计算方法(六)插值函数的应用.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,插值函数应用,第 5 章,第1页,插值函数应用,插值方法是一个主要函数迫近方法，它在,数值微积分和常微分方程数值解中有主要应用,第2页,由 Newton-Leibniz公式，连续函数,在 上定积分,其中,是,原函数。,5.1.1 数值求积公式及其代数精度,无能为力。,不能用初等函数表示，即 找不到原函数,；,，,，,没有解析表示式，用表格方式给出时；,大多数无穷积分，除特殊无穷积分外。,N-L,公式已经,不过大多数实际问题，,经常碰到困难是：,第3页,即使找到,原函数，不过太复杂,上述积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。,（5-1）,设 是定义在,上可积函数，考虑带权积分,在,上非负可积，且,至多有有限个零点。,其中权函数,所谓,数值求积,就是用,本节只讨论,情形。,近似计算 值。,（5-2）,第4页,数值求积公式,公式（5-2）称为,数值求积公式,，,是与,无关常数，称为,求积系数,，,其中,上点,称为,求积节点。,求,积,系,数,求积节点,大家熟知第一积分中值定理：,不过,详细位置未知。,其几何意义为：,数值积分公式产生背景,矩形,面积=,曲边梯形 面积。,第5页,我们能够采取不一样近似方法得到下述数值求积公式：,称为,左矩形,数值求积公式；,称为,右矩形,数值求积公式；,称为,中矩形,数值求积公式；,称为,梯形,数值求积公式,。,第6页,（称为步长），将分点,取为插值节点（也是求积节点），,得到数值求积公式称为,插值型求积公式,。,本节采取迫近函数是,在等距节点上插值多项式，,进行,等分，令,将,则,可表示为它Lagrange插值多项式及其余项之和，即,（5-3）,所以,第7页,称为,点,Newton-Cotes公式,，其中求积系,这么得到插值型求积公式,(5-6),（5-4）,(5-5),求积余项,(,5-7),标志着求积公式误差大小。,第8页,时三个公式，,在Newton-Cotes公式中，最惯用是,(5-8),此时,这就是,梯形求积公式,：,即,梯形求积公式,第9页,此时,第10页,这称为Simpson,求积公式,：,(5-9),深入可得,Cotes公式,(5-10),Simpson求积公式,Cotes求积公式,第11页,练习题,用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分,解：,由梯形求积公式：,由Simpson求积公式：,第12页,练习题,用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分,解：,由梯形求积公式：,由Simpson求积公式：,第13页,假如某个数值求积公式对比较多函数 能准确成立，即,那么这个公式使用价值就较大，能够说这个公式,精度较高为衡量数值求积公式精度，引进代数精度概念。,假如某个数值求积公式，对于任何次数不超出,次代数多项式都是准确成立,但对于,次代数多项式不一定能准确成立，即,则称该求积公式含有,次代数精度,定义5.1,第14页,次代数精度充要条件是它对,显然，一个数值求积公式含有,这是确定代数精度最惯用方法。,都能准确成立，但对,不能准确成立。,下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式代数精度。,，我们可得,对于,故梯形数值求积公式含有,1次代数精度,。,第15页,我们可得,对于,故Simposon数值求积公式含有,3次代数精度,。,而,第16页,普通,n,+1点Newton-Cotes公式求积余项，有以下定理：,当然也能够经过求积余项预计,得到代数精度以下先推导,几个求积余项，进而指出,n,+1点Newton-Cotes公式代数精度。,定理5.1,若,其中,是奇数，且,;,若,，则,其中,定理5.1,是偶数，且,，则,第17页,当 为偶数时，,因为对,次多项式,所以由上述定理可知，,点Newton-Cotes公式代数精度为,梯形公式、Simpson公式及Cotes公式代数精度分别为1，3，5.,当 为奇数时，,点Newton-Cotes公式代数精度为,第18页,第19页,本节讨论在大区间上，对于数值积分使用低阶,Newton-Cotes,5.1.2 复化求积公式,公式,分段,处理方法。,将 等分成若干个小区间，在每个小区间上用点数少,Newton-Cotes公式，,然后再对全部子区间求和。