复变函数--第六章.ppt

第六章 积分变换的预备知识,本章介绍几个以后经常要用到的典型,的函数，以及函数的卷积和序列的卷积,.,1,单位阶跃函数,2,矩形脉冲函数,6.1,几个典型函数,3,d,函数,O,t,u,(,t,),.,O,t,u,(,t,),6.1.1,单位阶跃函数,函数,),定义为,显然,u,(,t,),在,t,=0,处从,0,跃变为,1.,延迟,t,0,的阶跃函数为,单位阶跃函数,(,简称阶跃函数,又称,Heaviside,利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式,表示,.,例如设,于是可以用阶跃函数表示为,6.1.2,矩形脉冲函数,宽度为,t,幅度为 的矩形脉冲函数为,o,t,E,.,.,.,6.1.3,d,函数,在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外，,还有集中作用在一点的量,.,例如，点电荷、点热源、,质点、单位脉冲等,.,下面分析在原点处分布单位质,量的情况,.,如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻,域,-,e,e,之内,这时,-,e,e,内的每一点的密度,很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认,为是上述情形当 时的极限,并用,d,(,x,),表示密,度分布的极限,.,在直观上可以看作,根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应,该是在此区间上分布的总质量,.,因此，应有,针对这类问题,20,世纪,30,年代,英国物理学家,Dirac,引进了满足以上性质的“函数”,称为,“,d,函数”,并且要求对任何连续函数,f,(,x,),都有,但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这,些都是不合理的,.,因为,不是确定的数,它表明变量,的变化趋势,所以,d,(0)=+,无意义,.,而积分值与函,数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的,函数积分也应为零,.,从而,d,函数的上述性质在古典,意义下都不可能成立,也是不合理的,.,因此,在很长,一段时期,d,函数没有被数学家们接受,.,但以,Dirac,为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数,.,因为,这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得,它是一个“很好用”的有力工具,.,直到,20,世纪,50,年代，,法国数学家,L.,Shwartz,建立了广义函数的理论,.,在他,的理论中，,d,函数已不是通常意义下的函数,而属于,更广泛意义下的函数,从而为,d,函数建立了坚实的,理论基础,并且也使得这一类函数在数学的其他分,支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用,.,这些理论的建立是以泛函分析为基础的,下面,仅作简单概括的介绍,.,d,函数不是通常意义下的函数，而是满足一定,条件下的函数在新的意义下的极限,这类极限称为,弱极限,.,设 是当 时,在,上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数,f,(,x,),有,特别地，当 时，,满足这些条件的函数 称为,d,逼近函数,.,d,函,数,d,(,x,),就是这类,d,逼近函数的弱极限,.,所谓弱极限,就是对任何无穷可微函数,f,(,x,),由极限式,所确定的新的元素,把这样的新元素记为,d,(,x,),并且,规定,d,(,x,),的积分,(,已不是通常意义下的积分,),为,除了上面已提到过的函数,外,还有很多不同的,d,逼近函数，例如,等都是,d,逼近函数，其弱极限都是,d,(,x,).,d,(,x,),是具有以下性质的广义函数,(,d,函数又称为,单位脉冲函数,或称为,Dirac,函数,),：,(1),即,d,函数是偶函数,.,(2),特别地，,其中,f,(,x,),是任意连续函数,.,更一般地,(3),d,(,x,),是无穷可微函数,其导函数 也是广,义函数,使得对任意无穷可微函数,f,(,x,),有,(4),其中,u,(,t,),是单位,阶跃函数,.,6.2,卷积的概念与性质,1,函数的卷积,2,序列的卷积,6.2.1,函数的卷积,定义,6.1,设函数 和 都是 上的,绝对可积函数,积分,称为,函数,和 在区间 上,的卷积,.,记,为 或,即,如果,t,0,时,则卷积变为,这是 上的卷积公式,.,例,6.1,求 和 在 上的,卷积,.,解由 上的卷积公式,卷积具有下面一些性质,(,这里假定所有的广义,积分均收敛,并且允许积分交换次序,):,(1),交换律,证明 由卷积的定义,令 则 并且,(2),分配律,证明 由卷积的定义,(3),结合律,证明 由卷积的定义,令 则 并且,再交换积分次序可得,(4),与单位脉冲函数的卷积,设,f,(,t,),是 上的连续函数,则,证明 由卷积的定义以及,d,函数的性质可得,6.2.2,序列的卷积,定义,6.2,设 和 是两,个无限序列,并且 和 均绝对收敛,.,序列,称为,序列,和,的卷积,.,记为 或,即,在工程中常用有限序列的卷积,.,设,是两个有限序列,记做,这里正整数,N,1,和,N,2,分别叫做序列 和 的,序列长度,n,1,和,n,2,是整数,.,在序列的卷积公式,中,当 或 时,取,得到有限序列 和 的卷积公式为,其中当 或 时,取,显然此时序列 的长度为,并且卷积序列 可由下面 阶的,卷积矩阵,次对角线方向上的元素之和给出,即,容易验证,序列的卷积同样满足交换律、分配律,和结合律,.,例,6.2,设,求卷积,写出下面的,4,3,阶卷积矩阵,卷积 的序列长度为,4+3-1=6.,所以,本章主要内容,函数卷积,序列卷积,单位阶跃函数,矩形脉冲函数,d,函数,几个典型函数,交换率,分配率,结合率,本章的重点,2.,函数的卷积和序列的卷积,1.,几个典型的函数,第六章 完,Paul,Adrien,Maurice,Dirac,(1902.8.8 1984.10.20),英国数学家和理论物理学家,.,首先学习电力工程专业,后来学习数学,在剑桥大学,获得博士学位,.1932,年至,1969,年任剑桥大学数学教授,英国皇家学会会员,1933,年获,Nobel,物理学奖,1971,年,任美国佛罗里达州立大学教授,.,他是,量子力学的创立者之一,建立,Dirac,方程,曾预言存在正电子和反粒子,.,Laurent Schwartz,法国数学家,.,创立了广义函数论,在其它,一些数学领域也有建树,35,岁时获得数学,Fields,奖,.,(1915.3.5 2002.7.4),Oliver,Heaviside,英国电磁学家,.,发现了大气中能,反射无线电波的,Heaviside,层,.,(1850.5.18,1925.2.3),