇专题突破专题三三角函数与解三角形刺第1讲三角函数的图象与性质文.pptx

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三角函数性质,3/34,考点一三角函数定义、诱导公式及基本关系,1.三角函数:设,是一个任意角,它终边与单位圆交于点,P,(,x,y,),则sin,=,y,cos,=,x,tan,=,(,x,0),各象限角三角函数值符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.,2.同角关系:sin,2,+cos,2,=1,=tan,.,3.诱导公式:在,+,k,Z诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.,4/34,经典例题,(1)已知点,P,落在角,终边上,且,0,2),则,值为,.,(2)(北京,9,5分)在平面直角坐标系,xOy,中,角,与角,均以,Ox,为始边,它们终边关于,y,轴对称.若sin,=,则sin,=,.,(3)(课标全国,14,5分)已知,是第四象限角,且sin,=,则tan,=,.,答案,(1),(2),(3)-,5/34,解析,(1)tan,=,=,=-1,又sin,0,cos,0,所以,为第四象,限角,又,0,2),所以,=,.,(2)由角,与角,终边关于,y,轴对称,可得,=(2,k,+1)-,k,Z,sin,=,sin,=sin(2,k,+1)-,=sin,=,.,(3)解法一:sin,=,(sin,+cos,)=,sin,+cos,=,2sin,cos,=-,.,6/34,是第四象限角,sin,0,sin,-cos,=-,=-,由得sin,=-,cos,=,tan,=-,tan,=,=-,.,解法二:,+,=,sin,=cos,=,又2,k,-,2,k,k,Z,2,k,-,+,0,0)图象,(1)“五点法”作图:,设,z,=,x,+,令,z,=0,2,求出,x,值与对应,y,值,描点、连线可得.,(2)图象变换:,y,=sin,x,y,=sin(,x,+,),y,=sin(,x,+,),y,=,A,sin(,x,+,).,14/34,经典例题,(1)(课标全国理,9,5分)已知曲线,C,1,:,y,=cos,x,C,2,:,y,=sin,则下面结论正确是,(),A.把,C,1,上各点横坐标伸长到原来2倍,纵坐标不变,再把得到曲线,向右平移,个单位长度,得到曲线,C,2,B.把,C,1,上各点横坐标伸长到原来2倍,纵坐标不变,再把得到曲线,向左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,C.把,C,1,上各点横坐标缩短到原来,纵坐标不变,再把得到曲线向,右平移,个单位长度,得到曲线,C,2,15/34,D.把,C,1,上各点横坐标缩短到原来,纵坐标不变,再把得到曲线向,左平移,个单位长度,得到曲线,C,2,(2)(天津,7,5分)设函数,f,(,x,)=2sin(,x,+,),x,R,其中,0,|,|.若,f,=2,f,=0,且,f,(,x,)最小正周期大于2,则,(),A.,=,=,B.,=,=-,C.,=,=-,D.,=,=,答案,(1)D(2)A,16/34,解析,(1),y,=sin,=cos,=cos,=cos,由,y,=cos,x,图象得到,y,=cos 2,x,图象,需将曲线,C,1,上各点横坐标缩短,到原来,纵坐标不变;由,y,=cos 2,x,图象得到,y,=cos,图象,需将,y,=cos 2,x,图象上各点向左平移,个单位长度,故选D.,(2),f,=2,f,=0,f,(,x,)最小正周期大于2,=,-,=,得,T,=3,则,=,=,又,f,=2sin,=2,sin,=1.,+,=2,k,+,k,Z,=2,k,+,k,Z.,|,|0,0)图象求解析式时,常采取待定系,数法,由图中最高点、最低点或特殊点求,A,;由函数周期确定,;常根,据“五点法”中五个点确定,其中普通把第一个零点作为突破口,可,以从图象升降找准第一个零点位置.,(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只,是相对于其中自变量,x,而言,假如,x,系数不是1,就要把这个系数提,取后再确定变换单位长度和方向.,18/34,1.(河南郑州第一次质量预测)要得到函数,y,=sin 2,x,-cos 2,x,图象,只,需将函数,y,=sin 2,x,+cos 2,x,图象,(),A.向左平移,个单位长度B.向右平移,个单位长度,C.向左平移,个单位长度D.向右平移,个单位长度,跟踪集训,答案,D因为,y,=sin 2,x,+cos 2,x,=,sin,y,=sin 2,x,-cos 2,x,=,sin,=,sin,所以将函数,y,=sin 2,x,+cos 2,x,图象向右平,移,个单位长度就可得到函数,y,=sin 2,x,-cos 2,x,图象,故选D.,19/34,2.(湖北七市(州)联考)函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),部,分图象如图所表示,若,x,1,x,2,x,1,x,2,且,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,),则,f,(,x,1,+,x,2,)=,(),A.1B.,C.,D.,20/34,答案,D依据图象,可得,A,=1,=,-,=,T,=,=,=2,f,(,x,)=,sin(2,x,+,).