复合函数初步.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复合函数初步,复合函数：,如果,y,是,u,的函数,而,u,又是,x,的函数,即,y=,f(,u,),u,=,g,(,x,),那么,y,关于,x,的函数,y=,f,g,(,x,),叫做函数,f,和,g,的复合函数,u,叫做中间变量,.,注意：若,y=,f(u,),定义域,为,A,，,u=,g(x,),值域,为,B,，,则必须满足,B,A,求复合函数的定义域,(1),已知函数,y=,f,(,x,),的定义域,求它的,复合函数,f,g,(,x,),的定义域,.,我们知道函数的定义域为,_,则,f(x+1),的定义域为,_.,x|-1,x,1,x|-2,x,0,训练：已知,f(x,),的定义域是,-1,4,求,g,(x,)=f(,x+1,)+f(,1-x,),的定义域,.,x|-2,x,2,说明,:,函数的定义域是指自变量,x,的取值,范围,所以对于,g,(,x,),=f,(,x+1,),+,f(,1-x,),的定义域,应设,x+1,1-x,的取值范围满,足,y=,f,(,x,),中的,x,的取值范围,.,结论,:,(1),已知,函数,f,(,x,),的定义域为,a,b,求其,复合函数,f,g,(,x,),的定义域应有不等,式,a,g,(,x,),b,解出,x,即得,.,求复合函数的定义域,我们知道函数的定义域为,_,则,f(x,),的定义域为,_.,x|0,x,1,(2),已知复合函数,y=,f,g,(,x,),的定义域,求原函数,y=,f,(,x,),的定义域,.,x|2,x,3,训练：已知,f,(,x+1,),的定义域是,-1,4,求,f,(,x,),的定义域,.,x,0,5,结论,:,(1),已知,函数,f,(,x,),的定义域为,a,b,求其,复合函数,f,g,(,x,),的定义域，应,由不,等式,a,g(x)b,解出,x,即得,.,(2),已知,复合函数,y=,f,g,(,x,),的定义域为,a,b,求,原函数,y=,f,(,x,),的定义域,应,求出,y=,g(x,),的值域,(,xa,b,),即得,y=,f,(,x,),的定义域,.,练习,:,(1),设函数,f,(,x,),的定义域是,0,2,求函,数,f,(,x,2,),的定义域,.,(2),已知,y=f,(,2x+1,),定义域是,0,1,求,y=,f,(,x,),的定义域,.,(3).,已知,f(x,2,),的定义域是,-1,1,求,函数,f(x,),的定义域,.,(3),0,1,4.,已知 的定义域为,-3,，,2,，,求函数 的定义域。,x,o,-3,-2,2,3,5.,设函数 的定义域为,0,，,1,，求函数 的定义域。,6,、已知 的定义域，求 的定义域。,例,3,已知 定义域为,0,，,3,，求 的定义域。,若 的定义域为,1,，,2,，,求 的定义域。,例,1,求下列函数的定义域、值域：,解：,（,1,）由,x-10,得,x1,所以，所求函数定义域为,x|x1,由 ，得,y1,所以，所求函数值域为,y|y,0,且,y1,求复合函数的值域,说明：,对于值域的求解，可以令,考察指数函数,y=,并结合图象,直观地得到,:,函数值域为,y|y,0,且,y1,解：,（,2,）,由,5x-1,0,得,所以，所求函数定义域为,由,得,y1,所以，所求函数值域为,y|y1,解：,（,3,）,所求函数定义域为,R,由,可得,所以，所求函数值域为,y|y,1,求下列函数的定义域和值域：,解：,要使函数有意义，必须,当,时,；,当,时,值域为,要使函数有意义，必须,又,值域为,练习,:,1.,(1),若函数,f(x,),的定义域为,(0,1),则 的定义域为,_.,(2),函数 的定义域为,_.,练习,:,1,求函数,的定义域和值域,.,2,已知函数 的值域是 ，求,f(x,),的定义域,.,3,已知关于的方程 有实根，求实数,m,的取值范围,.,练习,:,4.,当,x0,时,函数 的值总大于,1,则实数,a,的取值范围是,_.,复合函数的单调性,若u=g(x),增函数,减,函数,增函数,减函数,y=f(u),增函数,减函数,减函数,增函数,则y=fg(x),规律：,当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；,当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数,“同增异减”,增函数,增函数,减函数,减函数,例：,求函数 的单调性,.,解：设 ，,.,f(u,),和,u(x),的定义域均为,R,因为，,u,在 上递减，在 上递增,.,而 在,R,上是减函数,所以，在 上是增函数,在 上是减函数,.,例：,求,的单调区间,.,解,:,设,u=x,2,2x,1,由,uR,得原复合函数的定义域为,xR.,因为 在定义域,R,内为增函数，,所以由二次函数,u=x,2,2x,1,的单调性易知,u=x,2,2x,1=(x,1),2,2,在,x1,时单调减，,由,xR,(,复合函数定义域,),x1,，,(u,减,),解得,x1.,所以,(,，,1,是该复合函数的单调减区间,.,同理,1,，,+),是该复合函数的单调增区间,.,练习：,求函数,的,单调区间,答案：,(,3,单减区间,2,+),单增区间,注意：,求单调区间时，一定要先,看定义域,复合函数的单调性小结,复合函数,y=fg(x),的单调性可按下列步骤判断：,(1),将复合函数分解成两个简单函数：,y=f(u),与,u=g(x),。,其中,y=f(u),又称为外层函数,u=g(x),称为内层函数,;,(2),确定函数的定义域；,(3),分别确定分解成的两个函数的单调性；,(4),若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数,y=fg(x),为增函数；,(5),若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数,y=fg(x),为减函数。,复合函数的单调性可概括为一句话：,“,同增异减,”,。,复合函数的奇偶性,函数的奇偶性：,奇奇奇,偶偶偶,奇,奇偶,偶,偶偶,奇,偶奇,奇偶（不确定）,类比：,负负负,正正正,负,负正,正,正正,负,正负,负正（不确定）,1,、函数,y=2,的值域是,x,2,2x3,分析：因为,x,2,-2x+3=(x-1),2,+22,函数,y=2,x,为,增函数。,4,+),2,、,函数,y=2,的,减区间是,-x,2,+2x-1,1,+),3.,讨论函数,f(x)=,的奇偶性和单调性,分析：函数的定义域为,R,(1)f(-x)=f(x),f(x),在,R,上是奇函数,（,2,）设,x,1,x,2,R,且,x,1,x,2,f(x)=1,则,f(x,1,),f(x,2,)=(1,）（,1,）,x,1,x,2,上式的,分子小于,0,，分母大于,0,即：,f(x,1,)f(x,2,),故函数,f(x),大,R,上是增函数。,已知函数,(1),确定,f(x,),的奇偶性；,(2),判断,f(x,),的单调性；,(3),求,f(x,),的值域,.,作业：,