基本积分方法.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,利用直接积分法求出不定积分是很有限,.,一,.,凑微分法,例,计算,分析,:,此不定积分被积函数是复合函数,在积分表中查不到,.,5.3,基本积分法,为了求出更多函数不定积分,下面建立一些有效地积分法,.,这是因为被积函数,cos2,x,变量是“,2,x,”,与积分变量“,x,”,不一样,.,但假如能把被积表示式改变一下,使得被积函数变量与,积分变量变得相同,那么就可用公式,求出此不定积分,.,(,u,是,x,函数,),第1页,2,注,:,这种方法实质是当被积函数为复合函数时,可采取,恒等变形将原来微分,d,x,凑成新微分,d,(,x,),(,可无须换元,),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算,.,这种方法称为凑微分法,.,其理论依据为,第2页,3,定理,4,证,利用不定积分定义及复合函数求导法则即可,.,注,1.,定理,4,中,若,u,为自变量时,当然有,当,u,换为,(,x,),时,就有,成立,.,不定积分这一性质称为积分形式不变性,.,注,2.,凑微分法关键是“凑”,凑目标是把被积函数,中间变量变得与积分变量相同,.,即,成立,.,第3页,4,(1),依据被积函数是复合函数特点和基本积分公式形式,依据恒等变形标准,把,d,x,凑成,d,(,x,).,如,(2),把被积函数中某一因子与,d,x,凑成一个新微分,d,(,x,).,如,“,凑微分”方法有,:,方法,1,较简单,而方法,2,则需一定技巧,请同学们务必记牢,以下常见凑微分公式！,第4页,5,第5页,6,例,8,求以下各式不定积分,结论,1:,第6页,7,第7页,8,例,9,求以下各式不定积分,结论,2:,第8页,9,同理可得,例,10,求以下各式不定积分,第9页,10,结论,3:,第10页,11,或原式,同理可得,第11页,12,例,11,求以下各式不定积分,同理可得,结论,4:,普通地,对形如,这么不定积分,第12页,13,当,n,为偶数时应先降次后再积分；当,n,为奇数时应先凑微分再积分；,普通地,对形如,这么不定积分,若,nm,，且一奇一偶时，则应凑奇次幂三角函数；,若同为偶，则化为,第13页,14,对形如这么不定积分应先积化和差后再积分,.,第14页,15,课堂练习,:,求以下各式,第15页,16,第16页,17,注,:,对于同一个不定积分,采取方法不一样,有时得到原函数,表示式就完全不一样,但这些不一样表示式之间仅相差一个,常数,.,如,法一,:,法二,:,法三,:,第17页,18,二,.,换元法,注,:,用直接积分和凑微分法是不易计算此积分,.,但作变换,从而,注,:,这种经过适当选择变量代换,x=,(t),将积分,求出此积分后回代,t.,称此方法为换元积分法,.,化为积分,第18页,19,定理,5,设函数,(x),连续,x=,(t),单调可微,且,而,证实,即,只是在此方法中要注意两个问题,:,1.,函数 原函数存在,.,2.,要求代换式,x=,(t),反函数存在且唯一,.,则,第19页,20,注,1:,换元积分法是先换元,再积分,最终回代,.,这与凑微分法,(,先凑后换元,),不一样,.,注,2:,本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数,不定积分,.,换元目标是将无理函数不定积分转换为有理函数积分,.,分两类讲,:,1.,根号里是一次式,即,2.,根号里是二次式,即,主要讲,1.,被积函数含有 因子时,可令,例,13,求以下各式,化简函数后再积分,.,第20页,21,第21页,22,第22页,23,但在详细求解时要依据被积函数所含二次根式不一样情况,作不一样三角代换,作法以下：,2.,被积函数含有 因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化,.,第23页,24,例,14,求以下各式,第24页,25,t,a,x,如图,第25页,26,t,a,x,如图,第26页,27,t,a,x,第27页,28,3.,倒代换,当被积函数分母次数与分子次数之差,大于,1,时,利用倒代换可消去被积函数分母中变量因子,x.,例,15,求,第28页,29,例,16,求,法一,:,三角代换令,法二,:,根式代换令,法三,:,凑微分法,原式,=,原式,=,t,x,1,第29页,30,法四,:,倒代换令,解 由题意知,则,例,17(1),设函数,(x),一个原函数是,arctanx,求不定积分,第30页,31,(2),若己知,求：,第31页,32,经过上述几个积分方法学习,可将以下几个公式补充在,基本积分表里：,第32页,33,第33页,34,定理,5,设函数,u=u(x),及,v=v(x),含有连续导数,则,三,.,分部积分法,直接积分和换元积分法能够处理大量不定积分计算问,题,;,但对形如,等类型不定积分,采取这两种方法却无法,.,换元积分法是在复合函数求导法则,基础上得到,下面利用两个函数乘积求导法则来推得,分部积分法,.,证 由,d(uv)=vdu+udv,得,udv=d(uv)vdu,对此式两边同时求不定积分,得,第34页,35,而不定积分 易于计算,则可采取分部积分公式,使计算大为简化,.,注,1:,不定积分 不易计算,例,15,求,解,(1),设,u=lnx,dv=dx,则,v=x,由分部积分公式得,第35页,36,(2).,要比 轻易积出,.,普通按“反对幂指三”次序,后者先凑入方法确定,u,和,v.,注,2:,分部积分法是基本积分法之一,惯用于被积函数是两种,不一样类型函数乘积积分,这类积分在详细计算过程中,怎样正确地选定,u,和,v,却显得非,常主要,.,普通说来要考虑以下两点,:,(1).V,要轻易求得,;,例,18,求,第36页,37,比原积分更难积出,.,例,19,求以下不定积分,不然若,第37页,38,第38页,39,练习：,第39页,40,例,20,求,这是一个关于 方程,移项并两边同除以,2,得,注,:,有些不定积分需要将积分几个方法综合起来使用,.,第40页,41,例,21,求,解 令,第41页,42,(4),设,f,(,x,),有连续二阶导函数，求,第42页,43,是,f,(,x,),一个原函数,求,解,又已知,(5),已知,是,f,(,x,),一个原函数,第43页,44,普通,可用分部积分法求积分类型,:,第44页,45,第45页,