空间向量复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例,3,、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质,量为,500kg,在它的顶点处分别受力,F,1,，,F,2,，,F,3,，,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都,是,60,，且,|F,1,|=|F,2,|=|F,3,|=200kg.,这块钢板在这,些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多,少时，才能提起这块钢板？,o,A,B,C,F,1,F,2,F,3,500kg,例,4,，如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,，,E,是,PC,的中点，作,EF PB,交,PB,于点,F,。,（,1,）求证：,PA,平面,EDB,；,（,2,）求证：,PB,平面,EFD,；,（,3,）求二面角,C-PB-D,的大小。,D,A,B,C,E,P,F,空间向量复习,a,b,O,A,B,b,a,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用,同一平面内的两条有向线段表示。,因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有,关结论仍适用于它们。,3.1.1,空间向量的运算,平面向量,概念,加法,减法,数乘,运算,运,算,律,定义,表示法,相等向量,减法,:,三角形法则,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘,:,ka,k,为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法交换律,数乘分配律,加法结合律,类比思想 数形结合思想,数乘,:,ka,k,为正数,负数,零,推广,:,（,1,）首尾相接的若干向量之和，等于由起始,向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（,2,）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图,形，则它们的和为零向量。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,一、共线向量,:,零,向量与任意向量共线,.,1.,共线向量,:,空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,2.,共线向量定理,:,对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数,使,3.1.2,共线向量定理与共面向量定理,推论,:,如果 为经过已知点,A,且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点,O,点,P,在直线 上的充要条件是存在实数,t,满足等式,OP=OA+t,其中向量,a,叫做直线的方向向量,.,O,A,B,P,a,若,P,为,A,B,中点,则,假如,OP=,OA+tAB,，则点,P,、,A,、,B,三点共线。,可用于证明点共线,二,.,共面向量,:,1.,共面向量,:,平行于同一平面的向量,叫做共面向量,.,O,A,注意：,空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,2.,共面向量定理,:,如果两个向量,不共线,则向量 与向量 共面的充要,条件是存在实数对 使,注：可用于证明三个向量共面,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内的充要条件是存在有序实数对,x,y,使,或,对空间任一点,O,有,注意：,证明空间四点,P,、,M,、,A,、,B,共面的两个依据,实数对,1,、已知,a=(2,4,5),b=(3,x,y),若,ab,求,x,y,的值。,2,、证明：三向量,a=e,1,+e,2,b=3e,1,-2e,2,c=2e,1,+3e,2,共面；若,a=,mb+nc,，试求实数,m,、,n,之值。,1,）两个向量的夹角,O,A,B,3.1.3,空间向量的数量积,向量,a,与,b,的夹角记作：,2,）两个向量的数量积,注意：,两,个,向量的数量积是数量，而不是向量,.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3,）射影,B,A,A,1,B,1,注意：是轴,l,上的正射影,A,1,B,1,是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与,l,的方向的相对关系，大小代表在,l,上射影的长度。,4),空间向量的数量积性质,注意：,性质,2,）是证明两向量垂直的依据；,性质,3,）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,5),空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,1,、应用 可证明两直线垂直，,2,、利用 可求线段的长度。,向量数量积的应用,3.1.4,空间向量正交分解及其坐标表示,空间向量基本定理：,如果三个向量,a,b,c,不共面,，那么对空间任一向量,p,存在有序,实数组,x,y,z,使得,p=,xa+yb+zc,.,空间所有向量的集合,p|p,=,xa+yb+zc,x,y,zR,a,b,c,叫做空间的一个,基底,，,a,b,c,都叫做,基向量。,二、空间直角坐标系,单位正交基底：,如果空间的一个,基底,的三个,基向量互相垂直,，且,长都为,1,，则这个基底叫做,单位正交基底,，常用,i,j,k,表示。,则空间中任意一个向量,p,可表示为,p=,xi+yj+zk,(,x,y,z,),就是向量,p,的坐标。