高数 经济数学——微积分(第二版)1-1.ppt

高等数学电子课件,目录,上页,下页,高等数学电子课件,目录,上页,下页,“高等数学”课程所要学习的内容及内容间的相互关系,第一章,函数与极限,一、集合,集合的概念,对于集合，我们并不陌生，通常把具有某种特定性质的事物的全体称为一个,集合,.,而把组成这个集合的每一个事物个体称为该集合的,元素,以下都可以作为集合的例子：,全体实数,全体有理数,全体,正整数,我们经常用到得都是数集,所有元素都是数的集合,.,以下的一些数集是我们经常用到的：,全体非负整数的集合：,全体正整数的集合：,全体整数的,集合：,全体有理数的,集合：,全体实数,的,集合：,数集间的关系,:,2.,区间,:,是指介于某两个实数之间的全体实数,.,这两个实数叫做区间的端点,.,称为,开区间,称为,闭区间,区间长度的定义,:,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的长度,.,半开半闭区间,：,无穷区间,：,用图表示更清楚,3,邻域：,去心邻域：,的左 邻域,的右 邻域,试着在图中表示出来,.,二、函数的概念,定义,1,设,D,是一个非空实数集，若存在对应关系,f,，对,D,中任意实数,x,，依照对应关系,f,，都有唯一的实数,y,与之对应，则称,f,是定义在,D,上的,函数,，记作,与实数,x,0,对应的实数,y,0,称为函数在点,x,0,处的值，简称,函数值,，记作 或,.,数集,D,称为函数,f,的,定义域,，函数值的集合,称为函数,f,的,值域,x,称作,自变量,y,称作,因变量,讨论：,定义中有哪些关键词？决定一个函数有哪些主要因素？,答：,1.,定义域、对应关系是确定函数的两大要素。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,函数定义域的确定：,（,1,）,由算式表示的函数，,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合,.,（,2,）,有实际意义的函数,，,根据实际意义确定,.,例,1,Gauss,函数，不超过自变量的最大整数,几个特殊的函数举例,阶梯曲线,答,如,?,?,?,?,例,2,符号函数,例,3,分段函数,例,4,Dirichlet,函数,自变量在不同范围内取值时，,函数表达式可能不同，这样的函数,称为,分段函数,。,曲线的极坐标方程,“三毛在你东偏北,60,度”你是否能够准确地确定对方的位置？,从该例可以看出，我们不仅可以利用平面直角坐标系的坐标确定一个点还可以利用,距离,和,角度,这样一组数来确定一个点,你,从平面中的一个点 出发作一条射线 ，,再选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），,点 称为,极点,射线 称为,极轴,.,再知道“他距离你,50,公里”，能确定他的位置了吗？,这就是,极坐标系,，,点,P,到极点的距离,r,，称为点,P,的,极径,；,因此在极坐标系下，平面上任一点,P,（除极点外）都可以与一个二元有序数组 建立一一对应关系称二元有序数组 为点,P,的,极坐标,.,给定平面中的一个点（非原点）都可以确定一对数与它对应：,例如：,图中的,M,也可以记作 （当 时）,.,可以记为 （当 时）；,极轴到射线 的转角 ，称为点,P,的,极角,，,规定 （或 ）,注：,极点 是唯一极坐标不确定的点，其极径 ，极角可以任意取值,讨论：,在极坐标系下分别是什么图形？,答：,：射线,：半径为,a,的圆,将直角坐标系与极坐标系的原点重合，极轴与,x,轴正半轴重合，,你能给出极坐标与直角坐标之间的转化关系吗？,那么,则极坐标与直角坐标之间的转化关系为：,利用极坐标可以建立平面中的图形与方程间的一一对应,例：,方程,表示以极点 为中心、半径为,2,的圆；,一般极坐标系下的曲线方程可以表示为 或 ，由后者可以看出 是 的函数,.,答：,将 带入到极坐标方程 中，得,方程 用极坐标表示就是,将 带入到直角坐标方程 中，得,你能用直角坐标系和极坐标系之间的关系验证这两个结论吗？,极坐标常用函数举例：,圆,圆,阿基米德螺线,三叶玫瑰线,心形线,这就得到一个,D,到,D,的函数，称其为函数,f,的反函数，,函数,y,=3,x,+1,，对任意的 ，都有,y,的唯一取值与其对应；,称为函数,y,=3,x,+1,的反函数,.,三、反函数,反过来，由这个对应关系，对每个,都有唯一的 与其对应。