《高数》积分判别法.doc

积分判别法 若在[1,∞)上f减, 非负, 则∑f (n)收敛Û收敛.
此时≤∑f (n)≤+ f (1).
证 ≤f (1) = f (1), ≤f (2)≤, … ,≤f (n)≤, 相加得≤≤+ f (1). 令n→∞得证.
注. 条件可改为x充分大时f减, 非负.
例1(p级数)∑当且仅当p > 1时收敛.
证一. p > 0时用积分判别法; p≤0时由必要条件.
证二 p≤1时由n-p≥n-1得发散, p>1时用积分判别法.
*证三 p≤1时由n-p≥n-1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由, … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p级数也收敛.
△, … .
备考. 设f (x) = (x ln px)-1 (x≥2), 则p≥0时显然f减. 而p< 0时对充分大的x, f仍减[p< 0时f ' (x) = - (x ln px)-2 ln p-1x (ln x + p)< 0 (x > e -p), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln pn)-1当p > 1时收敛, p≤1时发散.
△∑. △.△.△∑sin (~).
△∑ (=→0, 或<或). △∑(→0).
△∑(a>0) (=, 或=→0). △∑(→或→(上
册p.40.4(5)). △∑(= (1 +)n<1).
△∑(>或→∞). △∑(→∞).
△∑(p≤1时→∞,发散; p>1时取q使p>q>1,, 则→0或an≤n-q, 收敛).
△∑(- 1) (a >1) (由→ln a (x→0)知- 1 = O(). p.16.1 (9)类似).
*△∑ (≤). *△∑(∵→0(x→
∞), ∴n充分大时(ln n) ln ln n= exp(ln ln n)2 < e ln n = n, 发散).
例2. 证明: 若an > 0, ∑an收敛, 则∑与∑an an+1收敛. [与∑an比较].
例3(p.16.9(4). 考察的收敛性.
解 设f (x) = x (ln x)p (ln ln x) q, 则f ' (x) = ln p-1 x (ln ln x) q-1((ln x + p) ln ln x + q ), x充分大时"p, q , f ' (x) > 0, 故可用积分判别法. . p>1时取r使p>r>1,
由u r→0知I收敛. p=1时I =, 当且仅当q>1时收敛. p<1时由u
→∞, I发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p=1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.
*例4 (p.16.10) an↓, 非负, 则∑an收敛Û∑2m(=2a2 + 4a4 + …)收敛.
证 设∑2 m= s. 因为= a1 + a2 + … += a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + … + a7 ) + … +
(≤a1 + 2a2 + 4a4 + … = a1 + s, 故"n sn <≤a1 + s, 由收敛原理
得∑an收敛.
设∑an = s, 则由a 2 £ a 1 + a 2 , 2 a 4 £ a 3 + a 4等得£ (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) +
(a 5 + …+ a 8 ) + … = s. 因此∑2m的部分和有界, 从而收敛.
应用: ∑收敛Û∑2m=∑2(1-p)m收敛Û21-p < 1Ûp >1 .
∑收敛Ûp>1.
*例5 (Raabe判别法) 若lim n (1 -) = l , 则l >1时∑an收敛, l < 1时∑an发散, l =
1时不定.
证 l>1时取p使l >p>1,则n充分大时n (1-)>p,<1-.
由比较法, 收敛. l<1时对充分大的n有n (1 -)<1, >1-