第五章Hypothesis_test.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 假设检验,Hypothesis Testing,数理统计课题组,本章大纲,假设检验的基本概念,Neyman,-Pearson,范式,和假设检验有关的两个问题,广义似然比检验,单样本检验的几个实例,两个样本的比较,实验设计,学习目标,理解假设检验的直观概念和,Neyman,-Pearson,范式,了解假设检验方法的可能缺陷,掌握广义似然比检验,掌握正态、多项、泊松总体的假设检验,掌握,Hanging,Rootogram,和概率图,掌握两个独立样本的比较,理解实验设计,本章详细大纲,假设检验的基本概念,Neyman,-Pearson,范式,Neyman,-Pearson,引理,显著性水平的确定和,p-,值,一致最优检验,和假设检验有关的两个问题,置信区间和假设检验的对偶关系,如何选择原假设,广义似然比检验,广义似然比方法,多项分布的广义似然比检验,泊松分布的广义似然比检验,单样本检验的几个实例,两个样本的比较,1.,假设检验的基本概念,(Hypothesis Testing),硬币猜测游戏,用似然比,likelihood ratio,和贝叶斯方法处理这个问题,正面朝上的概率,硬币,0 0.5,硬币,1 0.7,猜硬币中的似然比,如果你在,10,次抛掷中看到,2,次正面朝上。则,P,0,(2)/P,1,(2)=30,。这就是似然比。,硬币,0,出现这个结果的机会是硬币,1,的,30,倍,猜硬币中的似然比,根据抛掷结果计算出的后验概率成为评判标准,C,是临界值,critical value,猜硬币中的错判概率,假定,c=1,。则判别规则如下：,因为结果有随机性，这个规则导致错判,错误分成两类：,H,0,为真的时候拒绝,H,0,，,H,0,为假的时候接受,H,0,临界值,c,对错判概率的影响,假定,c=0.1,，即先验概率有差异,2.Neyman-Pearson,范式,不用贝叶斯方法,规避了先验概率的决定,对两个假设区别对待，一个成为原假设,H,0,(null hypotheses),，另一个成为备择假设,H,1,(alternative hypotheses),由此导致在有些场合下选择原假设的困难,Neyman,-Pearson,范式中的术语,第,I,类错误,(Type I Error),，,H,0,为真的时候拒绝,H,0,检验的显著性水平,(significance level),，第,I,类错误的概率，通常记为,第,II,类错误,(Type I Error),，,H,0,为假的时候接受,H,0,，其概率记为,检验的功效,(power),，,H,0,为假的时候拒绝,H,0,，其概率记为,检验统计量,(test statistics),拒绝域,(rejection region),和接受域,(acceptance region),原分布,(null distribution),，在原假设为真的条件检验统计量所服从的分布,Neyman,-Pearson,引理,(lemma),方差已知的正态,方差已知的正态,置信区间和假设检验的对偶关系,置信区间和假设检验的对偶关系：引理,A,引理,A,置信区间和假设检验：引理,A,证明,引理,A,证明,则按照,C(X),的定义,置信区间和假设检验的对偶关系：引理,B,引理,B,证明,广义似然比检验（,Generalized Likelihood Ratio Test,）,似然比检验在对两个简单假设进行检验的时候是最优的。本节介绍的广义似然比检验将能够处理比较复杂的假设形式。其原理和似然比有相似之处。,一个比较自然的度量两个假设可信程度的指标是两个假设的似然比。,广义似然比检验,因为在两个假设中，参数都有多个可能取值，所以,在可能的参数集合上取最大值是一个可以考虑的,出于数学处理上的考虑，把分母改成在,整个参数集合上取最大值,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验,多项分布的广义似然比检验,考虑多项分布的似然比检验。,多项分布的广义似然比检验,Pearson,卡方统计量和似然比,可以证明在,H,0,成立的条件下，,Pearson,统计量和似然比渐近等价，,这里用,Taylor,展开做一直观解释。,Pearson,卡方统计量和似然比,Handy-Weinberg,均衡,在参数估计的例子中引入了,Handy-Weinberg,均衡,Bacterial Clump,用显微镜检查,0.01,毫升牛奶中的细菌群的数量,.,计量方法是每个方格子里的数量,看起来用泊松分布是不错的,以下数据来自,Bliss and Fisher(1953),Bacterial Clump,Fisher,重新检验孟德尔,(Mendel),的数据,现代基因理论的结果,孟德尔的观测结果,Pearson,卡方统计量,0.604,泊松散布度检验,(dispersion test),泊松分布的特点是均值和方差相等,泊松散布度检验,(dispersion test),泊松散布度检验,(dispersion test),近似公式可以有如下解释：等于方差估计值除以,均值估计值的比率的,n,倍,泊松分布的方差和均值相等，但一般情况下的数据,的方差大于均值。