这么得到数值,求积公式称为,复化Newton-Cotes公式,.,将区间,进行,等分，,假如在每个子区间,上用梯形求积公式，即,每个子区间长度,则,第20页,第21页,由此可得复化梯形公式,同理可得复化Simpson公式,(5-14）,（5-13）,复化梯形公式,复化Simpson公式,第22页,练习题,解：,由复化梯形求积公式：,由复化Simpson求积公式：,用 复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分,第23页,本节介绍含有最高代数精度数值求积公式，即Gauss型,求积,插值型求积公式（并未要求取等距节点）代数精度最少为,5.2 Gauss型求积公式,公式。,(5-32),形如,第24页,，则可,两点求积公式为：,两点Newton-Cotes求积公式是等距节点梯形公式：,其代数精度为,1,。,若不限制等距节点，我们特意去选取,由代数精度定义，分别取,令,可得到以下非线性方程组：,第25页,即,最少含有3次代数精度，又取,时,，,。,故含有3次代数精度。,第26页,这么假如我们用代数精度最高标准，经过求解,阶,非线性方程组来确定全部,和,共,个待定系数，,就能够结构出含有,次代数精度,数值积分公式。,假如形如（,5-32,）求积公式含有代数精度,次，则称其为,Gauss型求积公式，,并称其中,求积节点,为,Gauss,点,.,定义 5.2,定理5.2,要使插值型求积公式,第27页,5.2.1 Gauss型求积公式,与全部次数不超出,多项式在,上关于权函数,正交。,要使插值型求积公式,定理 5.2,（5-33）,含有 次代数精度，必须且只须以节点,为零点,次多项式,定理 5.2,换句话为：,是,Gauss点,是,正交多项式。,是,Gauss点,是,正交多项式根。,第28页,例1,求 上关于 两点,Gauss型求积公式,。,结构二次正交多项式,，,，,令,此时，得,第29页,或 取,，由代数精度定义，得线性方程组,则得含有3次代数精度,Gauss-,Legendre,公式：,第30页,则有,，这么,。,对于任意区间,上权函数 Gauss型求积公式，只需,作变量替换：,第31页,例，,结构求解,含有3次代数精度数值积分公式。,，此求积公式含有2个Gauss节点。,，,则取Gauss节点、求积系数：,从而，得,解：,由,作变量替换：,第32页,若取,则含有3次代数精度公式为：,第33页,例2，确定,使以下求积公式为Gauss型求积公式,解：,首先结构,上关于,首项系数为1二,次正交多项式，为此可设,，,，,，从而有,，,，,。,第34页,第35页,则,其零点为：,令,，用代数精度定义得：,从而,。,第36页,第37页,5.3 外推加速与Romberg算法,5.3.1 逐次分半法,能够推出,以复合梯形公式为例。,和,以下关系,（逐次分半法）,其中,第38页,复化梯形公式,每个小区间上积分余项,停顿准则：,第39页,所以,即,类似地,所以,能够将,作为迭代停顿标准,第40页,另外，还能够推出,5.3.2 外推加速与Romberg算法,将复化梯形公式写成,上面已经推出，,是积分,更加好近似。类似能够推出,是越来越好近似。,第41页,普通地，有以下,Romberg方法,：,能够记成,当,时停顿,第42页,例.用Romberg方法求,，误差小于,解.,因为,停顿运算.取,真值为,第43页,第六章 数值积分,6.2.广义积分,6.2.1 无界函数积分,设,在,上连续,在 附近无界.计算,第44页,1)区间迭代法,令,是一个收敛于,点列,比如,依次计算,能够在,时停顿.,每一个,能够用(比如)Romberg 方法计算,第45页,2)区间截断,假如能够推出,则能够用,近似替换,例.计算,其中,而且,解.因为在,上,所以,要求误差小于,能够取,第46页,3)变量替换,比如,计算,其中,做变量替换,则化成正常积分,第47页,4)Gauss求积公式,使其含有,次代数精度.,例.求,其中,而,在,附近无界.,希望选取,使其对,准确成立.,第48页,以,为例.,求解以下方程组,解之,可得,第49页,6.4 矩形域上二重积分,6.4.1 插值型求积公式,考虑二重积分,利用梯形公式,有,第50页,能够深入取求积节点,得到复化梯形公式,其中系数,排成以下矩阵,第51页,6.4.2 Gauss求积公式,其中系数,和节点,由一维Gauss 求积公式给出,使得求积公式对全部以下二元多项式准确成立:,第52页,二维Gauss 求积公式系数与节点表,Gauss点,系数,1,0,2,2,1,3,0.5555555556,0.8888888889,4,0.3478548451,0.6521451549,0.8611363116,0.3399810436,第53页,6.5.计算重积分Monte-Carlo方法,适合用于高维和任意区域.以一维为例.在,上随机选取,个点,M-C方法:,令,取,为均匀分布密度函数,则由大数定律,第54页,计算二重积分,其中,是任意二维可测区域,是,面积,是随机(伪随机)节点,是结点个数.,还能够对区域中不一样部分依据,不一样取值,情况按不一样密度取随机节点.,第55页,