D1.8函数的连续性与间断点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学,A,电子教案,二、函数的间断点,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,第一章 函数与极限,第一章,引入,连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许多现实的例子,.,比如,随着时间的微小变化，我们的身高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着的汽车的行程也作了微小的变化。,总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依赖的微小变化用到的工具就是函数的极限。,自变量与应变量的变化描述,x,y,O,y=f,(,x,),一、函数在点,x,0,连续的定义,记,于是，上述定义可以转化为,确切地，有以下定义：,可见,函数,f,(,x,),在点,x,0,连续,必须具备下列条件,:,一、函数在点,x,0,连续的定义（续）,(1),f,(,x,),在点,x,0,有定义,，,即,f,(,x,0,),存在,;,(2),极限,(3),存在,;,用,极限的“,”,语言来描述：,单侧连续的定义,(1),左连续,:,(2),右连续,:,区间上的连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,.,直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,.,在,闭区间,上的全体连续函数的集合记作,在,上,连续,.,有理分式函数,在其,定义域内连续,.,因只要,都有,例，多项式函数,例,.,证,:,即,由,x,0,的任意性知函数,同样可证,:,函数,二、函数的间断点,(1),函数,f,(,x,),在点,x,0,(2),函数,f,(,x,),在点,x,0,不,存在,;,(3),函数,f,(,x,),在点,x,0,存在,但,设,f,(,x,),在点,x,0,的某去心邻域内有定义,则有下列情,形之一的函数,f,(,x,),在点,x,0,不连续,:,虽有定义,但,虽有定义,且,这样的点,x,0,称为间断点或不连续点,.,无定义,;,间断点的分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少有一个不存在,，称,若,其中有一个振荡,称,若,其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,在 处,无,定义,.,在,x,=0,处无,定义,.,在,x,=1,处无,定义,.,x,=0,x,=1,补充定义,f,(1)=,？,则函数在,x,=1,连续,.,显然,x,=1,为其,可去间断点,.,(5),x,=0,为其跳跃间断点,.,。,。,(4),修改定义,f,(1)=,？时可使函数在,x,=1,处连续,.,小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,(,左右极限都存在,),第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,(,左右极限至少有一个不存在,),2.,f,(,x,),在点,x,0,间断的类型,1.,f,(,x,),在点,x,0,连续的两种等价形式,可补充或修改定义,使之成为连续点,!,课堂练习,x,=2,是第二类无穷间断点,.,提示,:,时,f,(,x,),为连续函数,.,答案,:,x,=1,是第一类可去间断点,可补充定义,f,(1)=,2,则函数就在,x,=1,处连续,.,3.,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为,无穷间断点,;,故,x,=1,为跳跃间断点,.,