,反函数：,设函数 的值域为,D,，如果对任意的,都有唯一的 满足,f,(,x,)=,y,，,通常记作,一般的，有反函数的概念：,例如,由于 是 到 的一一对应，因此，它,存在 的反函数，记作,同一条曲线从两个不同的角度描述了变量,x,和,y,的同样的对应关系,.,因此，函数 的图形与它的反函数 的图形是同一个,根据习惯，反函数通常也用,x,表示自变量，用,y,表示相应的函数值，,于是通常将函数,的反函数记为,改写,改写,由,(,x,y,),与,(,y,x,),关于,直线,对称,.,因此，函数 的图形与它的反函数 的图形关于直线 对称,.,而将 变成了 符号的改变造成了,上的点,(,x,y,),变成了 上的点,(,y,x,),，,我们知道函数 与 的图形是同一个,.,我们知道钟摆的振动周期,四、复合函数,摆长,重力加速度,(,其中,l,0,为温度为,0,0,C,时的摆长,为伸缩系数,.),而摆长会随温度的改变而伸缩，则当温度为,t,0,C,时的摆长为,下面研究温度的变化对钟表快慢的影响,建立钟摆的周期,T,和温度,t,之间的函数关系：,代入,称为 的复合函数。,复合函数：,设有函数 ，则称定义在,一般的，有复合函数的概念：,例如：,复合为函数,复合为函数,复合为函数,因此可以限制,x,，如,例如：,可以看到，由 得,考虑函数,但是，对函数 要求,得到复合函数,注意,:,2.,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,;,1.,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,.,五、函数的四则运算,函数 的定义域分别为,定义这两个函数的四则运算为,和,(,差,),积,商,六、基本初等函数与初等函数,在中学里我们学习了下面这些函数,.,1,常值函数,2,幂函数,3,指数函数,4,对数函数,5,三角函数,6,反三角函数,基本初等函数经过有限次的复合、有限次的四则运算得到的且能用一个算式表示的函数称为,初等函数,.,基本初等函数,有限次的复合,有限次的四则运算,双曲函数,七、几种具有特殊性质的函数,1.,有界函数,从字面意思上理解什么是有界,?,什么是无界,?,我们能找到数,K,1,K,2,得使函数值在,K,2,和,K,1,之间,.,对于给定的正数,K,1,K,2,K,3,，总有函数值能够,“超过”它,.,有界与无界：,如果存在正数,M,，使得,则称函数,在,X,上,有界,，而,M,称为,在,X,上的一个界；否则称函数,在,X,上为无界函数，也简称,在,X,上,无界,一个在某数集上有界的函数，它的界唯一吗？,显然函数的界不唯一，若,M,为函数的一个界，则大于,M,的数（如,M,1,）都可以作为它的界,.,从函数有界的定义来看，所谓函数有界一定是在整个定义域有界吗？,再给出,最大值,与,最小值,的概念,设函数 在区间上,I,有定义，若存在点 使得对于任意的 ，都有,成立，则称 与 分别是函数 在区间,I,上的,最大值,与,最小值,，而称 分别为该函数的,最大值点,与,最小值点,最大值,最小值,最大值点,最小值点,例如：,函数,有最大值1，最小值,-1.,与,分别是其最大值点与最小值点,讨论：,一个函数在某指定的范围内一定有最大值、最小值吗？,在定义域内既没有最大值也没有最小值；,在定义域内只有最小值零而无最大值；,y,=,x,在区间,(-1,1),内既无最大值也无最小值,可见，并不是每一个函数在指定的范围内都有最大值、最小值,显然，如果函数在区间上有最大值与最小值，那么在区间上有界但是反过来未必成立,请分别举出这样的例子,.,2.,单调函数,如何描述函数的单调递增（减）性质呢？,单调递增函数,单调递减函数,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,，区间 ，若对于任意的两点 ，当 时，恒有 则称,f,(,x,),为区间,I,上的,单调递增（递减）函数,单调递增与单调递减函数统称为,单调函数,.,定义中有哪些关键词？,单调递增函数,单调递减函数,事实上，有些函数在整个定义域不一定是单调的，但,例如：,在区间 内单调递增；,在区间 内单调递减,.,若,f,(,x,),在其定义域的一个子区间,I,上单调，称,I,为,f,(,x,),的,单调增区间,单调减区间,在定义域,R,内不单调；,值得注意的是，,定义中并没有要求讨论函数在整个定义域内的单调性,它却在定义域内的一个子区间上单调,单调区间,3.,奇偶函数,函数,f,(,x,),的图像关于,y,轴对称，我们称函数,f,(,x,),为偶函数；,函数,f,(,x,),的图像关于原点对称，我们称函数,f,(,x,),为奇函数,.,奇函数,偶函数,若函数,y,=,f,(,x,),的定义域为关于原点对称的区间,D,，并且对于任意的 ，恒有 成立，则称,f,(,x,),为,D,上的,偶函数,；如果对于任意的 ，恒有 成立，则称,f,(,x,),为,D,上的,奇函数,奇偶函数定义的前提是什么？有哪些关键词？,如何用分析的语言描述函数的奇偶性呢？,4.,周期函数,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,，如果存在正数,l,，使得对于任意的 ，有 ，并且 恒成立，则称,f,(,x,),为,周期函数,.,称,l,为函数,f,(,x,),的,周期,.,周期函数的周期,唯一吗？,注：,周期函数的周期并不唯一，通常提到的周期是指最小的正周期,.,