概率的故事.ppt

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Nankai University,*,Click to edit Master title style,Nankai University,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,天算不如人算,概率的故事,Nankai University,Contents,偶然与必然,1,概率的起源,2,赌博中的概率,3,几何概率,4,Nankai University,偶然与必然,北宋天历、皇佑年间，大将狄青奉旨征讨反贼侬智高,.,在众人瞩目下狄青举手一挥，把铜币全部扔在地上，结果一百个铜币居然全部是钱面朝上。,将士们士气大振，一举歼灭敌军。,这真的是“天意”吗？,Nankai University,偶然与必然,国王想处死一位大臣，但还不想让“暴君”的名声落在自己头上。,行刑之前，执行官将两个纸条递给大臣示意他抽取一个。,大臣抽了一个将其塞进了嘴里吞了下去，说我接受了神的审判，你看看剩下的字条就知道我吞进去 的是什么了。,大家一看剩下的字条上写的“死”,.,这是天意吗？,Nankai University,偶然与必然,确定现象和随机现象,太阳从东方升起,明年的今天要下雨,投掷一枚均匀的硬币正面朝上,在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性。,故虽“天有不测风云”，仍可以“预报”天气。,Nankai University,偶然中的必然,大量的偶然事件中蕴藏着必然的规律。,实验人,投掷次数,出现正面,正面出现频率,狄摩根,2048,1061,0.5181,布 丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,Nankai University,福尔摩斯与跳舞的小人儿,福尔摩斯探案集里有个跳舞小人的故事大家是否还记得？,Nankai University,福尔摩斯与跳舞的小人儿,26,个英文字母出现的频率,A,0.082,E,0.127,I,0.070,B,0.015,F,0.022,J,0.002,C,0.028,G,0.020,K,0.008,D,0.043,H,0.061,Nankai University,小人儿对应的字母,Nankai University,概率的起源,概率的历史源于中世纪的赌博问题。,意大利修道士帕奇利在,1487,年出版的书中介绍了被称为“,problem of points”,的赌博问题。,1654,年，帕斯卡,Pascal,的朋友，,一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人,们所知道的“德,美尔,”问题，帕斯卡与,朋友费尔马书信交流，成为概率论的实,质性出发点。,Nankai University,概率的起源,“德,美尔,”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押,32,个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这,64,个金币。赌博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这,64,个金币的赌金呢？,概率的起源,贵族赌徒德,美尔的第二个问题,掷一个骰子，就“平均”而言，是否每掷六次有一次会出现,6,；,押一个骰子每掷,4,次至少出现一次,6,是否有优势？,押两个骰子每掷,24,次至少出现一次双,6,是否有优势？,德,美尔的经验结果。,你觉得怎样？,Nankai University,Nankai University,赌博中的概率,古典概型（等可能概型）,投掷一个骰子，出现点数,6,的概率为,1/6.,于是甲在第四局赌博中获胜的概率为,1/2,甲在第四局落败在第五局获胜的概率为,(1/2)(1/2)=1/4,于是甲最终获胜的概率为,Nankai University,赌博中的概率,于是赌金“公平”的分配方式是,“公平”一词在赌博中的含义是什么？,假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，如果出现,2,至,6,点则明天由你来打扫寝室，如果出现点数,1,则明天由他来负责打扫，你认为此次“赌博”是否是“公平”的？,Nankai University,赌博中的概率,现在我们把刚才的那场“赌博”中的“赌注”改一下。,还是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，这次是如果出现,2,至,6,则明天由你来打扫寝室，如果出现点数,1,则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次“赌博”是否是“公平”的？,事实上，赌博的公平性是和概率中的一个概念“期望”密切相关的。,Nankai University,赌博中的概率,设,X,是离散型随机变量，它的概率函数是,:,P,(,X,=,x,k,)=,p,k,k,=1,2,定义,X,的数学期望为,如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学,期望都是零，则这次赌博是公平的。,Nankai University,赌博中的概率,比如对于第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随机变量,X,，则它的概率分布为：,X,-1,1,P,1/6,5/6,于是，你赢得的劳动天数,X,的数学期望,EX,为,Nankai University,赌博中的概率,所以刚才的那次赌博确实不是“公平”的，由于你平均赢得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博中处于“不利地位”。,对于另外的一种赌博方式，,X,的概率分布为,X,-5,1,P,1/6,5/6,TEXT,于是，你赢得的劳动天数,X,的数学期望,EX,为,Nankai University,赌博中的概率,所以第二种赌博方式对于你来说是公平的。,有的时候，赌博的公平性是很难直观看出来的，这时要用刚才介绍的数学期望与公平性的关系进行判断。,在非公平的赌博中，我们可以进行适当的计算从而进行“套利”，得到一份“,Free Lunch”,。,现在我们介绍一般赌博公司用的赔率的概念，并且看一下赌博公司是怎样盈利的。,Nankai University,赌博中的概率,在某些情况下，所允许的赌博类型仅仅是选择一个结果,i,(,i,=1,2,m,),，且打赌试验的结果就是,i,，这样的一个赌博收益通常用“赔率”的形式表示。,如果关于结果,i,的赔率是,o,i,(,通常表示为“,o,i,比,1,”,),，那么当试验的结果是,i,时，一个单位的赌金会收益,o,i,，而当结果不是,i,时收益则会是,-1,.,这个赌博的收益函数可由下式给出,Nankai University,赌博中的概率,我们假设你可以在某个结果上押,-1,个单位的赌金，如果你押,-1,个单位的赌金在结果,i,上时，那么意味着当结果不是,i,时你可以赢得一个单位的赌金，而当结果是,i,的时候你将输掉,o,i,个单位的赌金。