又由图象得,f,=0,可得sin,=0,可得,+,=2,k,+,(,k,Z),解得,=2,k,+,(,k,Z),又|,|0,0)性质,(1)奇偶性:,=,k,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为奇函数;,=,k,+,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为偶函数.,(2)周期性:,y,=,A,sin(,x,+,)最小正周期为,T,=,.,(3)单调性:依据,y,=sin,t,和,t,=,x,+,(,0)单调性来研究,由-,+2,k,x,+,+2,k,(,k,Z)得单调增区间;由,+2,k,x,+,+2,k,(,k,Z)得单,调减区间.,(4)对称性:利用,y,=sin,x,对称中心为(,k,0)(,k,Z)求解,令,x,+,=,k,(,k,Z),得其对称中心.,利用,y,=sin,x,对称轴为,x,=,k,+,(,k,Z)求解,令,x,+,=,k,+,(,k,Z)得其对,称轴.,22/34,经典例题,(北京,16,13)已知函数,f,(,x,)=,cos,-2sin,x,cos,x,.,(1)求,f,(,x,)最小正周期;,(2)求证:当,x,时,f,(,x,),-,.,解析,(1),f,(,x,)=,cos 2,x,+,sin 2,x,-sin 2,x,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=sin,.,所以,f,(,x,)最小正周期,T,=,=.,23/34,(2)证实:因为-,x,所以-,2,x,+,.,所以sin,sin,=-,.,所以当,x,时,f,(,x,),-,.,24/34,方法归纳,三角函数单调区间、周期及最值(或值域)求法,(1)三角函数单调区间求法:,求形如,y,=,A,sin(,x,+,)(或,y,=,A,cos(,x,+,)(,A,、,、,为常数,A,0,0)单,调区间普通思绪是令,x,+,=,z,则,y,=,A,sin,z,(或,y,=,A,cos,z,),然后由复合函,数单调性求得.,(2)三角函数周期求法:,函数,y,=,A,sin(,x,+,)(或,y,=,A,cos(,x,+,)最小正周期,T,=,.应尤其注意,y,=,|,A,sin(,x,+,)|周期为,T,=,.,(3)三角函数最值(或值域)求法:,在求最值(或值域)时,普通要先确定函数定义域,然后结合三角函数性,质可得函数,f,(,x,)最值.,25/34,跟踪集训,1.(课标全国理,6,5分)设函数,f,(,x,)=cos,则以下结论错误,是,(),A.,f,(,x,)一个周期为-2,B.,y,=,f,(,x,)图象关于直线,x,=,对称,C.,f,(,x,+)一个零点为,x,=,D.,f,(,x,)在,单调递减,26/34,答案,D,f,(,x,)最小正周期为2,易知A正确;,f,=cos,=cos3=-1,为,f,(,x,)最小值,故B正确;,f,(,x,+)=cos,=-cos,f,=-cos,=-cos,=0,故C正确;因为,f,=cos,=cos=-1,为,f,(,x,)最小值,故,f,(,x,)在,上不单调,故D错误.,27/34,2.(浙江,18,14分)已知函数,f,(,x,)=sin,2,x,-cos,2,x,-2,sin,x,cos,x,(,x,R).,(1)求,f,值;,(2)求,f,(,x,)最小正周期及单调递增区间.,28/34,解析,(1)由sin,=,cos,=-,f,=,-,-2,得,f,=2.,(2)由cos 2,x,=cos,2,x,-sin,2,x,与sin 2,x,=2sin,x,cos,x,得,f,(,x,)=-cos 2,x,-,sin 2,x,=-2sin,.,所以,f,(,x,)最小正周期是.,由正弦函数性质得,+2,k,2,x,+,+2,k,k,Z,解得,+,k,x,+,k,k,Z.,所以,f,(,x,)单调递增区间是,(,k,Z).,29/34,1.(福建福州综合质量检测)要得到函数,f,(,x,)=sin 2,x,图象,只需将函,数,g,(,x,)=cos 2,x,图象,(),A.向左平移,个周期B.向右平移,个周期,C.向左平移,个周期D.向右平移,个周期,随堂检测,答案,D因为,f,(,x,)=sin 2,x,=cos,=cos,且函数,g,(,x,)周,期为,=,所以将函数,g,(,x,)=cos 2,x,图象向右平移,个单位长度,即向,右平移,个周期得到.,30/34,2.(河北石家庄质量检测(一)若,是函数,f,(,x,)=sin,x,+cos,x,图,象一个对称中心,则,一个取值是,(),A.2B.4C.6D.8,答案,C因为,f,(,x,)=sin,x,+cos,x,=,sin,由题意,知,f,=,sin,=0,所以,+,=,k,(,k,Z),即,=8,k,-2(,k,Z),当,k,=1时,=6,故,选C.,31/34,3.函数,y,=sin,x,(,0)部分图象如图所表示,点,A,、,B,是最高点,点,C,是最低,点,若,ABC,是直角三角形,则,值为,(),A.,B.,C.,D.,答案,A由已知得,ABC,是等腰直角三角形,且,ACB,=90,|,AB,|,=,y,max,-,y,min,=1-(-1)=2,即|,AB,|=4,而,T,=|,AB,|=,=4,解得,=,故选A.,32/34,4.(吉林长春质量检测(二)关于函数,y,=2sin,+1,以下叙述有,误是,(),A.其图象关于直线,x,=-,对称,B.其图象可由,y,=2sin,+1图象上全部点横坐标变为原来,得,到,C.其图象关于点,对称,D.其值域是-1,3,33/34,答案,C解法一:由3,x,+,=,+,k,(,k,Z)解得,x,=,+,k,Z,当,k,=-1,时,函数,y,=2sin,+1图象对称轴为,x,=-,故A正确;由图象变换知,识可得横坐标变为原来,就是把,x,系数扩大3倍,故B正确;由3,x,+,=,k,(,k,Z)解得,x,=-,+,k,Z,当,k,=3时,x,=,图象对称中心为,故C错误;因为-1,sin,1,所以函数,y,=2sin,+1,值域为-1,3,故D正确.,解法二:因为函数,y,=2sin,+1图象是由,y,=2sin,图象向,上平移1个单位长度得到,所以对称中心纵坐标应为1,故选项C错,误,选C.,34/34,