ww理论力学14—达朗贝尔原理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第十四章,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,刚体惯性力系的简化,前面介绍的动力学普遍定理,为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：,用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,因此这种方法又叫,动静法,。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单,也容易掌握,因此动静法在工程中被广泛使用。,引言,设一质点质量为,m,加速度为,a,作用于质点的主动力为,F,约束反力为,F,N,。由牛顿第二定律，有,将上式改写成,令,14.1,质点的达朗贝尔原理,F,I,具有力的量纲,且与质点的质量有关，称其为质点的,惯性力,。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积,方向与质点加速度的方向相反。,m,F,F,N,F,I,a,即：,在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系,。这就是,质点的达朗贝尔原理,。,则有,应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。,14.1,质点的达朗贝尔原理,例,1,球磨机的滚筒以匀角速度,w,绕水平轴,O,转动,内装钢球和需要粉碎的物料,钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁,然后沿抛物线轨迹自由落下,从而击碎物料,如图。设滚筒内壁半径为,r,试求钢球的脱离角,a,。,解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力如图。钢球未脱离筒壁前,作圆周运动,其加速度为,惯性力,F,I,的大小为,假想地加上惯性力,由达朗贝尔原理,O,M,r,w,a,q,F,F,N,m,g,F,I,这就是钢球在任一位置,q,时所受的法向反力,显然当钢球脱离筒壁时,F,N,0,由此可求出其脱离角,a,为,设质点系由,n,个质点组成,其中任一质点,i,的质量为,m,i,其加速度为,a,i,把作用在此质点上的力分为主动力的合力,F,i,、约束力的合力为,F,N,i,，对这个质点上假想地加上它的惯性力,F,I,i,-m,i,a,i,则由质点的达朗贝尔原理,有,14.2,质点系的达朗贝尔原理,即：,质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。,这就是,质点系的达朗贝尔原理。,把作用在第,i,个质点上的所有力分为外力的合力为,F,i,(e),内力的合力为,F,i,(i),，则有,14.2,质点系的达朗贝尔原理,质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即,因为质点系的内力总是成对出现,且等值、反向、共线,因此有,F,i,(i),=0,和,M,O,(,F,i,(i),),=0,于是的有,即：,作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系,。这是,质点系达朗贝尔原理,的又一表述。,14.2,质点系的达朗贝尔原理,称,F,I,i,为惯性力系的主矢，,M,O,(,F,I,i,),为惯性力系的主矩。,例,2,重,P,长,l,的等截面均质细杆,AB,其,A,端铰接于铅直轴,AC,上,并以匀角速度,w,绕该轴转动,如图。求角速度,w,与角,q,的关系。,解：以杆,AB,为研究对象,受力如图。,杆,AB,匀速转动,杆上距,A,点,x,的微元段,d,x,的加速度的大小为,微元段的质量,d,m,P,d,x,/,gl,。在该微元段虚加惯性力,d,F,I,它的大小为,x,d,x,d,F,I,a,n,q,w,B,A,C,y,x,q,B,A,x,d,P,F,Ax,F,Ay,F,I,于是整个杆的惯性力的合力的大小为,设力,F,I,的作用点到点,A,的距离为,d,由合力矩定理,有,即,假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理,q,B,A,x,d,P,F,Ax,F,Ay,F,I,代入,F,I,的数值,有,故有,q,0,或,O,x,y,F,I,i,d,F,T,F,T,O,R,例,3,已知：,m,，,R,，,。,求：轮缘横截面的张力。,解：取上半部分轮缘为研究对象,用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。