复变函数--第十章.ppt

第十章 小波变换基础,小波分析是当前数学中一个迅速发展的,新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和,频率的局域变换，因而能有效地从信号中提,取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数,或信号进行多尺度细化分析,解决了,Fourier,变换不能解决的许多困难问题,.,本章简单介绍,小波变换的基本理论和应用,.,本章将,Fourier,变换记为,R,表示实数,Z,表示整数,N,表示正整数,.,表示绝对可积函数构成的空间,表示平方绝对可积函数构成的空间,对,表示空间 中的内积,是 的共轭,.,10.1,小波变换的背景,自从,1822,年,Fourier,发表,热传导解析理论,以来，,Fourier,变换一直是在信号处理等工程应用,领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段,Fourier,变换和逆变换将研究的内容从时域变换到,频域,也就是从一个空间变换到另一个空间,这种,研究思想和方法是重大的创新,.,如果把,f,(,t,),理解为信号的描述,Fourier,变换和,逆变换的表达式,说明,信号的,Fourier,变换能给出信号的频率特性,即其频谱分析,.,由于,Fourier,变换和逆变换具有很好,的对称性,使得信号的重构很容易进行,.,特别是后来,离散,Fourier,变换,(DFT),的发展,以及,1965,年提出的,快速,Fourier,变换,(FFT),与计算机技术相结合,使,得,Fourier,变换的应用更加广泛和有效,在科学技,术的各个领域发挥过重要作用,.,但是,Fourier,变换仅适用于确定性的平稳信号,.,从定义可以看出,为了应用,Fourier,变换去研究一个,信号的频谱特性,必须获得在整个时域,中信号的全部信息,.,由于 即,Fourier,变换,的积分核在任何情形下的模都是,1,所以信号,f,(,t,),的,频谱 的任一频点值都是由,f,(,t,),在整个时间域,上的贡献决定的,;,反之,信号,f,(,t,),在任一时刻的状态,也是由频谱 在整个频域 上的贡献,决定的,.,所以在时域中,Fourier,变换没有任何分辨能,力,通过有限频段上的 不能获得信号,f,(,t,),在任何,有限时间间隔内的频率信息,.,因为一个信号在某个时,刻的一个小的邻域中发生了变化,那么整个频域都要,受到影响,.,这就是说,Fourier,变换在时域没有局域特,性,.,同样地分析可见,在频域上,Fourier,变换也没有局,域特性,为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946,年,Gabor,提出了著名的,Gabor,变换,之后又进一步发,展为窗口,Fourier,变换,也称短时,Fourier,变换,(STFT).,STFT,弥补了,Fourier,变换的一些不足,已在许多领域,获得了广泛的应用,.,但是,由于,STFT,的时,-,频窗口大,小和形状固定,与时间和频率无关，所以并没有很好,地解决时频局部化问题,这对于分析时变信号来说,是不利的,.,高频信号一般持续时间很短,而低频信号,持续时间较长,因此,我们期望对于高频信号采用小,时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析,在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同,STFT,固定时窗的特性是矛盾的,STFT,无法满足,这种需要此外，在进行数值计算时，人们希望,将基函数离散化，以节约计算时间及存储量但,Gabor,基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，,因而给数值计算带来了不便,小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小,波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经,在许多领域的应用中有所体现,在,1910,年,Haar,提出的规范正交基应该是小波分,析的最早萌芽,.1938,年,Littlewood-Paley,对,Fourier,级数按二进制频率成分进行分组,.1965,年,Galderon,发现再生公式,它的离散形式已接近小波展开,.1981,年，,Stormberg,对,Haar,系进行了改进,证明了小波函,数的存在性小波概念的真正出现应该是在,1984,年,当时法国地球物理学家,Morlet,在分析地震数据时提,出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开,.,然,后数学家,Meyer,对,Morlet,提出的方法进行系统研究,并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础,.,小波变换克服了,Fourier,变换和窗口,Fourier,变,换的缺点,在时域和频域同时具有良好的局域化性,质,被誉为“数学显微镜”,.,1987,年,法国数学家,Mallat,与,Meyer,合作,将计,算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分,析