概率论与数理统计-第九章统计量和抽样分布.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章 统计量和抽样分布,第一节 统计量,第二节 常用统计量,第三节 抽样分布,第一节 统计量,定义,1.1,设,(,X,1,X,2,X,n,),为,总体,X,的样本,若样本的函数,T,=,T,(,X,1,X,2,X,n,),中不含任何未知参数,则,T,(,X,1,X,2,X,n,),称为,统计量,其中,T,为连续函数。,若,(,x,1,x,2,x,n,),为样本,(,X,1,X,2,X,n,),的一次,观察值,则,T,的取值,t,=,T,(,x,1,x,2,x,n,),称为,统计值,。,例,1.1,设,(,X,1,X,2,X,n,),是来自正态,总体,N,(,2,),的样本，其中,已知，,未知，则,第二节 常用统计量,一、顺序统计量,定义,2.1,设,X,1,X,2,X,n,为总体,X,的,样本,由样本建立,n,个函数,:,X,(,k,),=,X,(,k,),(,X,1,X,2,X,n,),，,k,=1,2,n,其中,X,(,k,),的观察值为,x,(,k,),且,x,(,k,),为样本值,x,1,x,2,x,n,按从小到大的次序排列,x,(1),x,(2),x,(,k,),x,(,n,),后的第,k,个数值,则称,X,(1),X,(2),X,(,n,),为原样本,X,1,X,2,X,n,的,顺序统计量,称,X,(,k,),为,第,k,个顺序统计量,。,注,1,顺序统计量保留了原样本的数据信息,只去掉了不太重要的得到数据的顺序信息,若样本值为,x,1,x,2,x,n,则按从小到大顺序排列后得到顺序统计值,x,(1),x,(2),x,(,n,),注,2,X,(,k,),意味着在,n,个数据中,恰有,k,个数据不超过它,即超过它的恰有,n,k,个数据,因此,易见,X,(1),=,min,X,1,X,2,X,n,X,(,n,),=,max,X,1,X,2,X,n,例,2.1,设,X,1,X,2,X,5,是容量为,5,的样本,今对样本作三次观察,其值如下表,试求三次观察的顺序统计值。,解,：将上表中数据从小到大排列，即得顺序统计值。,x,i,X,i,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,1,3,1,10,5,6,2,2,6,7,2,8,3,8,3,5,9,10,x,i,X,(,i,),X,(1),X,(2),X,(3),X,(4),X,(5),1,1,3,5,6,10,2,2,2,6,7,8,3,3,5,8,9,10,二、描述样本的中心位置的统计量,例,2.2,从某种合金强度总体中抽取容量为,5,的样本,其观察值为,140,150,155,130,145,试求其样本均值。,(1),样本均值,例,2.3,某工厂制作一种线圈,为控制生产过程保持稳定,从产品中任取,10,件,测定其阻抗,X,所得数据如下,:,15.3,13.0,16.7,14.2,14.5,14.5,15.9,15.0,15.1,16.4,试求：,(1),样本中位数,med,的值,(2),若取出的第,11,件数据为,15.2,，此时,med,又为何值？,(2),样本中位数,解,:,将所得数据按从小到大顺序排列为,:,13.0,14.2,14.5,14.5,15.0,15.1,15.3,15.9,16.4,16.7,反映样本数据分散程度的统计量实际上反映了总体取值的分散程度，其常用统计量有以下几种：,三、描述样本数据分散程度的统计量,(1),样本极差,(2),样本方差,(3),样本标准差,S,2,与,X,的量纲不一致，而,S,与,X,的量纲一致。,第三节 抽样分布,1,、定义,定义,3.1,若随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立,且都服从标准正态分布,N,(,0,1,),则称统计量,自由度是指上式右端包含的独立变量的个数。,服从,自由度为,n,的,分布,记为,n=1,n=4,n=10,n=20,x,0,10,20,30,0.20,0.10,f,(,x,n,),(1),例,3.1,设,(,X,1,X,2,X,9,),是来自正态,总体,N,(,0,2,2,),的样本,求系数,a,b,c,使,f,(,x,),y,0,定义,3.2,对于给定的正数,(0,1),，称满足条件,分布的,分位数,。,二、,t,分布,1,、定义,定义,3.3,设,X,N,(,0,1,),，,Y,，且,X,与,Y,相互独立,，则称统计量,服从,自由度为,n,的,t,分布,，记为,T,t,(,n,),。,t,(,n,),分布的密度曲线关于,y,轴对称，即有,f,(,x,)=,f,(,x,),且与标准正态分布,N,(0,1),密度曲线十分相近，但,t,(,n,),分布密度曲线的峰顶要低，两端点较标准正态曲线要高。,2,、,t,(,n,),的性质,例,3.2,设总体,X,N,(,0,1,),样本,(,X,1,X,2,X,5,),来自总体,X,试求系数,C,使统计量,解,：因为,X,1,X,2,X,5,相互独立,，且同为标准正态分布，则,定义,3.4,对于给定的正数,(0,1),，称满足条件,P,t,(,n,),t,(,n,)=,的,t,(,n,),为,t,(,n,),分布的,分位数,。,3,、,t,(,n,),分布的,分位数,注,1,：由于,t,(,n,),的对称性，故有,t,1,(,n,)=,t,(,n,),注,2,：当,n,45,时，,由,t,(,n,),分布表直接查得,t,(,n,),的值,t,0.95,(15)=1.7531,t,0.05,(15)=,t,0.95,(15)=,1.7531,三、,F,分布,1,、定义,定义,3.5,设随机变量,X,与,Y,相互独立,且,X,，,Y,，,则称统计量,服从,自由度为,n,m,的,F,分布,记为,F,F,(,n,m,),。,0,x,f,(,x,;,n,;,m,),注,：,F,分布是不对称分布，其分布曲线向右偏斜，,当,n,m,增大时，,F,分布近于对称。,2,、,F,分布的性质,F,分布的倒数也服从,F,分布,即若,F,F,(,n,m,),则,1/,F,F,(,m,n,),。,x,0,f,(,x,),定义,3.6,对于给定的正数,(0,1),，称满足条件,P,F,(,n,m,),F,(,n,m,)=,的,F,(,n,m,),为,F,分布的,分位数,。,3,、,F,分布的,分位数,注,：由,F,分布的性质可知,利用此式可以计算,F,分布表中未列出的某些数值。,四、正态总体的抽样分布,定理,3.4,设,X,1,X,2,X,n,是来自正态,总体,N,(,2,),的样本，,则有,证,:,1,由于,X,1,X,2,X,n,与总体,X,独立同分布,故,E,(,X,i,)=,D,(,X,i,)=,2,i,=1,2,n,则有,2,3,证明略。,例,3.3,在,总体,N,(,52,6.3,2,),中随机抽取一容量为,36,的样本，试求样本均值落在,50.8,到,53.8,之间的概率。,定理,3.2,设,X,1,X,2,X,m,和,Y,1,Y,2,Y,n,分别为来自正态,总体,N,(,1,1,2,),和,N,(,2,2,2,),的样本，且它们相互独立，,则有,五、渐近分布,定理,3.3,设,X,为任意总体,其期望为,E,(,X,)=,方差为,D,(,X,)=,2,0,X,1,X,2,X,n,为来自,总体,X,的样本,当,n,较大时,近似地有,注,：本定理可用中心极限定理证明。,例,3.4,若总体,X,的期望为,E,(,X,)=,方差为,D,(,X,)=,2,