D1_8函数的连续性与间断点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八节 函数的连续性 与间断点,函数的,连续性,(continuity),函数的,间断点,小结,(discontinuous point),第一章 函数、极限与连续,1,间变化很小时,生物生长的也很少,.,在函数关系上的反映就是函数的连续性,.,在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,金属棒长变化也很小,.,时,在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数,.,这种现象,从直观上不妨这样说,连续函数的,特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以,一笔画成,.,函数的连续性与间断点,1.,函数的增量,自变量,称差,为自变量在,的增量,;,函数随着从,称差,为函数的,增量,.,如图,:,一、函数的连续性,函数的连续性与间断点,连续,2.,连续的定义,定义,1,设函数,f,(,x,),在,内有定义,若,则称函数,f,(,x,),在,x,0,处,并称,x,0,为函数,f,(,x,),的,连续点,.,定义,2,若,则称函数,f,(,x,),在,x,0,处,连续,.,把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法,只需求出该点函数特定值,.,自变量在,x,0,点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小,.,形象地表示了连续性的特征,.,采用了无穷小定义法,函数的连续性与间断点,连续性的二种定义形式不同,这二种定义中都含有,但本质相同,.,f,(,x,)在,内有定义,;,(1),(2),(3),三个要素,:,存在,;,函数的连续性与间断点,例,证,都是连续的,.,类似可证,是连续的,.,即,函数的连续性与间断点,3.,左、右连续,左连续,(continuity from the,右连续,(continuity from the,left),;,right),.,左连续,右连续,函数的连续性与间断点,定理,1,此定理常用于,判定分段函数在分段点,处的连续性,.,函数的连续性与间断点,例,解,右不连续,.,所以,左连续,函数的连续性与间断点,4.,连续函数,(,continous,function),与连续区间,上的,或称函数在该区间上连续,.,在区间上每一点都连续的函数,称该区间,在开区间,右连续,左端点,右端点,这时也称该区间为,continuous,左连续,连续函数,连续区间,.,内连续,函数的连续性与间断点,是一条无缝隙的连绵而不断的曲线,.,连续函数的图形,例如,多项式函数,内是连续的,.,因此,有理分式函数在其定义域内的每一点,有理分式函数,只要,都有,因此多项式函数,在,都是连续的,.,第六节中已证,函数的连续性与间断点,定义,4,出现如下三种情形之一,:,二、函数的间断点及其分类,无定义,;,不存在,;,间断点,.,函数的连续性与间断点,设函数,f,(,x,),在,x,0,的某去心邻域内有定义,间断点分为两类,:,第二类,间断点,第一类,间断点,及,均存在,及,中至少有一个不存在,.,若,称 为,可去间断点,.,若,称 为,跳跃间断点,.,若,其中有一个为振荡,若,其中有一个为,称 为,无穷间断点,.,称 为,振荡间断点,.,函数的连续性与间断点,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,无穷次振荡型,第二类间断点,函数的连续性与间断点,例,由于函数,无定义,故,为,f,(,x,),的 间断点,.,且,皆不存在,.,第二类,第二类间断点,:,至少有,且是无穷型间断点,.,一个不存在,.,函数的连续性与间断点,例,有定义,不存在,故,为,f,(,x,),的 间断点,.,第二类,且是无穷次振荡型间断点,.,之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点,例,有定义,故,为,f,(,x,),的 间断点,.,第一类,的第一类间断点,.,则点,x,0,为,函数,f,(,x,),的,且是跳跃间断点,.,跳跃型间断点,.,及,均存在,则点,x,0,为,函数的连续性与间断点,函数的连续性与间断点,例,讨论函数,解,为,函数的 间断点,.,第一类,且是可去间断点,(removable discontinuity).,处,无定义,可去间断点,.,连续,.,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,函数的连续性与间断点,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,函数的连续性与间断点,则可使,x,0,变为连续点,.,注,对可去间断点,x,0,如果,于,A,(,这就是为什么将这种间断点称为,使之等,可去间断点的理由,.),补充,x,0,的函数值,或,改变,函数的连续性与间断点,如,补充,定义,:,如,但,函数的连续性与间断点,练习,解,函数无定义,是函数的间断点,.,由于,所以,是函数的,第二类间断点,且是,无穷型,.,由于,所以,是函数的,第一类间断点,且是,跳跃型,.,并指出其类型,.,函数的连续性与间断点,疑难解释：,2.,练习：,1.,2.,设,3.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,函数的连续性与间断点,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,无穷次振荡型,第二类间断点,函数的连续性与间断点,作业,P65 3(2)(3);4;6,