第三章第1讲.ppt

,基础诊断,考点突破,课堂总结,第,1,讲导数的概念及运算,知,识,梳,理,(2),几何意义：函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),的几何意义是在曲线,y,f,(,x,),上点,_,处的,_.,相应地，切线方程为,_.,2.,函数,y,f,(,x,),的导函数,如果函数,y,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内的每一点处都有导数，其导数值在,(,a,，,b,),内构成一个新函数，这个函数称为函数,y,f,(,x,),在开区间内的导函数,.,记作,f,(,x,),或,y,.,(,x,0,，,f,(,x,0,),切线的斜率,y,y,0,f,(,x,0,)(,x,x,0,),3.,基本初等函数的导数公式,基本初等函数,导函数,f,(,x,),c,(,c,为常数,),f,(,x,),_,f,(,x,),x,(,Q,*,),f,(,x,),_,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),_,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),_,f,(,x,),e,x,f,(,x,),_,f,(,x,),a,x,(,a,0,，,a,1),f,(,x,),_,f,(,x,),ln,x,f,(,x,),_,f,(,x,),log,a,x,(,a,0,，,a,1),f,(,x,),_,0,x,1,cos,x,sin,x,e,x,a,x,ln,a,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),y,u,u,x,y,对,u,u,对,x,1.,判断正误,(,在括号内打,“”,或,“”,),(1),f,(,x,0,),与,(,f,(,x,0,),表示的意义相同,.(,),(2),求,f,(,x,0,),时，可先求,f,(,x,0,),再求,f,(,x,0,).(,),(3),曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点,.(,),(4),若,f,(,x,),e,2,x,，则,f,(,x,),e,2,x,.(,),诊,断,自,测,答案,A,3.,(2014,新课标全国,卷,),设曲线,y,ax,ln(,x,1),在点,(0,，,0),处的切线方程为,y,2,x,，则,a,(,),A.0 B.1 C.2 D.3,答案,D,4.,设函数,f,(,x,),在,(0,，,),内可导，且,f,(e,x,),x,e,x,，则,f,(1),_.,答案,2,5.,(2015,全国,卷,),已知函数,f,(,x,),ax,3,x,1,的图象在点,(1,，,f,(1),处的切线过点,(2,，,7),，则,a,_.,解析,f,(,x,),3,ax,2,1,，,f,(1),3,a,1.,又,f,(1),a,2,，,切线方程为,y,(,a,2),(3,a,1)(,x,1).,切线过点,(2,，,7),，,7,(,a,2),3,a,1,，,解得,a,1.,答案,1,考点一导数的运算,规律方法,(1),熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,，,求导之前,，,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,，,然后求导,，,这样可以减少运算量提高运算速度,，,减少差错,.,(2),如函数为根式形式,，,可先化为分数指数幂,，再求导,.,复合函数求导,，,应先确定复合关系,，,由外向内逐层求导,，,必要时可换元处理,.,考点二导数的几何意义,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),x,3,4,x,2,5,x,4.,(1),求曲线,f,(,x,),在点,(2,，,f,(2),处的切线方程；,(2),求经过点,A,(2,，,2),的曲线,f,(,x,),的切线方程,.,解,(1),f,(,x,),3,x,2,8,x,5,，,f,(2),1,，又,f,(2),2,，,曲线在点,(2,，,f,(2),处的切线方程为,y,2,x,2,，即,x,y,4,0.,(2),设曲线与经过点,A,(2,，,2),的切线相切于点,P,(,x,0,，,x,4,x,5,x,0,4),，,f,(,x,0,),3,x,8,x,0,5,，,切线方程为,y,(,2),(3,x,8,x,0,5)(,x,2),，,又切线过点,P,(,x,0,，,x,4,x,5,x,0,4),，,x,4,x,5,x,0,2,(3,x,8,x,0,5)(,x,0,2),，,整理得,(,x,0,2),2,(,x,0,1),0,，解得,x,0,2,或,1,，,经过,A,(2,，,2),的曲线,f,(,x,),的切线方程为,x,y,4,0,，或,y,2,0.,规律方法,(1),导数,f,(,x,0,),的几何意义就是函数,y,f,(,x,),在点,P,(,x,0,，,y,0,),处的切线的斜率,，,切点既在曲线上,，,又在切线上,.,切线有可能和曲线还有其他的公共点,.,(2),“,曲线在点,P,处的切线,”,是以点,P,为切点,，“,曲线过点,P,的切线,”,则点,P,不一定是切点,，,此时应先设出切点坐标,.,(3),当曲线,y,f,(,x,),在点,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线垂直于,x,轴时,，,函数在该点处的导数不存在,，,切线方程是,x,x,0,.,【训练,2,】,(1),(2014,广东卷,),曲线,y,e,5,x,2,在点,(0,，,3),处的切线方程为,_.,(2),(2015,全国,卷,),已知曲线,y,x,ln,x,在点,(1,，,1),处的切线与曲线,y,ax,2,(,a,2),x,1,相切，则,a,_.,答案,(1)5,x,y,3,0,(2)8,考点三导数几何意义的综合应用,【例,3,】,已知函数,f,(,x,),2,x,3,3,x,.,(1),求,f,(,x,),在区间,2,，,1,上的最大值；,(2),若过点,P,(1,，,t,),存在,3,条直线与曲线,y,f,(,x,),相切，求,t,的取值范围,.,x,(,，,0),0,(0,，,1),1,(1,，,),g,(,x,),0,0,g,(,x,),t,3,t,1,规律方法,解决本题第,(2),问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程,，,可将问题等价转化为关于,x,0,的方程有三个不同的实根,，,构造函数后,，,利用函数的单调性求极值,，,通过数形结合方法找到,t,满足的条件即可,.,解析,(1),由题意得,，,f,(,x,),3,x,2,3,，,设切点为,(,x,0,，,x,3,x,0,),，,那么切线的斜率为,k,3,x,3,，,利用点斜式方程可知切线方程为,y,(,x,3,x,0,),(3,x,3)(,x,x,0,),，,将点,A,(2,，,1),代入可得关于,x,0,的一元三次方程,2,x,6,x,7,0.,令,y,2,x,6,x,7,，,则,y,6,x,12,x,0,.,由,y,0,得,x,0,0,或,x,0,2.,当,x,0,0,时,，,y,7,0,；,x,0,2,时,，,y,1,0.,结合函数,y,2,x,6,x,7,的单调性可得方程,2,x,6,x,7,0,有,3,个解,.,故过点,A,(2,，,1),作曲线,f,(,x,),x,3,3,x,的切线最多有,3,条,，,故选,A.,答案,(1)A,(2)2,，,),思想方法,1.,f,(,x,0,),代表函数,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数值；,f,(,x,0,),是函数值,f,(,x,0,),的导数，而函数值,f,(,x,0,),是一个常量，其导数一定为,0,，即,f,(,x,0,),0.,2.,对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则,.,求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误,.,对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后,“,由外及内,”,逐层求导,.,易错防范,1.,利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式,(,x,),x,1,与指数函数的求导公式,(,a,x,),a,x,ln,a,混淆,.,2.,直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点,.,3.,曲线未必在其切线的,“,同侧,”,，例如直线,y,0,是曲线,y,x,3,在点,(0,，,0),处的切线,.,