,也就是说此时收益函数可以表示为,Nankai University,赌博中的概率,假设有赔率,o,1,o,2,o,m,为了使得不存在一个稳赢的策略，那么就一定要存在一个概率向量,P,=(,p,1,p,2,p,m,),使得在这个概率下对每个,i,，都有,0=,E,p,r,i,(,X,)=,o,i,p,i,-(1-,p,i,),也就是说，我们必须有,Nankai University,赌博中的概率,由于所有,p,i,的和必须为,1,，这就意味着这场赌博保证“公平”的条件是,如果上式不满足，我们就可以通过选择合适的赌博方式来获得“,free lunch”,！,Nankai University,赌博中的概率,下面我们来看一个例子：一个赌博有三种结果，其赔率如下,结果,赔率,1,1,2,2,3,3,由上表可知，结果,1,的赔率是,1,比,1,；结果,2,的赔率是,2,比,1,；结果,3,的赔率是,3,比,1.,Nankai University,赌博中的概率,一种可以选择的策略是：在结果,1,押,-1,个单位的赌金；在结果,2,上押,-0.7,个单位的赌金；在结果,3,上押,-0.5,个单位的赌金。,若结果是,1,，能赢得,-1+0.7+0.5=0.2,；,若结果是,2,，能赢得,1-1.4+0.5=0.1,；,若结果是,3,，你能赢得,1+0.7-1.5=0.2,。,由于,故稳赢是有可能的。,Nankai University,赌博中的概率,因此，无论何种情形都会有一个正的收益。,事实上，我们可以证明，如果有,那么下面的赌博策略,会赢得价值为,1,的收益。,Nankai University,赌博中的概率,我们用一个最近现实中博彩的例子来结束赌博中的概率这一问题的讨论。,2009,年,10,月,21,日，网易体育频道报道了英超的战况，并公布了最新的夺冠赔率。,切尔西,2.75,曼联,2.75,阿森纳,5.00,曼城,10.00,利物浦,15.00,（前一日,5.00,）热刺,26.00,维拉,151.00,埃弗顿,501.0,Q,：你认为,21,日的赔率对你来说是否有套利的可能？,20,日的呢？对于有套利可能的情形给出你的投资策略。,Nankai University,几何概率,如图，假设在下面每个图形上随机撒一粒小黄豆，分别求它落到阴影部分的概率（可以猜想）。,图形,1,图形,2,Nankai University,几何概率,几何概率的定义：,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。,在几何概型中，事件,A,的概率的计算公式：,Nankai University,布丰投针,公元,1777,年的一天，法国科学家,D,布丰,(D.Buffon 1707,1788),的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请进行一次奇特试验。,布丰先生拿出一张纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。,然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧,!,不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”,Nankai University,布丰投针,Nankai University,布丰投针,Nankai University,布丰投针,投针结果，共投针,2212,次，其中与平行线相交的,704,次。总数,2212,与相交数,704,的比值为,3.142,。,值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算,值。,意大利数学家拉兹瑞尼,(Lazzerini),。他在,1901,年宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为,3408,次，平均相交数为,1084,次，代入布丰公式求得,3.1415929,。,为什么我们可以用这种方法得到圆周率的近似值？,Nankai University,布丰投针,找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离,d,。如果圆圈扔下的次数为,n,次，那么相交的交点总数会是多少？,相交的交点总数应为,2,n,。,现在设想把圆圈拉直，变成一条长为,d,的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有,4,个交点，,3,个交点，,2,个交点，,1,个交点，甚至于都不相交。,Nankai University,布丰投针,由于圆圈和直线的长度同为,d,，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。,这就是说，当长为,d,的铁丝扔下,n,次时，与平行线相交的交点总数应大致为,2,n,。,现在转而讨论铁丝长为,l,的情形。当投掷次数,n,增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数,m,应当与长度,l,成正比，因而有：,m=kl,式中,k,是比例系数。,Nankai University,布丰投针,为了求出,k,来，只需注意到，对于,l=d,的特殊情形，有,m=,2,n,。,于是求得,k=m/l=,(2,n,),/,(,d,),。,代入前式就有：,m=kl,(2,ln,),/,(,d,),从而,(2,ln,),/,(,dm,),Nankai University,布丰投针,回到布丰投针试验，平行线间的距离为,d,，而小针的长度为,l=d/2,，,n,为投针的总数，,m,为小针与平行线相交的交点总数（注意由于小针的长度仅为平行线间距离的一半，故每个小针至多与平行线有一个交点）。,由前面讨论的公式,(2,ln,),/,(,dm,),(d,n,),/,(,dm,)=n/m,即投针,总数和与平行线相交小针数的比值。,Nankai University,总 结,偶然与必然,概率的起源,古典概型,赌博中的概率,几何概率,布丰投针,Nankai University,Monty Hall problem,有着真实原型的,决胜,21,点,，原本引人入胜的故事却被导演拖得冗长不堪，节奏太慢的情节掺杂了太多的感情因素。唯一令人感兴趣的是三个门的问题，很有趣。,这个问题取自一个美国电视节目,“Lets make a deal,”，该节目的主持人叫,Monty Hall,，以后别人就称此问题为,Monty Hall problem,。,Nankai University,Monty Hall problem,你面前有三扇关闭的门（,1,、,2,、,3,），其中一个门后面有一辆轿车，另两个门后面是山羊。,主持人让你任选一扇你认为后面是轿车的门，假设你选择,1,号门。,你选择,1,号门之后，主持人打开了一扇有山羊的门，假设这是,3,号门。,这时，主持人给你一个机会：你可以改选,2,号门，也可以坚持原来的选择,1,号门。,请问：你是否改选,2,号门？说明原因。,Nankai University,Monty Hall problem,