D1-2数列的极限函数的极限.ppt

*,1.,邻域,:,复习,3.,复合函数,2.,点,a,的去心的,邻域,:,分解方法：从外到内,.,4.,基本初等函数和初等函数,(,应认识,),.,1,第一章,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,2,回顾：,1.,数列的定义,:,自变量取正整数的函数称为,数列,记作,或,称为,通项,(,一般项,),.,2.,数列的分类,:,3,3.,数列极限的描述性定义：,收 敛,趋势不定,发 散,当,n,无限增大时,如果数列,x,n,的项,x,n,无限接近于,常,4,问题,:,“无限接近”,意味着什么,?,如何用数学语言,刻划,它,?,由于,只要,只要,只要,5,一、数列极限的,精确性,定义,定义：,如果数列没有极限,就说数列是发散的,.,表示每一个或任给的；,表示至少有一个或存在,.,6,注意：,7,3.,几何解释,:,至多有,有限个点：,有,无限个点：,当,n,N,时，,只有有限,个,(,至多只有,N,个,),落在其外,.,结论：,对数列增删有限项,不影响数列极限的存在性,也不影响极限值,.,8,例,1.,证：,故,9,例,2.,已知,证明,证,:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,也可由,取,10,1),N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,说明,:,2),用定义证数列极限存在时,关键,是任意给定,寻找,N,.,3),解析法的步骤：,11,例,3.,证,:,两边取自然对数得,取,12,二、收敛数列的性质,1.,极限的唯一性,则它的极限唯一,.,定理,1,如果数列,收敛，,证：,用反证法,假设同时有,且,则,使得当,恒有,恒有,满足的不等式,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,.,故假设不真,!,13,例,4.,证明数列,是发散的,.,证,:,用反证法,.,假设数列,收敛,则有唯一极限,a,存在,.,取,则存在,N,但因,交替取值,1,与,1,内,而此二数不可能同时落在,长度为,1,的开区间,使当,n,N,时,有,因此该数列发散,.,14,定理,2,如果数列,收敛，,则该数列一定有界,.,证：,由定义,2.,收敛数列的有界性,15,说明,:,例如,虽有界但不收敛,.,数列,即：,数列,有界,是数列,收敛,的,必要,条件,.,3),逆否命题：,无界数列必定发散,.,注意：,有界数列不一定收敛，但收敛必有界,.,2),此性质的逆命题不一定成立,.,即有界数列不一定收敛,.,16,3.,收敛数列的保号性,定理,3,证：,由定义,同理可证,的情况,.,推论,从某项起有,(,或,局部保号性,实际是保号性定理的逆否命题,.,则,(,或,17,4.,收敛数列与子数列的关系,子数列定义：,在数列,中任意抽取无限多项并保持,这些项在原数列,中的先后次序，,这样得到的一个数,列称为原数列,的子数列,(,或子列,).,例如，,定理,4,18,说明：,例如，,发散,!,19,三、极限的存在准则,1.,夹逼准则,(P50),证：,则,使得,由条件,(1),准则,:,20,例,5.,证明,证,:,利用夹逼准则,.,且,由于,(P57,题,4(2),21,准则,：单调有界数列必有极限,(P52),(,证明略,),2.,单调有界准则,22,证：,(,舍去,),的极限存在,.,例,6.,证明数列,23,内容小结,1.,数列极限的“,N,”,定义,及应用,(,证明极限,),2.,收敛数列的性质,:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,收敛数列与子数列的关系,.,3.,极限存在准则,:,夹逼准则,;,单调有界准则,.,作业,:,P56,4,(,1,)(,3,),预习,:,P31-P37,24,思考与练习,1.,如何判断极限不存在,?,方法,1.,找一个极限不存在的子数列,;,方法,2.,找两个收敛于不同极限的子数列,.,2.,已知,求,时,下述作法是否正确,?,说明理由,.,设,由递推式两边取极限得,不对,!,此处,25,复习,2.,收敛数列的性质：,(1),极限唯一性,;,如果将,n,换为,x,，,则成为函数,那么当,等过程下，,26,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式,:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容,:,函数的极限,三、函数极限的性质,27,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,观察函数,y=,2,28,29,时函数的极限,定义,1,：,记为：,则有：,注意：,该定义与数列极限的定义中,的区别：,30,定义,1,：,记为：,定义,2,：,记为：,时函数的极限,则有：,时函数的极限,定义,3,：,记为：,31,从定义中得到：,定理,1,：,则有：,不存在,.,32,几何解释,当,x,X,时，,函数,y,=,f,(,x,),的图形完全落在以直线,y,=,A,为中心线，,宽为,的带形区域内,.,(2),直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线,.,(1),极限存在,函数局部有界,(P36,定理,2),这表明,:,33,例,1.,证,:,水平渐近线,.,34,观察图像,二、自变量趋向有限值 时函数的极限,x,y,o,2,4,x,y,o,1,2,35,定义,1,：,定义,2,：,定义,3,：,定理,2.,36,注意：,定理,2.,37,函数极限的几何意义,A,极限存在,函数局部有界,(P36,定理,2),这表明,:,38,例,1.,证明,分析：,函数在,处无定义，,但这与函数在,该点是否,有极限并无关系,.,当,时，,要使,证,:,39,例,2.,证明,分析：,当,时，,证,:,要使,只需取,只要,就有,注,:,40,解：,例,3.,x,y,o,1,-1,定理,2.,41,证,:,例,4.,验证,不存在,.,(P38T4),经验：,分段函数分界点处的极限一般应,先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限,.,42,解,:,即,x,y,1,-1,o,例,5.,思考,:,若极限,存在,是否一定有,43,三、函数极限的性质,1.,唯一性,定理,1,：,2.,有界性,定理,2,：,证：,则对于,恒有,成立,.,这时,44,3.,保号性,定理,3:,推论,1.,我们省去以上定理的证明，,但是以后我们经常用到,他们,请同学们熟记,.,推论,2.,思考,:,若推论,1,中的条件改为,是否必有,不能,!,如,45,4.,函数极限与数列极限的关系,定理,4:,说明,(1):,说明,(2):,此定理常用于判断函数极限不存在,.,46,例,6.,证明,不存在,.,证,:,取两个趋于,0,的数列,及,有,由定理,4,知,不存在,.,练习：,证明,证明,:,定理,4:,47,定理：,小结,定理：,3.,函数极限,的性质:,唯一性,;,有界性,;,保号性,;,函数极限与数列极限的关系,.,48,预习,:P3949.,作业：,练习：,P37:1,2,3,写在书上；,49,几个常用极限与几个极限不存在的例子请同学们熟记,50,