因此这个检验称为散布度检验,比如负二项分布和泊松分布相比就具有,更大的散布程度,泊松散布度检验：石棉纤维,泊松散布度检验：细菌菌落,更多的评估拟合优度的方法,Hanging,rootograms,Probability plots,正态性检验,Hanging,rootograms,原理：用图象展示观测值和拟合值的直方图之间的差异,演示数据：来自,Martin,Gudzinowicz,and,Fanger,1975,，共,152,通常会用正态分布来拟合所得到的数据,Hanging,rootograms,Hanging,rootograms,Probability plots,要对一组数据对某个理论分布的拟合程度进行定性判断，,概率图是极为有用的一种图形工具,Probability plots,均匀均匀概率图,Probability plots,概率图,显然这条曲线,不是线性的,均匀,-,三角概率图,概率图：概率积分变换,probability integral transformation,概率图：特定的,F(x,),概率图：,Michelson,光速测定实验结果,正态性检验,正态性检验,正态性检验,比较两个独立样本,(Independent Samples),比较两个独立样本：基于正态分布,比较两个独立样本：基于正态分布方差已知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,定理,A,的证明,统计量可以表示为,U/V,.,U,服从标准正态分布,.,V,等于卡方随机变量除以其分布自由度,.,U/V,服从,t,分布,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例,A,问题：,今有,A,和,B,两种决定冰的热功当量的方法,此处放箱线图,比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例,A,自由度为,19,的,t,分布的,.975,分位点等于,2.093,即,(.015,.065),两样本假设检验,双侧备择假设,two-sided alternative,单侧备择假设,one-sided alternative,两样本假设检验，续例,A,检验,H,0,对,H,1,等价于似然比检验,求最大值：似然比的分子部分,求最大值：似然比的分母部分,似然比的计算结果,分子部分的变换,如果方差不相等,以它为,t,统计量的分母，所得到的统计量不再服从,t,分布，,但近似服从自由度为下述结果取整之后的结果的,t,分布,教材例,11.2.1.1,待处理,教材例,11.2.1.1,下面是对数变换的模型,变异系数,(coefficient of variation),一个分布的标准差和均值的比率称为变异系数,(coefficient of variation),对于变换后的数据，,t,统计量为,.917,，,p-,值为,.37,。,没有理由拒绝原假设。,95%,置信区间是,(-.61,.23),功效,(power),计算功效对于在规划实验时确定样本量的大小具有重要意义。,检验的功效是在原假设为假的时候拒绝原假设的概率。,影响两样本,t,检验的四个要素包括：,功效的计算,例,A,。两样本比较。样本量均为,18,，来自正态总体，,标准差都是,5,，显著性水平,.05,。,非参数方法：,Mann-Whitney,检验,这个检验也叫,Wilcoxon,秩和检验,(,Wilcoxon,Rank Sum Test),将,m+n,次实验分配给处理组和对照组，,随机抽取,n,个分配给对照组，剩下的,m,个给处理组,要检验的原假设是处理没有效应。,如果原假设通过检验，就说明结果中的差异是由随机化造成的,统计量的计算方法如下,1,、将,m+n,个观测值放在一起，按照升序排列。,（为简化问题，假定没有并列名次。实际上，出现并列,名次并不影响我们的计算）。,2,、计算来自对照组的观测值的秩的和,3,、如果秩和太大或者太小就可以拒绝原假设,Mann-Whitney,检验的简单例子,4,位受试，随机抽取其中两名进入处理组，剩下两名在对照组,表中的数据是实验结果（响应值），括号中出现的是这个值的秩,对照组的秩和等于,7,，处理组的秩和等于,3,这个差异足以让我们相信在处理组和对照组的结果之间,存在系统的差别吗？让我们来做一个概率计算。,Mann-Whitney,检验的简单例子,Mann-Whitney,检验的关键思想是：,我们可以用显式公式计算原假设下的秩和分布。,在原假设下，所有观测值的秩的组合,都是等概率的。这样一共有,4!=24,种结果。,特别地，处理组的结果的秩,有,6,种，也应该是等概率出现的。,Mann-Whitney,检验,实际中的检验问题不可能有这么小的,m,和,n,Mann-Whitney,检验：例,A,数据来自教材,423,页，例,A,排序结果，有并列排名,并列排名的处理方式：,比如有,4,个值都等于,79.97,。它们,占据的名次为,3,4,5,和,6,，则每个,数的秩都等于,(3+4+5+6)/4=4.5,Mann-Whitney,检验：例,A,Mann-Whitney,检验：定理,A,证明提示：,利用教材,7.3.1,的定理,A,和,B,Mann-Whitney,检验：定理,A,的证明,Mann-Whitney,检验,Mann-Whitney,检验不依赖正态假设,用排序名次取代实际数字，对离群值不敏感,可以证明，如果正态假设成立，则,Mann-Whitney,检验和,t,分布的功效几乎相等,下面我们用另一种观点看待,Mann-Whitney,检验,Mann-Whitney,检验,Mann-Whitney,检验,Mann-Whitney,检验,Mann-Whitney,检验,贝叶斯方法,贝叶斯方法,贝叶斯方法,解释是完全不一样的,贝叶斯方法,补充例题,比较配对样本,comparing paired samples,许多实验中使用的不是独立样本，而是配对样本。,医学实验。受试可能按照年龄、体重或者患病程度,配对，然后每个对中的一个成员会被随机分到处理组,，另一个进入对照组。,或者，对是由同一位受试在计量“之前”和“之后”构成,关键问题是如何处理“不独立”样本的相关性,比较配对样本,比较配对样本,配对实验的优势在于，如果,X,和,Y,的相关系数大于,0,，,则估计值的方差更小,比较配对样本：正态分布,比较配对样本：正态分布，例,A,数据：,Levine(1973),研究,比较配对样本：正态分布,比较配对样本非参数方法，符号秩检验,signed rank text,