,3.1.5,向量的直角坐标运算,二、距离与夹角,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（,2,）空间两点间的距离公式,终点坐标减,起点坐标,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？,立体几何中的向量方法,1,、用空间向量解决立体几何问题的,“,三步曲,”,。,（,1,）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（,3,）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,a,l,a,二、怎样求平面法向量？,1,、已知正方体,ABCD-A1B1C1D1,的棱长为,2,，,E,、,F,分别是,BB1,、,DD1,的中点，求证：,（,1,）,FC1/,平面,ADE,（,2,）平面,ADE/,平面,B1C1F,证明：如图,1,所示建立空间直角,坐标系,D-,xyz,，则有,D,（,0,，,0,，,0,）、,A,（,2,，,0,，,0,）、,C,（,0,，,2,，,0,）、,C1,（,0,，,2,，,2,）、,E,（,2,，,2,，,1,）、,F,（,0,，,0,，,1,），所以,设 ，分别是,平面,ADE,、平面,B1C1F,的法向量，则，,2,、已知向量 则 上的单位向量为：,同理可求,（,1,）,，又,FC,1,平面,ADE,，,平面,ADE,平面,ADE/,平面,B,1,C,1,F,（,2,）,取,y=1,，则,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,，平面,，,的法向量分别为,u,v,则,线线平行：,lm,a b a=kb;,线面平行：,l,au,au,=0;,面面平行：,u v u=,kv,.,线线垂直：,l m a b,a,b,=0;,面面垂直：,u v,u,v,=0.,线面垂直：,l a u a=,ku,;,三、有关结论,异面直线所成角的范围：,结论：,题型一：线线角,3.2.3,利用空间向量求空间角,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,题型二：线面角,直线,AB,与平面,所成的角,可看成是向量与平面,的法向量所成的锐角的余角，所以有,题型三：二面角,二面角的范围,：,关键：观察二面角的范围,B,A,a,M,N,n,a,b,一、求异面直线的距离,方法指导,:,作直线,a,、,b,的方向向量,a,、,b,，求,a,、,b,的法向量,n,，即此异面直线,a,、,b,的公垂线的方向向量；,在直线,a,、,b,上各取一点,A,、,B,，作向量,AB,；,求向量,AB,在,n,上的射影,d,，则异面直线,a,、,b,间的距离为,方法指导,:,作直线,a,、,b,的方向向量,a,、,b,，求,a,、,b,的法向量,n,，即此异面直线,a,、,b,的公垂线的方向向量；,在直线,a,、,b,上各取一点,A,、,B,，作向量,AB,；,求向量,AB,在,n,上的射影,d,，则异面直线,a,、,b,间的距离为,3.2.4,如图点,P,为平面外一点，点,A,为平面内的任,一点，平面的法向量为,n,过点,P,作平面,的垂,线,PO,，记,PA,和平面,所成的角为,，则点,P,到平面的距离,n,A,P,O,二、求点到平面的距离,例,4,、已知正方形,ABCD,的边长为,4,，,CG,平面,ABCD,，,CG=2,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点，求直线,BD,到平面,GEF,的距离。,D,A,B,C,G,F,E,x,y,z,三、求直线与平面间距离,例,5,、在边长为,1,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,、,E,、,F,分别是棱,A,1,B,1,、,A,1,D,1,、,B,1,C,1,、,C,1,D,1,的中点，求平面,AMN,与平面,EFDB,的距离。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,M,N,E,F,x,y,z,四、求平行平面与平面间距离,立体几何中的向量方法,坐标法,问题,1,：已知：,ABC,为正三角形，,EC,平面,ABC,且,EC,DB,在平面,ABC,同侧，,CE=CA=2BD.,求证：,平面,ADE,平面,ACE.,怎样建立适当的空间直角坐标系？,怎样证明平面,ADE,平面,ACE,？,如何求平面,A,DE,、,平面,AC,E,的法向量？,一个平面的法向量有多少个？,能否设平面,ADE,的法向量为,n,=(1,y,z)?,这样做有什么好处？,解：分别以,CB,，,CE,所在直线为,y,z,轴，,C,为原点建立空间直角坐标系,C,-xyz,如右下图,设正三角形,ABC,边长为,2,则,C(0,0,0),、,E(0,0,2),、,D(0,2,1),、,B(0,2,0),、,设,N,为,AC,中点，则,N,连接,BN,，,ABC,为正三角形，,BN,AC,，,EC,平面,ABC,BN,EC,又,ACEC=C,BN,平面,ACE.,因此可取向量 为平面,ACE,的法向量,.,那么,设平面,ADE,的法向量为,n=(1,y,z),则,n,n,n=,n,平面,DEA,平面,ACE.,为了方便计算，能否取平面,ACE,的法向量为,通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？,步骤如下：,1.,建立适当的空间直角坐标系；,2.,写出相关点的坐标及向量的坐标；,3.,进行相关的计算；,4,写出几何意义下的结论,.,小结：,1,、怎样利用向量求距离？,点到平面的距离：,连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（,如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值,）。,点到直线的距离：,求出垂线段的向量的模。,直线到平面的距离：,可以转化为点到平面的距离。,平行平面间的距离：,转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。,异面直线间的距离：,转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。,