数字信号处理离散时间信号和系统B.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.4 离散时间系统的差分方程描述,1 递归离散时间系统和非递归离散时间系统,2 线性时不变系统的常系数差分方程描述,3 线性常系数差分方程的解,4 线性时不变递归系统的冲激响应,1,线性时不变系统由单位冲激响应 表示,反过来,对于任何给定的输入序列 ，系统的输出 可通过 并借助卷积公式来得到:,卷积公式不仅给出了任何线性时不变系统输入输出之间的关系,而且给出了系统的实现方法。,FIR,系统可按卷积和直接实现,但,IIR,系统用这种方法实现是不可能的。,除了卷积和方法外，能不能用,其他方法,实现,IIR,系统呢,?,卷积公式仅以输入信号明确地表示了,LTI,的输出。在,IIR,系统中，离散时间系统更方便用差分方程来表示。,这类系统在包括数字滤波器的实现和一些物理现象及物理系统的建模在内的许多实际应用中是非常有用的。,2,1,递归和非递归离散时间系统,存在许多系统，不仅以输入的当前值和过去值来描述系统，而且以现在已有的过去的输出值来描述系统。,计算信号 在区间 上累加平均值,一是直接计算;,3,二是简单的代数变换,更有效地计算,递归累加平均系统的实现,4,递归系统,:,一般说来，如果一个系统当前时刻 的输出 依赖于任意个以前时刻的输出 就被称为,递归系统,。,递归系统的计算,5,说明：,计算系统对 时刻施加的输入信号 的响应，需要值 和 时的输入取样值 。,被称为初始条件，而且包含着确定在 时刻系统对输入信号 的响应所需的所有信息，而与以前的值无关。,6,例,2.4.1,平方根算法,:,大多数计算机和计算器利用迭代算法求正数,A,的方根，该迭代算法为,其中，是 的初始猜测值。当迭代收敛时，有 ，所以，由此很容易地得出 。,现在，考虑递归系统,7,如果把幅度为,A,的阶跃序列,作为系统的输入，并且用初始值 作为的估计值，则系统的响应 随着,n,的增大就会不断地逼近于 。,不需要确切的初始条件，粗略的估计就可以。,8,因果的实际可实现的,递归系统,的输出更一般地表示为,如果仅取决于当前时刻和以前时刻的输入，,则这样的系统称为,非递归,的。,用卷积公式描述的因果线性时不变,FIR,系统称为,非递归,系统,函数 实际是当前和过去若干时刻的输入的线性加权和，加权的系数就是系统的,。,9,递归和非递归系统的框图表示,10,递归系统和非递归系统之间的主要差别,(1)递归系统有从输出到输入的反馈环路。反馈环路包含一个延迟元件，延迟对于系统的实现是很重要的。,(2)必须按顺序计算递归系统的输出，即,，而非递归系统，没有顺序的约束即 。,11,2,线性时不变系统的常系数差分方程描述,假定一个递归系统的输入输出差分方程描述为,一个,LTI,系统,.,而累加平均系统是线性时变系统。,假定输入为 ，不考虑 时的输入，但是假设 是已知的,解方程以得到系统输出的明确表达式。,12,系统响应包括,:一部分包含项 ，是系统的初始条件的结果，另一部分是系统对输入信号 的响应。,13,如果系统在 时刻是初始松弛的，则系统所需要的存储器单元数是零。因此，。,这样，如果递归系统从零初始条件开始，则该系统是松驰的。,由于系统的记忆在某种程度上描述了其“状态”，所以说系统是零状态系统，并且它相应的输出被称为,零状态响应,或,强迫响应,，用表示 。,假设系统不是初始松驰的即 ，但是,所有的 ，,输入 。这时系统对零输入的输出叫做,零输入响应,或,自然响应,，用表示 。,具有非零初始条件的递归系统是非松驰的，零输入响应是由于系统记忆产生的。,14,总结,A,:,通过把输入置为零，使得系统的响应与输入无关，就可以得到零输入响应。系统的响应仅取决于系统的属性和系统的初始值。这样零输入响应是系统自身的特性，也称为系统的,自然响应,或,自由响应,。,零状态响应取决于输入信号和系统本身的属性。由于这个输出是由加在系统上的输入引起的，因而通常叫做系统的,受迫响应,或,强迫响应,。,15,总结,B,:,一般说来，系统的全响应可表示为,:,线性常系数差分方程描述的,递归系统,的一般形式,求 ，需要输入 和系统的初始条件 。