《高数》积分判别法.doc

积分判别法 若在1,)上f减, 非负, 则f (n)收敛收敛. 此时f (n)+ f (1).证 f (1) = f (1), f (2), ,f (n), 相加得+ f (1). 令n得证.注. 条件可改为x充分大时f减, 非负.例1(p级数)当且仅当p 1时收敛.证一. p 0时用积分判别法; p0时由必要条件.证二 p1时由n-pn-1得发散, p1时用积分判别法.*证三 p1时由n-pn-1得发散. p 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, , 则由, 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p级数也收敛., .备考. 设f (x) = (x ln px)-1 (x2), 则p0时显然f减. 而p 0时对充分大的x, f仍减p 0时f (x) = - (x ln px)-2 ln p-1x (ln x + p) e -p), 故可直接应用积分判别法得(n ln pn)-1当p 1时收敛, p1时发散. .sin (). (=0, 或0) (=, 或=0). (或(上册p.40.4(5). (= (1 +)n或). (). (p1时,发散; p1时取q使pq1, 则0或ann-q, 收敛).(- 1) (a 1) (由ln a (x0)知- 1 = O(). p.16.1 (9)类似).* (). *(0(x), n充分大时(ln n) ln ln n= exp(ln ln n)2 0, an收敛, 则与an an+1收敛. 与an比较. 例3(p.16.9(4). 考察的收敛性.解 设f (x) = x (ln x)p (ln ln x) q, 则f (x) = ln p-1 x (ln ln x) q-1(ln x + p) ln ln x + q ), x充分大时p, q , f (x) 0, 故可用积分判别法. . p1时取r使pr1,由u r0知I收敛. p=1时I =, 当且仅当q1时收敛. p 1或p=1, q 1时收敛, 在其它情形发散.*例4 (p.16.10) an, 非负, 则an收敛2m(=2a2 + 4a4 + )收敛.证 设2 m= s. 因为= a1 + a2 + += a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + + a7 ) + +(a1 + 2a2 + 4a4 + = a1 + s, 故n sn a1 + s, 由收敛原理得an收敛.设an = s, 则由a 2 a 1 + a 2 , 2 a 4 a 3 + a 4等得 (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + (a 5 + + a 8 ) + = s. 因此2m的部分和有界, 从而收敛.应用: 收敛2m=2(1-p)m收敛21-p 1 .收敛p1.*例5 (Raabe判别法) 若lim n (1 -) = l , 则l 1时an收敛, l 1时取p使l p1,则n充分大时n (1-)p,1-.由比较法, 收敛. l1时对充分大的n有n (1 -)1-