法向量求二面角李耀明.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面法向量 在立体几何中的应用,利用法向量求二面角,(,一,),平面的法向量的定义：,n,如果,n,那么向量,n,叫做平面的法向量,1,、利用平面法向量求直线与平面所成的角：,直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。,（,二）平面法向量的应用,如,图：直线,AB,与平面所成的角,=,(=,),2,A,B,C,n,2,、利用平面法向量求二面角的大小,求,二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小,m,n,如图：二面角的大小等于,-,2,、利用平面法向量求二面角的大小,如图：二面角的大小等于,m,n,指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。,例,1,：如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,，,M,，,N,分别是,A,1,B,1,，,BC,，,C,1,D,1,，,B,1,C,1,的中点，求二面角,M-EF-N,的大小,A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,(2),A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,x,y,z,解：（,1,）建系如图所示，设正方体棱长为,2,则,M,（,0,，,1,，,2,）,F,（,1,，,2,，,0,）,E,（,2,，,1,，,2,）,N,（,1,，,2,，,2,）则,MF=,（,1,1,，,-2,）,NF=,（,0,，,0,，,-2,）,EF=,（,-1,，,1,，,-2,），,设平面,ENF,的法向量为,n=(x,y,z),EFn,=0,NFn,=0,-x+y-2z=0,-2z=0,则,x=y,z=0,令x=y=1,则n=(1,1,0),2,A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,x,y,z,解：（,2,）建系如图，由（,1,）得：面,ENF,的法向量为,n=,（,1,，,1,，,0,），又,MF=,（,1,，,1,，,-2,）,EF=,（,-1,，,1,，,-2,）,设面,EMF,的法向量为,m=,（,x,y,z),，,则,MF.m,=0,EFm,=0,x+y-2z=0,-x+y-2z=0,x=0,y=2z,令,z=1,则,m=(0,2,1),cos,=10/5,由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为,arccos(10/5),练习,2:,练习,2:,小结：,1.,异面直线所成角：,2.,直线与平面所成角：,3.,二面角：,关键：观察二面角的范围,（,1,）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题,(,还常建立坐标系来辅助,),；,（,2,）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（,3,）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义,.,（化为向量问题或向量的坐标问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,谢谢指导,富源一中,李 耀 明,