中,提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的,所有具体正交小波基的构造,并且提出相应的分解,与重构快速算法,.,随后,Mallat,将多分辨分析用于图,象处理,取得了巨大成功,.,小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析,等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论,和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和,重视,.,小波分析的应用是与小波分析的理论研究,紧密地结合在一起的,.,对于处理性质随时间稳定不,变的信号,理想工具仍然是,Fourier,分析,.,但是在实,际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用,于非稳定信号的工具就是小波分析,.,小波分析的应,用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音,识别与合成、医学成像与诊断等方面,.,10.2,窗口,Fourier,变换简介,窗口,Fourier,变换是在,Fourier,变换的框架内,将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加,通过在时域上加上窗口来实现短时性,.,通常选择在,有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数,g,(,t,),作为窗函数,用平移滑动的窗函数,g,(,t,-,t,),与信号,f,(,t,),相乘,有效地抑制了,t,=,t,邻域以外的信号,在,t,附近,开窗,通过平移来覆盖整个时间域,.,再进行,Fourier,变换,所得的结果反映了,t,=,t,时刻附近的频谱信息,从而产生了时域局部化的作用,.,定义,10.1,设函数,则称 的,Fourier,变换,为,f,(,t,),的,窗口,Fourier,变换,也称,f,(,t,),的,Gabor,变换,记,为 其中,g,(,t,),称为,时窗函数,.,以下总是取时窗函数,g,(,t,),满足,根据,Fourier,变换的反演公式,有,于是,从而,因为,所以,这就是,窗口,Fourier,变换的反演公式,.,定义,10.2,设,g,(,t,),是时窗函数,称,为,时窗中心,称,为,时窗半径,.,于是时窗函数,g,(,t,),的窗口为 窗口,的宽度为,2,t,.,下面讨论时窗函数,g,(,t,-,t,),的时窗中心,和时窗半径,由此可见,时窗中心在平移,而时窗半径不变,.,定义,10.3,设,g,(,t,),是时窗函数,称,为,频窗函数,并且称,是,频窗中心,称,是,频窗半径,.,当频窗函数是 时,类似地可以推导出,相应的频窗中心和频窗半径为,因此频窗中心在平移,频窗半径不变,.,在时,-,频坐标系中,时窗,和频窗共同作用形成时,-,频,窗,右图是通过时,-,频窗进行,时,-,频局部化的几何直观描述,.,窗口,Fourier,变换把时域上的信号,f,(,t,),映射到,时,-,频域平面 中的一个二维函数,一个常用的窗口函数是,Gauss,函数,其中,a,b,使得,易见时窗中心 并且时窗半径,相应的频窗函数 因此可以计,算出频窗中心 频窗半径 所以时,-,频窗面积为,Heisenberg,测不准原理,:,存在常数,C,0,使得,称为窗口,Fourier,变换的,Heisenberg,不等式,.,Heisenberg,不等式表明窗口,Fourier,变换的时,窗半径和频窗半径,一个减小必然引起另一个的,增大,不能同时减小,.,窗口,Fourier,变换的窗函数选定以后,其时,-,频,窗就固定不变了,这样就限制了窗口,Fourier,变换,的实际应用,.,为了提取高频分量的信息,时窗应该,尽量地窄,而允许频窗适当地宽,;,对于低频分量,时窗则应适当加宽,以保证至少能包含一个周期的,过程,频窗应当尽量缩小,保证有较高的频率分辨率,.,10.3,连续小波,变换,虽然窗口,Fourier,变换已经具备了平移的功能,但是,w,的变化不改变窗口的大小与形状,不具备伸,缩性,.,通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数,之中,代替,Fourier,变换中不衰减的正交基 从,而创立了小波变换,.,定义,10.4,设 满足条件,则称 为,基本小波,或,小波母函数,.,称,为由基本小波 生成的,连续小波,或,小波基函数,其中,a,和,b,为参数,分别是伸缩因子和平移因子,.,连续小波 的作用与窗口,Fourier,变换中,的 作用类似,其中,b,与,t,一样都起着时,间平移的作用,而,a,在连续小波变换中是一个尺度,参数,它既能改变窗口的大小与形状,同时也能改,变连续小波的频谱结构,.,常用的基本小波,:,Haar,小波,Morlet,小波,墨西哥草帽小波,(Marr,小波,),定义,10.5,设 为由基本小波 生成的连,续小波,.,对 称,为,f,(,t,),的,连续小波变换,.,连续小波变换具有如下一些,主要性质,.,(1),线性性质,设,k,1,k,2,是任意常数,则,(2),平移性质,设 则,(3),尺度法则,设 则,与窗口,Fourier,变换类似,在小波变换中,也可,称 