,以,F,I,R,表示,惯性力系的主矢。由质心运动定理及质点系的达朗贝尔原理,14.3,刚体惯性力系的简化,得,此式表明：无论刚体作什么运动,惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积,方向与质心加速度的方向相反,。,14.3,刚体惯性力系的简化,由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。,下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。,刚体平移时，刚体内任一质点,i,的加速度,a,i,与质心的加速度,a,C,相同，有,a,i,a,C,，任选一点,O,为简化中心，主矩用,M,I,O,表示，有,1.,刚体作平移,a,1,1,F,I1,a,i,i,F,I,i,C,O,r,C,a,C,1.,刚体作平移,14.3,刚体惯性力系的简化,式中，,r,C,为质心,C,到简化中心,O,的矢径。若选质心,C,为简化中心，主矩以,M,I,C,表示，则,r,C,0,，有,综上可得结论：,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。,a,1,1,F,I1,a,i,i,F,I,i,C,O,r,C,a,C,2.,刚体绕定轴转动,如图所示,具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为,方向如图所示。该惯性力系对转轴,O,的主矩为,14.3,刚体惯性力系的简化,F,I,i,n,F,I,i,t,i,O,M,I,O,r,i,w,a,一般证明,由于,F,I,i,n,通过,O,点,则有,M,O,(,F,I,i,n,)=0,所以,即,14.3,刚体惯性力系的简化,综上可得结论：,定轴转动刚体的惯性力系,可以简化为通过转轴,O,的一个惯性力,F,I,R,和一个惯性力偶,M,I,O,。力,F,I,R,的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积,方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；力偶,M,I,O,的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积,转向与角加速度的转向相反。,现在讨论以下三种特殊情况：,2.,当刚体作匀速转动时,a,0,若转轴不过质心,惯性力系简化为一惯性力,F,I,且,F,I,m,a,C,同时力的作用线通过转轴,O,。,1.,当转轴通过质心,C,时,a,C,0,F,I,0,M,I,C,J,C,a,。此时惯性力系简化为一惯性力偶。,3.,当刚体作匀速转动且转轴通过质心,C,时,F,I,0,M,I,C,0,惯性力系自成平衡力系。,14.3,刚体惯性力系的简化,3.,刚体作平面运动,(,平行于质量对称面）,工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。,14.3,刚体惯性力系的简化,取质量对称平面内的平面图形如图所示,取质心,C,为基点,设质心的加速度为,a,C,，绕质心转动的角速度为,w,，角加速度为,a,，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心,C,简化的主矩为,F,I,R,C,M,I,C,a,C,w,a,综上可得结论：,有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。,14.3,刚体惯性力系的简化,D,B,A,例,3,如图所示,均质杆,AB,的质量,m,40 kg,长,l,4 m,A,点以铰链连接于小车上。不计摩擦,当小车以加速度,a,15 m/s,2,向左运动时,求,D,处和铰,A,处的约束反力。,解：以杆为研究对象,受力如图,建立如图坐标。,杆作平动,惯性力的大小为,F,I,ma,。假想地加上惯性力,则由质点系的达朗贝尔原理,于是得,F,I,l,A,30,D,B,h,1m,a,a,F,D,m,g,F,Ax,F,Ay,x,y,代入数据,解之得：,D,B,A,F,I,a,F,D,m,g,F,Ax,F,Ay,x,y,B,C,例,4,均质杆,AB,长,l,重,W,B,端与重,G,、半径为,r,的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为,M,的力偶,借助于细绳提升重为,P,的重物,C,。试求固定端,A,的约束反力。