足球射门数学模型.pptx

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模,Mathematical Modelling,第1页,第五讲 足球射门数学模型,一、问题提出,足球运动已成为一个世界性运动，也是我们大家喜欢观赏一个体育活动。在比赛过程中，运动员在对方球门前不一样位置起脚射门对球门威胁是不相同。在球门正前方威胁要大于在球门两侧射门；近距离射门对球门威胁要远大于远距离射门。在实际中，球员之间基本素质可能有所差异，但对于职业球员来讲普通能够认为这种差异不大。请你结合球场和,足球比赛实际情况建模分析，并回答以下几个问题：,第2页,1.足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门命中率相同？,2.针对球员在不一样位置射门威胁程度进行研究，并绘制出球门危险区域；,3.在有一名守门员,情况下，对于球员射门,威胁程度和威胁区域作进,一步研究.,第3页,二、问题分析,依据这个问题,要确定球门危险区域,也就是要确定球员射门最轻易进球区域。球员不论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是那些地方进球可能性大一些，哪些地方进球可能性小一些。我们把进球可能性大区域称为,危险区域,。一样球员不论从哪个地方射门，都有一个确定射门角度，不一样射门地点，其射门角度不尽相同，射门角度与球场上最大射门角度之比称为,命中率,。,某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该球员素质和球员到目标点距离决定了球抵达目标点,第4页,概率，即命中球门概率。实际上，当上述两个原因确定时，球飞向球门所在平面上落点展现一个固定概率分布。我们稍作分析，轻易判定，该分布应该是一个二维正态分布，这是我们处理问题关键所在。,球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在平面内。将球门视为所在平面一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中概率。然而，球员在球场上选择射门目标点是任意，而命中球门概率对目标点选择有很强依赖性。这么，我们遍历球门区域内全部点，对命中概率做积分，将其定义为球场上,第5页,某点,对球门,威胁程度,，依据威胁程度大小来确定球门危险区域。,第6页,三、模型假设,为处理上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、适当假设：,1足球相对于足球场所占空间能够忽略不计，即将足球看成一个质点。,2不考虑球员射门后空气、地面对球速影响，依据统计资料，射门时球速度为,v,0,=10米/秒。,3射门时无对手进行有效防守。,4不考虑球员之间个体差异及球员心理、技术等原因。,5足球场地是国际上标准场地。,第7页,四、模型建立与求解,依据我们调查，国际标准足球场地规格为：长104米、宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米。,球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处球门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直线，一端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与球门线范围内地域叫球门区。,罚球区：在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直线,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内地域叫罚球区，在两球门,线中点,第8页,垂,直向场内量11米处各做一个清楚标识，叫罚球点。以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门情形。如示图1,图1,第9页,1.问题1讨论,由平面几何知识知:沿边线 总能够找到一点使得,APB,最大。大家知道，球员水平一定情况下，角,APB,越大，在,P,点射门命中率就越大，所以我们称使得,APB,最大点,P,为足球场射门最正确点。那么在足球场内，哪些点属于足,球射门最正确点呢？,为研究方便，我们把,足球场地划分为三条,带型区域：,第10页,并以,AB,所在直线为,oy,轴，以垂直于,AB,平分线为,ox,轴,建立平面直角坐标系如图 2，所以可求得,图2,第11页,(1)若,y,保持不变，则动点,P,只能在线段,EE,上移动。连接,PA,，,PB,。,1)在区域 内射门最正确点轨迹方程在区域,内任取一点,第12页,1)在区域 内射门最正确点轨迹方程在区域,内任取一点,(1)若,y,保持不变，则动点,P,只能在线段,EE,上移动。