换句话说，系统的初始条件包括了所有为了计算系统当前和以后的输出，我们需要知道的关于系统响应的历史。,16,总结,C,:,在用线性常系数差分方程描述的递归系统范围内线性性、时不变性和稳定性的概念。一个递归系统可能是松弛的也可能是非松弛的，这取决于系统的初始条件。所以，这些属性的定义也必须考虑初始条件。,一个系统如果满足下述,3,个条件,则该系统就是,线性系统,。,1,.,系统全响应等于零输入响应和零状态响应的和,.,2,.,叠加原理适用于零状态响应(零状态线性响应),.,3,.,叠加原理适用于零输入响应(零输入线性响应,).,17,总结,D,:,如果这,3,个条件有一个不满足，则系统为,非线性,的。,线性常系数差分方程描述的,递归系统,满足线性性定义中的所有,3,个条件，是线性的。,系数 都是常数，所以系统是时不变的；如果有一个或几个系数是时变的，则系统是,时变系统,。,常系数差分方程描述的线性时不变递归系统，当且仅当对每个有界输入和每个有界初始条件，系统全响应是有界的，才可以说此系统是,BIBO,稳定的。,18,3,线性常系数差分方程的解,确定系统输出的显式表达式:,直接法,间接法,直接法把完全解分成两部分的和,19,差分方程的齐次解,假设输入 ,得到齐次差分方程的解。,括号中的多项式被称为系统的特征多项式,它有 个根，记为：,。,假设不存在重根。则齐次差分方程式的通解表达式为,假设 是一个 重根，则齐次差分方程式的通解表达式为,20,例,2.4.4,求一阶差分方程表示的系统的齐次解。,解：设 ，齐次解可以表示为,代入式（,1,），可得由于 ,因此，齐次差分方程的解为,根据式,(1),和式,(2),可得系统的零输入响应。,因此，系统的零输入响应为,21,例,2.4.5,求下面的二阶齐次差分方程描述的系统的零输入响应。,解：,首先确定齐次方程的解,(,齐次解,),。设解为指数形式,代入齐次差分方程,得到特征多项式,因此，齐次方程的根为 ，其解的一般形式为,在给定初始条件 和 的情况下，通过计算上式中的常数，可以从齐次解中得到系统的零输入响应。,根据式,(1),，有,22,另一方面，根据式,(2),，可得,:,比较上面两组方程，得到,因此，系统的零输入响应为,23,差分方程的,特解,对特定的输入 ，特解 是满足差分方程,的任一解。假定特解的形式与输入的形式相关。,下面的例题解释了这一过程。,24,例,2.4.6,考虑一阶差分方程:,若输入信号为单位阶跃序列，即:,求该方程的特解。,解：,因为对于 ，输入序列为一个常数，所以假设特解的形式为,其中，是差分方程的待定系数,(,标量因子,),，将特解代入方程,可得,因此，差分方程的特解为:,确定 ，必须考察 时的方程，这时各项均不为零。,25,例,2.4.7,考虑下面的差分方程和激励函数,求差分方程的特解。,解：设特解的形式为,26,特解的形式为信号的基本形式,如果,输入,是指数函数，则应假定特解也是指数函数。如是果正弦函数，则特解也应是正弦函数。,27,线性常系数差分方程的线性性质允许将齐次解和特解相加以便得到方程的通解,.,于是,的齐次解分量 中包含常数待定系数。可使其满足初始条件来确定他们。,例,2.4.8,考虑差分方程,差分方程的通解,28,解：由例,2.4.4,齐次解为,由例,2.4.6,特解为,因此，通解为,其中，为满足初始条件 的待定系数。,一阶差分方程所描述系统的,零状态响应,:,置 ，将代入式,(1),和,(2),得,把 代入式,(2),得到系统零状态响应,29,在初始条件下 ，则通解将包括系统的零输入响应和系统的零状态响。,由,(2),得到,最后，如果把 的这个值代入式,(2),得到,30,注意,:,常数 的值不仅取决于初始条件 ，而且取决于外部激励。所以，的值不仅影响零输入响应，而且还影响零状态响应。另一方面，如果仅希望得到系统的零状态响应，那么，只要在的条件下 求解即可。,差分方程的特解也可从系统的零状态响应得到,:,如果，是系统稳定的条件，那么，随着 趋于 ，的极限值是特解，即,由于这部分响应并不随 趋于 而趋于零，叫做系统的,稳态响应,，只要输入存在，它就存在。而随 趋于 变为零的那部分响应称为,瞬态响应,。