,解：先以轮和重物为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理,a,M,G,F,Bx,F,By,M,I,B,a,P,F,I,C,代入,M,I,B,和,F,I,C,得,再以整体为研究对象,受力如图,假想地加上惯性力,B,C,A,a,M,G,F,Ax,F,Ay,M,I,B,P,F,I,C,a,W,m,A,代入,M,I,B,和,F,I,C,解得,由质点系的达朗贝尔原理,j,O,x,y,C,B,A,质量为,m,长为,l,的均质直杆,AB,的一端,A,焊接于半径为,r,的圆盘边缘上,如图。今圆盘以角加速度,a,绕其中心,O,转动。求圆盘开始转动时,AB,杆上焊接点,A,处的约束反力。,解：以杆为研究对象,受力如图,建立如图坐标。,将惯性力系向转轴简化,惯性力的大小为,a,O,r,A,B,l,a,m,g,a,C,F,I,M,I,O,F,Ax,F,Ay,m,A,由质点系的达朗贝尔原理,C,B,A,a,m,g,a,C,F,I,M,I,O,F,Ax,F,Ay,m,A,j,O,x,y,将已知数值代入以上三式,解之得,q,r,C,例,6,重,P,、半径为,r,的均质圆轮沿倾角为,q,的斜面向下滚动。求轮心,C,的加速度,并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。,解：以,圆轮,为研究对象,受力如图,建立如图坐标。,圆轮作平面运动,轮心作直线运动,则,将惯性力系向质心简化,惯性力和惯性力偶矩的大小为,q,C,r,F,S,F,I,M,I,F,N,P,a,x,y,a,C,则由质点系的达朗贝尔原理,解之得,由于圆轮没有滑动,则,F,f N,即,由此得,所以,圆轮不滑动时,最小摩擦系数,q,r,C,F,S,F,I,M,I,F,N,P,a,x,y,a,C,例题,9,已知,两均质直杆自水平位置无初速地释放。,求,两杆的角加速度和,O,、,A,处的约束反力。,解,:(1),取系统为研究对象,A,B,O,M,I,1,M,I,2,m,g,m,g,F,I,2,F,I,1,F,Oy,F,Ox,B,A,O,1,2,(2),取,AB,杆为研究对象,M,I,2,m,g,F,I,2,F,A,y,F,Ax,B,A,2,(3),取,AB,杆为研究对象,M,I,2,mg,F,I,2,F,Ay,F,Ax,B,A,2,(4),取系统为研究对象,M,I,1,M,I,2,mg,mg,F,I,2,F,I,1,F,Oy,F,Ox,B,A,O,1,2,例,7,均质杆的质量为,m,长为,2,l,一端放在光滑地面上,并用两软绳支持,如图所示。求当,BD,绳切断的瞬时,B,点的加速度,AE,绳的拉力及地面的反力。,解：以,AB,杆为研究对象,杆,AB,作平面运动,如图,以,B,点为基点,则,C,点的加速度为,其中,将惯性力系向质心,C,简化,得惯性力,F,I,F,I,e,F,I,r,其中,F,I,e,ma,B,F,I,r,ma,t,CB,ml,a,和惯性力偶,其力偶的矩为,A,E,C,B,x,y,30,o,B,C,A,E,D,30,o,F,T,F,N,mg,F,I,e,F,I,r,M,I,a,B,a,B,a,t,CB,a,在,BD,绳切断的瞬时,受力如图,建立如图坐标。,由质点系的达朗贝尔原理,A,E,C,B,x,y,30,o,F,T,F,N,mg,F,I,e,F,I,r,M,I,B,A,30,o,x,以,B,为基点,则,A,点的加速度为,其中,将上式投影到,x,轴上得,联立求解（,1,）,（,4,）式,得,a,B,a,B,a,t,CB,a,a,t,A,例8,如图所示,均质杆,AB,长为,l,重为,Q,上端,B,靠在半径为,R,的光滑圆弧上（,R,=,l,）,下端,A,以铰链和均质圆轮中心,A,相连,圆轮重,P,半径为,r,放在粗糙的地面上,由,静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角,求此瞬时,A,点的加速度。,轮和杆均作平面运动,将惯性力系分别向质心简化,则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为,解：设系统运动的初瞬时,圆轮中心的加速度为,角加速度为 ；,AB,杆的角加速度为,质心,C,的加速度为 、。如图。,先以整体为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶,则由质点系的达朗贝尔原理,(1),再以,AB,为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶,则由质点系的达朗贝尔原理,（,2,）,AB,杆作平面运动,先以,B,点为基点,则,A,点的加速度为,其中,其加速度合成矢量图如图所示。,将其投影于 轴,得,（,3,）,再以,A,为基点,则,C,点的加速度为,其中,加速度合成矢量图如图。,将其投影于 、轴,得,（,4,）,（,5,）,由式（,3,）、（,4,）、（,5,）可将 、都化为 的函数,即,将其代入式（,1,）、（,2,）,并取,联立该两方程可解得,本章结束,