数学分析第一学期重点试题.doc

第一学期试题库

一、判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））：
1、设在上连续，与分别是的最大值和最小值，则对于任何数，均存在，使得。
（ ）
2、设在内可导，且，则。
（ ）
3、设的极限存在，的极限不存在，则的极限未必不存在。
（ ）
4、如是函数的一个极点，则。 （ ）
5、对于函数，由于不存在，根据洛必达法制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。 （ ）
6、无界数列必发散； （ ）
7、若对>0，函数在[]上连续，则在开区间（）内连续； （ ）
8、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）
9、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点
必不可导 ； （ ）
10、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，但，
则对，有； （ ）
二、填空题：
1.    设 , ;
2.    设 ；
3.    设在 ，
。
4、＝ ；
5、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是 ；
6、， ；
7、函数二阶可导，， 则 ；
8、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，
；

三、计算题：
1、计算下列极限：
（1）；（2）
2、计算下列导数：
（1）
（2）；
3、求椭圆处方程；
4、将边长为的正方形铁皮，在其四个角上各切掉一个大小相等的小正方形，然后折起做成一个无盖的铁盒.问铁盒上切掉多大的小正方形，使得做成的铁盒容积最大？
5、描绘函数的图像.
6、计算下列极限：
（1）；（2）.
7、计算下列导数：（10分）
（1）， 求；
（2）；
8、求摆线 在处的切线方程；
9、设函数在点处连续，求的值；
10、求函数在上的最大值与最小值.
四、证明题：
1、设，满足：
证明：收敛，并求.
2、设为实常数，证明：

3、设函数在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：>0，Ⅰ，
有，证明在区间Ⅰ上一致连续；
4、设<<，在[]上可导，在（）内可导，证明，使得.