定积分的背景-.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,定积分的背景-面积问题,问题引入：,圆的面积公式s=r*r如何推导？,魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就 是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”,小资料：,刘徽,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,A,1,.,用一个矩形的面积,A,1,近似代替曲边梯形的面积,A,，,得,如何求曲边梯形的面积,?,A,A,1,+,A,2,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积,A,，得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,如何求曲边梯形的面积,?,A,A,1,+,A,2,+,A,3,+,A,4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积,A,，得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,A,3,A,4,如何求曲边梯形的面积,?,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,A,1,+,A,2,+,+,A,n,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替,小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积,A,近似为,A,1,A,i,A,n,以直代曲,无限逼近,如何求曲边梯形的面积,?,不足估计,过剩估计,问题,1,图中阴影部分由抛物线 ，直线,及,x,轴,围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的,面积,S,。,x,o,y,1,分析,x,o,y,1,(1),将,区间,0,，,1,平均分成,5,份，如图所示。,图,(1),中，所有小矩形面积之和 显然大于所,求曲边梯形的面积，我们称 为,S,的,过剩估计值,，,则有,x,o,y,1,(2),图,(2),中，所有小矩形面积之和 显然小于所,求曲边梯形的面积，我们称 为,S,的,不足估计值,，,则有,x,o,y,1,(3),我们可以用 或,近似表示,S,，但是都存在,误差，二者之差为 ，但是无论是用 还,是 来表示曲边梯形的面积，,误差都不会超过,0.2,，,如图,(3),所示。,x,o,y,1,(4),为减小误差，我们将区间,0,，,1,10,等分，则,所求面积的过剩估计值为,不足估计值为,二者的差值为 ，此时，无,论用 还是 来,表示,S,，误差都不超过,0.1,。,区间分的越细，误差越小。当所,分隔的区间长度,趋于,0,，过剩估计值,和不足估计值都趋于曲边梯形面积。,问题,2,问题,2,司机猛踩刹车，汽车滑行,5,s,后停下，此过,程中汽车的速度,v,是时间,t,的函数：,请估计汽车在刹车过程中滑行的,距离,s,。,分析,分析：,此时误差不超过：,将,滑行的,5,s,平分成,5,份,。用 ，,近似代替汽车在,01,、,12,、,23,、,34,、,45,s,内的平均速度，则滑行距离的,过剩估计值,为 ：,用 ，近似代替汽车在,01,、,12,、,23,、,34,、,45,s,内的平均速度，则滑行距离的,不足估计值,为 ：,滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度,趋于,0,，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。,若将,5,秒平分成,10,份，则得到,过剩估计值,为 ：,不足估计值,为 ：,此时，误差都不超过,概括,曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值,不足估计值,逼近所求面积,求曲边梯形面积的步骤：,我们把由,直线,x=a,，,x=b,(,a,b,),，,y=,0,和曲,线,y=f,(,x,),所围成的图形叫作,曲边梯形,。,小结,结束,