第1-2无穷大小量和连续性.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,极限,(,之二,),一、无穷小（大）量,二、函数的连续性,本节内容,:,当,一、无穷小量与无穷大量,(1),定义,.,时,则称函数,f,(,x,),例如,:,函数,1/,x,为无穷小,;,函数,是当,为,时的,无穷小量,的无穷小,.,1.,无穷小量,注：,0,是无穷小,.,所有的无穷小都是变量；,无穷小必须指明,x,的趋向,.,简称,无穷小,.,无穷小不是一个很小的数，故,除,0,之外，,结论,1,0,证明：,其中,(,x,),为,时的无穷小量,.,对自变量,x,的其它变化过程结论仍成立,.,定理,.(,无穷小与函数极限的关系,),由例,得,当,x,0,的,无穷小量,性质,1:,有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量,;,性质,2:,常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量,;,(2),无穷小量的性质,证明：,注：两个无穷小的商不一定是无穷小,.,反例,性质,3:,例,3.,求,根据性质,3,，有,是个有界变量,函数,x,是,x,0,时的无穷小,解：,有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量,;,证明：,(3),无穷小的阶,为了比较两个无穷小趋于,0,的速度,引入无穷小的阶,.,当,x,0,时，,x,2,0,比,x,0,速度“快些”；,反过来，,x,0,比,x,2,0,速度“慢些”；,sinx,0,与,x,0,速度“快慢相仿”,.,(3),无穷小的阶,则称,是比,高阶,的无穷小,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记,则称,是比,低阶,的无穷小,;,定义,.,为了比较两个无穷小趋于,0,的速度,引入无穷小的阶,.,则称,是,的,同阶,无穷小,;,例如,故当,x,0,时,，,x,3,是比,3,x,高阶的无穷小,记,等价无穷小,若,或,则称,与,是,等价,无穷小,记作,例如,故当,x,0,时,tanx,与,x,是等阶无穷小,故当,x,0,时,ln(1,+x,),与,x,是等阶无穷小,当,x,0,时,，,常用等价无穷小,:,例,4.,证明,:,证,:,因此,即有等价关系,:,等价无穷小替换定理：,且,存在,则,证,:,例,5.,设,例,6(,辨析,),解,:,原式,错误原因,:,x,sin,x,不等价于,x,和差不能代替,sin,不等价于,;,例,解,错,解,例,解,例,求,解一,解二,(1),定义,.,当,x,x,0,(,或,x,),时,则称函数,f,(,x,),为当,x,x,0,(,或,x,),时的无穷大,记作,2.,无穷大量,若函数,f,(,x,),的,绝对值,无限增大，,无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大,例如，,(2),无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小,;,若,为无穷小,且,则,为无穷大,.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论,.,定理,.,在自变量的同一变化过程中,说明,:,(,不存在,),设函数,的某邻域内有定义,二、函数的连续性,函数的增量,定义,1.,在,则称,函数,且,1.,定义,设函数,y,=,f,(,x,),有定义,可见,函数,在点,定义,2.,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,存在,;,左连续,右连续,若,在区间,(,a,b,),内每一点都连续,则称,f,(,x,),在该,区间,(,a,b,),内,连续,或称它为该区间,(,a,b,),内的,连续函数,.,则称,f,(,x,),是,a,b,上的连续函数,记作,若,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内连续,且在,a,点右连续,在,b,点左,连续,而在,a,点右连续,在,b,点左连续指,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,例,7.,分析：,解：,（,2,）,2.,连续函数的运算法则,定理,1.,有限个,在某点连续的函数的和,差,积,商,(,利用极限的四则运算法则证明,),(,分母不为,0),仍是一个在该点连续的函数,.,定理,2.,连续函数的复合函数仍是连续函数,.,证,:,设函数,于是,故复合函数,即,即,函数,y,=,f,(,u,),在点,定理,2.,连续函数的复合函数是连续的,.,证,:,设函数,于是,故复合函数,且,即,函数,y,=,f,(,u,),在点,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,在区间,(,端点为单侧连续,),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,为连续函数,在点,在,在,三、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不存在,;,(3),函数,存在,但,不连续，,设,的某去心邻域内有定义,若函数,f,(,x,),而点,有下列情形,之一,:,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,f,(,x,),的,间断点,.,在,则称函数,f,(,x,),在点,无定义,;,为间断点,.,为间断点,.,例如,:,(3),为其间断点,.,显然,为其间断点,.,(4),内容小结,一、两个重要极限,(1),(2),二、无穷小量与无穷大量,1.,定义及性质,3.,无穷大与无穷小的关系,2.,无穷小的阶,作业,练习题,1.2,（,P27,）,4,复习题,2,（,P28,）,.1,2,7,