,31,例,2.4.9,考虑二阶差分方程描述的系统,若输入序列为,那么，系统响应 是什么,?,32,求二阶齐次差分方程描述的系统的零输入响应。,首先确定齐次方程的解,(,齐次解,),。设解为指数形式,代入齐次差分方程,得到特征多项式,因此，齐次方程的根为,其解的一般形式为,假定特解形式是同一样形式的指数序列，一般地，我们可以假定解的形式为,33,已经包含在齐次解中，这样，特解就是多余的。实际上，要像处理特征方程出现重根一样处理这种情况。于是，假定,将,(4),代入式,(1),，我们可得,差分方程的通解,:,选择的特解和齐次解中的各个项线性无关,34,常数 和 是由初始条件决定,35,系统的全响应：,36,4,线性时不变递归系统的冲激响应,LTI,的冲激响应,:,系统对 的响应。在递归系统的情况下，输入 且系统为初始松弛时，等于系统的零状态响应。,在一般的,LTI,递归系统的情况下，零状态响应可以按照卷积和的形式表示为,37,对一个给定的由线性常系数差分方程描述的系统如何求其冲激响应,?,系统对任意激励信号的完全响应由差分方程的两部分解的和组成：齐次方程的解和激励函数的特解。,在输入为 的情况下，系统的冲激响应仅包括齐次方程的解，而系数 可通过满足由冲激所确定的初始条件来得到。,用例题解释了从系统的差分方程获得 。,38,例,2.4.10,考虑用二阶差分方程描述的系统,求该系统的冲激响应。,解：,由例,2.4.5,系统齐次差分方程的解为,:,当时 ，系统的特解为零，系统的冲激响应就由式,(2),给出，其中 和 为待定系数,.,因系统一定是松弛的,利用条件,.,39,无论是简单的一阶递归系统还是二阶递归系统，它们的冲激响应持续时间都无有限的。换句话说，这些递归系统都是,IIR,系统。实际上，由于系统的递归特性，任何一个常系数线性差分方程描述的递归系统都是一个,IIR,系统，然而，反之就不一定成立。也就是说，并不是每个,IIR,系统都可以用常系数线性差分方程来描述，换句话说，常系数线性差分方程描述的递归系统是线性时不变,IIR,系统的一个子类。,40,求冲激响应的方法可直接扩展到高阶系统,N,阶线性差分方程描述的系统时，齐次解的一般形式为,(,假设特征方程无重根,),系统的冲激响应,参数 由初始条件 决定,.,41,N,阶差分方程描述的系统的稳定性和特征多项式的根联系,BIBO,稳定性要求冲激响应绝对可和，所以对于因果系统，有,如果对于所有的 都有 ，则,用常系数线性差分方程描述的因果,IIR,系统稳定的充要条件是特征多项式的所有根在幅度上必须小于,1,。,42,5 离散时间系统的实现,1 线性时不变系统实现的结构,2,FIR,系统的递归与非递归实现,43,1,线性时不变系统的实现结构,考虑一阶系统,直接型,直接型,直接型省略了一个延迟器,直接型实现方式,(,a),过渡到直接型实现,(,c),的步骤,44,一般的线性时不变系统的实现结构,一般的线性时不变系统,直接型结构,一个非递归系统,和,一个递归系统的串联。,个延迟器和,个乘法器。,系统的直接型结构,45,线性时不变系统的典范型结构,直接型,递归系统和非递归,系统的串联。,乘法器数目为,延迟器数目为,所需的延迟器数目最少,有时又叫做典范型,系统的直接型结构,46,线性时不变系统的两个特例,滑动平均(,MA,),系统,一个非递归线性时不变系统，系统的输出是系统输入的加权滑动平均，有时被称为滑动平均(,MA),系统。,系统是冲激响应等于系数的,FIR,系统,纯递归系统,系统,输出为前 个,时刻的输出和当前输入的加权线性组合。,47,48,2,FIR,系统的递归和非递归实现,根据 是有限时宽，还是无限时宽，可以区分,FIR,系统和,IIR,系统,也可区分递归和非递归系统。,因果,递归,系统的输入输出方程描述,对于线性时不变系统,因果,非递归,系统的输入输出方程描述,对于线性时不变系统,49,FIR,系统的实现,FIR,系统是非递归系统，总可用非递归方式实现，另一方面，任何,FIR,系统也可以递归实现。,(1)差分方程表示为,FIR,系统,，,冲激响应为,(2)差分方程重写为,一个,FIR,MA,系统的非递归实现,一个,FIR,MA,系统的递归实现,50,2.6,离散时间信号的相关性,衡量两个信号之间的相似程度，并提取在很大程度上和应用有关的信息。