是窗函数,小波变换的时,-,频窗表现了小,波变换的时,-,频局部化能力,.,设 是小波函,数,时窗中心,时窗半径,频窗中心,和,频窗,半径,分别为,小波变换中的窗函数 是由 的平移和,缩放得来的,分别记对应于 的有关量为,:,时窗,中心,时窗半径,频窗中心,频窗半径,虽然 的时窗和频窗,的中心与宽度随着,a,b,在变化,但是在时,-,频面上,窗口的面积,不变,这是因为,定理,10.1,设 为基本小波,则有,连续小波变换的反演公式,10.4,二进小波变换和离散小波变换,在数字计算中,要把连续小波及其变换离散化,.,一般对小波变换进行二进制离散,即取,a,为离散值,而,b,仍取为连续的值,.,这种离散化的小波和相应的小,波变换叫做二进小波和二进小波变换,.,如果在一定,条件下,b,也取为离散的值,则得到离散小波和相应,的离散小波变换,.,定义,10.6,设 为基本小波,记,对 定义小波变换为,其中,s,为尺度因子,.,如果取 则定义,10.6,中小波变换与,中连续小波变换的关系为,定义,10.7,设 为基本小波,.,如果存在常数,使得,则称 是一个,二进小波,.,如果 是一个二进小,波,对 其在,x,位置和尺度 的小,波变换为,称序列 为,二进小波变换,.,为了得到二进小波变换的反演公式,需要给,出下面重构小波的概念,.,定义,10.8,设 为二进小波,.,如果函数,满足,则称 为,重构小波,.,对给定的二进小波 可以验证满足,的函数 就是一个对应于 的,重构小波,并且,即 也是一个二进小波,.,定理,10.2,设 为基本小波,是一个对应,的重构小波,.,对 则有,二进小波变换的反,演公式,下面考虑,离散小波变换,(DWT).,设 为基本小波,在由 生,成的连续小波,中,取 可得,称函数族 为,离散小波,.,定义,10.9,设 为基本小波,为相,应的离散小波,.,对,离散小波变换,定义为,10.5,多分辨分析,首先给出 空间中的一些几何概念,.,设 为 的子集,定义集合 为,:,存在 使得,称 是,V,在 中的闭包,.,如果对任意的 以及任意的,都有 则称,V,是 的子空间,.,设,V,是 的子空间,.,对任意的,如果,那么 则称,V,是 的闭子空间,.,设,V,是 的子空间,如果存在 满足,(1),即 是规范的,;,(2),内积,即 是正交的,;,(3),存在 使得 即,则称 是空间,V,的一个,规范正交基,.,定义,10.10,设 是空间 中的闭子空,间列,.,如果满足,(1),单调性,:,(2),逼近性,:,(3),伸缩性,:,(4),平移不变性,:,(5),Riesz,基的存在性,:,存在 使得,是 的规范正交基,则称 是空间 中的一个,多分辨分析,或,多尺度分析,其中 称为,尺度函数,.,多分辨分析的条件,(3),伸缩性表明,闭子空,例如,间列 由其中的任意一个空间完全决定,.,构成 的规范正交基,记,多分辨分析的思想就是先在 的某个子空,间中建立基底,然后利用简单的伸缩与平移变换,把子空间的基底扩充到 中,.,定理,10.3,设 是空间 中的一个多,分辨分析,为尺度函数,则,定理,10.4,设 是空间 中的一个多,分辨分析,为尺度函数,.,如果存在 使,得 并且,对 定义函数 为,令 则,构成 的规范正交基,.,称定理,10.4,中的 为,正交小波函数,为,正交小波基,.,下面给出一个多分辨分析的例子,.,例,10.1(Haar,小波,),取 的闭子空间 为,:,在每一区间,(,n,n,+1),上,f,(,t,),为常数,.,定义,(0,1),区间上的特征函数为,记 于是 是闭子空间,的规范正交基,.,利用定义,10.10,中的伸缩性给出空间 可以,验证定义,10.10,中的其他条件满足,于是得到一个,多分辨分析,.,基于多分辨分析框架可以得到了,Mallat,分解,与重构算法,Mallat,算法在小波变换中的地位相,当于快速,Fourier,变换,(FFT),在,Fourier,变换中的,地位,.,10.6,Mallat,分解与重构算法,设 是空间 中的一个多分辨分析,为尺度函数,.,对任意的 有惟一的级数表示为,其中 和 分别由,和,给出,.,从而,经过计算可得,Mallat,分解算法,和,重构算法,其中 和 由 给出,.,小波变换的概念可以从一维推广到二维，用,于图像的小波分解与重建,.,双正交样条小波,(,Biorthogonals,简称,bior,),在,信号与图像的分解与重构方面有重要的应用,.,这类,小波通过使用两个双正交的小波 和 组成小波对，,一个用于分解，另外一个用于重构,.,用于分析,信号,s,(,x,),的小波系数,用于合成信号,阶数,Nr,和,Nd,分别为：,Nr=1,Nd,=1,3,5;Nr=2,Nd,=2,4,6,8;,Nr=3,Nd,=1,3,5,7,9;Nr=,Nd,=4;Nr=6,Nd,=8.,过,MATLAB,实现,.,一个图像作小波分解后,得到一系列不同分辨,率的子图像,不同的子图像对应不同的频率,.,高分,辨率也即高频的子图像上大部分点的数值接近零,表现图像的最主要部分是低频部分,.,所以可以利用,小波分解去掉图像的高频部分只保留低频部分,就,可以对图像进行压缩,.,利用二维小波变换可以 并通,窗口,Fourier,变换,本章主要内容,连续小波变换,二进小波变换,离散小波变换,线性性质,平移性质,尺度法则,小波变换,多分辨分析,Mallat,分解算法,重构算法,本章的重点,3.,多分辨分析,2.,二进小波变换与离散小波变换,1.,连续小波变换的定义及其性质,4.,Mallat,分解与重构算法,第十章 完,