连接,PA,，,PB,。,第13页,第14页,因为,y,不变，,x,与 积为常数。也就是,即,当且仅当 ，即 时取等号。所以,第15页,又因为 ，所以当 时，取最大值,P,是最正确射门点，此时,（1）,于是，对于区域 内每一个确定,y,，都存在对应,，,使得点,P,(,x,y,),是最正确射门点，故方程（1）是区域 内射门最正确轨迹方程，整理为,即为等轴双曲线一部分。,第16页,总而言之，在区域 内与边线平行位置射门,在曲线,上很好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破了人们传统上离球门越近越好错误想法。比如，,M,点与,N,点比较，较远点,N,处射门很好，,K,点与,H,点比较，,K,点射门很好。,(,2）若,x,保持不变，显然，,P,(,x,y,),越靠近,ox,轴，越大，射门命中率越高。,第17页,区域 内射门最正确轨迹方程,类似可求区域 内射门最正确轨迹方程为：,第18页,2)在区域 内射门最正确点轨迹方程,如示图3，在区域 内任取一点,P,(,x,y,),.,(1)若,y,保持不变，显然,P,(,x,y,),离球门越近，越大，射门命中率越高。,图3,第19页,(,2),若,x,保持不变,，,作,于,F,。,第20页,(,2),若,x,保持不变,，,作,于,F,。,第21页,因为,AF,与,FB,和为定值,(,AF,+,FB,=7.32,m,)。,所以,当且仅当,AF,=,FB,时取等号,又,.,当且仅当,AF,=,FB,时,，,最大,，,此时,P,(,x,y,),在,ox,轴上,。,可见，在区域,内,，,最正确点轨迹方程为,：,第22页,在区域 内，平行于底线位置射门越居中越好。,第23页,3足球场射门等效线,如图3，在圆弧,AB,上任取一点，由圆弧所对圆周角 相等知 为定值。我们称为圆弧,AB,等效线。等效线上每一点称之为射门等效点，如点,M,和点,N,是等效点。,Q,第24页,依次定义，以,ox,轴上任意一点,Q,(,k,0),为圆心,，,以,QA,长为半径圆包含在场内每一段圆弧均为等效线，等效线方程为,：,等效线层层包含，内层总要比外层要好一些。比如，在点,M,射门比在点,M,处效果要好，较远处,与较近处点,是等效位置，点,M,与,N,点也是等效位置,。,第25页,Q,第26页,2.问题2,3讨论,首先建立以下列图所表示空间直角坐标系，即以端线中点位置为原点,o,，地面为,xoy,面，球门所在平面,为,yoz,面.,第27页,2.问题2,3讨论,问题2,依据前面对问题分析，再此假设基本素质为,k,球员从,点,A,(,x,0,y,0,0)向距离为,d,球门内目标点,B,(0,y,1,z,1,)射门时，球在目标平面,上落点展现二维正态分布，且随机变量,y,z,是相互独立，其密度函数为,其中,与球员素质成反比，与射门点,A,(,x,0,y,0,0),和目标点,B,(0,y,1,z,1,),之间距离,d,成正比，且偏角越大方差,越小。当偏角为,/2时，方差仅与,k,，,d,相关.,第28页,于是，我们能够确定,表示式为,其中，,第29页,注意到密度函数表示式中，关于变量,y,z,是对称，但实际中只能落在地面以上，即只有,z,0.为了平衡这个密度函数，我们令,我们把取二者比值定义为这次射门概率，即,第30页,对命中球门概率在球门区域,D,内做积分，定义为球场上某一点,A,(,x,0,，,y,0,，0),对球门威胁度，即,总而言之，对球场上任意一点,A,(,x,，,y,，0),关于对球门威胁度为,其中，,第31页,要求解该问题普通是比较困难，只能采取数值积分方法求解。首先确定反应球员素质基本参数,k,，详细方法以下：,依据普通职业球员情况，我们认为一个球员在球门正前方（,=,/2）,距离球门10米处（,d,=10）向球门内目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取,=1，由公式,得,k,=10。于是，当球员基本素质,第32页,k,=10时，求解该模型能够得到球场上任意一点对球门威胁度，部分特殊点威胁度以下表。