第一章不等关系与基本不等式本章归纳整合课件（北师大版选修4-5）.ppt

,网络构建,专题归纳,掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形,熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法,理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值,本 章 归 纳 整 合,学习目标,1,2,3,会解四种类型的绝对值不等式：,|,ax,b,|,c,，,|,ax,b,|,c,，,|,x,c,|,|,x,b,|,m,，,|,x,c,|,|,x,b,|,m,.,会用平均值不等式求一些特定函数的最值,理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、几何法，会用它证明比较简单的不等式,4,5,6,知识结构,实数的运算性质与大小顺序的关系：,a,b,a,b,0,，,a,b,a,b,0,，,a,b,a,b,0,，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可,不等式的,4,个基本性质及推论是不等式的基础,绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法有：,(1),根据绝对值的定义；,(2),平方法；,(3),分区间讨论,知识梳理,1,2,3,(1)|,a,|,的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，,|,a,b,|,的几何意义表示数轴上两点间的距离；,(2)|,a,b,|,|,a,|,|,b,|(,a,，,b,R,，,ab,0,时等号成立,),；,(3)|,a,c,|,|,a,b,|,|,b,c,|(,a,，,b,，,c,R,，,(,a,b,)(,b,c,),0,等号成立,),；,(4)|,a,|,|,b,|,|,a,b,|,|,a,|,|,b,|(,a,，,b,R,，左边,“,”,成立的条件是,ab,0,，右边,“,”,成立的条件是,ab,0),；,(5)|,a,|,|,b,|,|,a,b,|,|,a,|,|,b,|(,a,，,b,R,，左边,“,”,成立的条件是,ab,0,，右边“”成立的条件是,ab,0),4,绝对值不等式定理,(1),定理,1,：若,a,，,b,R,，则,a,2,b,2,2,ab,(,当且仅当,a,b,时取,“,”,),；,5,基本不等式,(3),定理,3,：若,a,，,b,，,c,(0,，,),，则,a,3,b,3,c,3,3,abc,(,当且仅当,a,b,c,时取,“,”,),可以当作重要结论直接应用；,(6),在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足,“,一正，二定，三相等,”,的要求,(1),比较法证明不等式,作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件证明的步骤大致是：作差,恒等变形,判断结果的符号其中，变形是证明推理中的一个承上启下的关键，变形的目的全在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法,6,不等式的证明,(2),综合法证明不等式,综合法证明不等式的思维方向是,“,顺推,”,，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件,(,由因寻果,),，最后推导出所要证明的不等式成立,综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式,(,已知或已证,),成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中,“,当且仅当,时，取等号,”,的理由要理解掌握,(3),分析法证明不等式,分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是,“,逆推,”,，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件,(,执果索因,),，最后得到的充分条件是已知,(,或已证,),的不等式,当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效,由教材内容可知，分析法是,“,执果索因,”,，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是,“,由因导果,”,，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用,(4),反证法：反证法是一种,“,正难则反,”,的方法，反证法适用的范围：,直接证明困难；,需要分成很多类进行讨论；“唯一性”、“存在性”的命题；结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题,(6),几何法：根据要证不等式的结构特征，利用数形结合思想，构造几何图形得出结论,(7),证明不等式的其他方法及一题多证,证明不等式的方法除了上述介绍的比较法、综合法、分析法外，还可以运用反证法等证明不等式时既可探索新的证题方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养,专,题一,不等式的基本性质的应用,【,例,1,】,典例剖析,专,题,二,基本不等式的应用,【,例,2,】,专,题,三,绝对值不等式的解法,【,例,3,】,专,题,四,绝对值三角不等式的应用,【,例,4,】,若,a,b,c,，求证：,a,2,b,b,2,c,c,2,a,ab,2,bc,2,ca,2,.,证明,a,b,c,，,a,b,0,，,b,c,0,，,a,c,0,，,于是：,a,2,b,b,2,c,c,2,a,(,ab,2,bc,2,ca,2,),(,a,2,b,a,2,c,),(,b,2,c,b,2,a,),(,c,2,a,c,2,b,),a,2,(,b,c,),b,2,(,c,a,),c,2,(,a,b,),a,2,(,b,c,),b,2,(,c,b,),(,b,a,),c,2,(,a,b,),a,2,(,b,c,),b,2,(,b,c,),c,2,(,a,b,),b,2,(,a,b,),(,b,c,)(,a,2,b,2,),(,a,b,)(,c,2,b,2,),(,b,c,)(,a,b,)(,a,b,),(,a,b,)(,c,b,)(,c,b,),(,b,c,)(,a,b,),a,b,(,c,b,),(,b,c,)(,a,b,)(,a,c,)0,，,a,2,b,b,2,c,c,2,a,ab,2,bc,2,ca,2,.,专,题,五,比较法证明不等式,【,例,5,】,专,题,六,分析法证明不等式,【,例,6,】,已知函数,f,(,x,),是,(,，,),上的增函数，,a,，,b,R.,问命题,“,若,a,b,0,，则,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,)”,的逆命题是否成立，并证明你的结论,解,逆命题：,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),a,b,0.,它是成立的，下面用反证法证明：,假设,a,b,0,，那么,专,题,七,反证法证明不等式,【,例,7,】,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),，这与已知矛盾,原假设错误，,a,b,0,，逆命题得证,