信号的相关性分析有很广阔的应用。,在雷达和主动声纳系统中,:发射信号的取样,:,接收到的信号,相关则提供了一种检测的方法。,雷达和声纳探测的目的是比较 和 ，判断目标是否存在。如果存在，通过求延迟,D,来确定目标的距离。,51,在数字通信中,从一端传输到另一端的信息通常要转换成二进制形 式，即,0,和,1,序列，然后被发送到目标接收器。,为了传送,0,，可以传送序列,为了传送,1,，可以传送序列,通常 和 的极性相反，接收机收到的信号,接收机收到的不是 就是 ，它的任务是通过把接收信号 与 和 相比较，以确定是更像 还是更接近 。,52,相关性分析的主要内容,1 互相关序列和自相关序列,2 自相关和互相关序列的性质,3 周期序列的相关性,4,输入输出,的相关函数,53,1 互相关序列和自相关序列,假设有两个实信号序列 ，它们都是能量有限信号，互相关序列定义为,两者,提供的关于 相似性方面的信息是完全一样的。,54,例,计算序列 和 的互相关序列,解：,55,当 时，将 相对 向左移 个时间单位，计算 ，然后，求积序列的和,:,56,卷积计算和相关计算的相似之处:除了折叠运算外，互相关序列的计算包含与卷积计算相同的运算。,利用计算卷积的程序计算相关:,的自相关序列,有限时宽因果序列的互相关序列和自相关序列,57,2,自相关和互相关序列的性质,设有两个序列 ，它们均为能量信号,58,归一化处理,如果互相关中任一信号或两个信号的幅度按比例增大或减小，互相关序列的形状不变，仅仅是幅度相应发生变化。在实际中，通常把自相关和互相关序列归一化处理到,-,至,1,的范围。,归一化的自相关序列,归一化的互相关序列,重要性质,59,60,3 周期序列的相关性,61,检测被随机干扰所污染的由观测所得的物理信号的周期性,62,例,2.6.3,设信号 与加性噪声信号 混合在一起，噪声的值是一个一个地独立选取的，服从 上的均匀分布，其中 是分布参数。观测序列是 ，求自相关序列 并确定信号 的周期。,解：假设 是周期的，但不知道它的周期，现在要从 确定的周期。尽管的周期为,10,，但我们仅有一个长度 即 的,10,个周期,的有限时宽序列，噪声信号 的功率水平 由参数,决定，可以简单地确定 ，信号功率水平 ，因此，信噪比为,63,用自相关方法检测被噪声污染的周期信号,64,65,4.,输入输出的相关函数,“相关域”中一个,LTI,系统的两个输入输出关系,系统的输出和输入之间的互相关序列是冲激响应与输入信号自相关序列的卷积。,互相关 的输入输出关系,66,输出序列的自相关序列,如果系统是稳定的，则冲激响应 的自相关 存在，进一步说就是稳定性保证了系统不改变输入信号的类型（功率型或能量型）。,自相关的形式给出的输出信号的能量（或功率）,67,7,小结与参考文献,介绍了离散时间信号与系统的时域性质，最重要的是一类广泛用于数字信号处理系统的设计与实现的,LTI,系统,.,用,LTI,系统的冲激响应表征系统并推导了卷积和，它是一个确定由表征的系统对任一给定输入序列的响应的公式,.,用线性常系数差分方程描述的,LTI,系统是到目前为止最为重要的一类,LTI,系统,.,推导了线性常系数差分方程的一般解由两部分组成,:,齐次解和特解。齐次方程的解代表输入为零时系统的自然响应，而特解代表系统对输入信号的响应。,68,根据差分方程可导出,LTI,系统的单位取样响应。,LTI,系统可分为,FIR(,有限时宽冲激响应,),系统和,IIR(,无限时宽冲激响应,),系统。,简单地描述了系统的实现，在,FIR,系统的实现中，指出了递归和非递归实现中的差别。另一方面，注意到了,IIR,系统只能递归实现。,介绍了离散信号的相关性问题。相关性在数字通信、雷达信号检测与估计、声纳和地球物理中有很重要的应用。,69,相关,:,两个序列之间的一种数学运算，产生一个新的序列，当两个序列不同时，新序列叫互相关序列，当两个序列相同时,叫自相关序列。,实际中，信号中会存在噪声或有可能存在干扰，这时，噪声序列具有统计特性，叫随机序列。因此相应的序列就变成了噪声和其他干扰的统计特征的函数。,70,