依据各点威胁独值能够作出球场上等威胁度曲线,第33页,(,x,y,),(0,1),(0,5),(0,10),(0,20),(0,30),(0,50),D,14.4596,14.5351,12.6891,8.6371,5.7115,2.8111,(,x,y,),(3,1),(3,5),(3,10),(3,20),(3,30),(3,50),D,11.5649,13.4801,11.7578,7.9527,5.3208,2.6750,(,x,y,),(5,1),(5,5),(5,10),(5,20),(5,30),(5,50),D,6.3046,11.4106,10.3640,7.1593,4.8669,2.5063,(,x,y,),(10,1),(10,5),(10,10),(10,20),(10,30),(10,50),D,0.8923,5.3306,6.4650,5.2425,3.8175,2.1189,(,x,y,),(20,1),(20,5),(20,10),(20,20),(20,30),(20,50),D,0.0602,0.8701,1.8474,2.4265,2.1884,1.4815,(,x,y,),(30,1),(30,5),(30,10),(30,20),(30,30),(30,50),D,0.0121,0.2187,0.5863,1.0853,1.2052,1.0133,第34页,问题3,假设守门员站在射门点与两球们住所夹角角平分线上，即守门员站在垂直射门线平面投影区域中心位置是最正确防守位置。球员在球场上某一点对球门任意一点(0,y,z,)起脚射门，经过时间,t,抵达球门锁在平面，球抵达该点时，守门员对球都有一个捕捉概率,P,0,(,t,y,z,)，下面先分析一下这个函数形式。,首先注意到，当初间,t,一定时，此函数应该是以守门员为中心向四面辐射衰减二维函数，如图,第35页,第36页,第37页,当初间,t,变小时，此函数图像峰度增加，而对应面积减小。如图,第38页,第39页,从图中我们看到该曲面形势与二维正态分布密度函数图像相同，所以，我们采取该函数形式描述这种改变趋势。参数,t,表示从起脚射出到球抵达球门时间，也就是给守门员反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到,其中,c,1,，,c,2,为守门员沿纵向、竖向反应系数，据教授测试，普通正常人反应速度约为0.120.15秒。,第40页,第41页,在依据著名“纸条试验”能够得到普通人反应时间约为 秒（即构想将一张纸条放在人两手之间，当纸条在重力作用下自由下落时，可计算出人反应时间）。所以，我们在此取,c,1,=,c,2,=1/7(试验值）。轻易得到守门员防守时偏离球门中心距离,第42页,我们在问题2基础上，对球员在球场上某意,一点,A,(,x,0,，,y,0,，0),射入球门概率应征以下：,即,P,0,(,t,y,z,),表示守门员捕捉球概率，,1-,P,0,(,t,y,z,),就表示捕不住球概率。那么类似可求得球场上任意一点,A,(,x,y,0),对球门威胁度为,第43页,其中，,第44页,在这里这里一样取球员基本素质,k,=10，守门员反应系数,c,1,=,c,2,=1/7，,球速度,v,0,=10,米/秒，类似于问题2求解能够求得球场上任意一点对球门威胁程度，这里给出一些特殊点数值，以下表。依据各点威胁度职业能够作出球场上等威胁度曲线。,第45页,(,x,y,),(0,1),(0,5),(0,10),(0,20),(0,30),(0,50),D,12.9378,12.0080,8.9660,4.8004,2.7622,10.998,(,x,y,),(3,1),(3,5),(3,10),(3,20),(3,30),(3,50),D,10.0657,10.9287,8.3823,4.5720,2.6637,1.0673,(,x,y,),(5,1),(5,5),(5,10),(5,20),(5,30),(5,50),D,5.8971,8.9461,7.2642,4.1253,2.4536,1.0135,(,x,y,),(10,1),(10,5),(10,10),(10,20),(10,30),(10,50),D,0.8156,3.9194,4.1335,3.0085,1.9303,0.8570,(,x,y,),(20,1),(20,5),(20,10),(20,20),(20,30),(20,50),D,0.0421,0.5864,1.1550,1.3406,1.0768,0.5881,(,x,y,),(30,1),(30,5),(30,10),(30,20),(30,30),(30,50),D,0.0070,0.1243,0.3233,0.5506,0.5564,0.3867,第46页,比较问题 2，问题 3结果能够看出，问题3有防守情况比问题1无防守情况有很大差异，问题2主要是守门员作用，使得危险区域显著缩小。为亵渎最大区域还是在球门附近，尤其是正前方,。由此说明了球场上大小禁区设置合理性。,本模型采取k值是估算出来，严格来讲，应该经过大量试验按统计规律确定可能更加好。我们经过计算证实了,球员基本素质,k,增加时，对球门威显著增加，威胁区域变大。相反,当,k,减小时，对球门威也降低，威胁区域变小。关于防守球员基本素质，在本模型,中未考,五、结果分析,第47页,虑，是为了简化模型。关于有多名对于那进攻和防守情况以及双方间廉政性安排相关问题，那就更为复杂。,第48页,作业四,利用计算机描绘足球射门数学模型中问题2及问题3危险区域。,第49页,谢谢,第50页,