常微分方程ppt (19).ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,5.6,二维自治微分方程组的周期解和 极限环,本节讨论二维自治微分方程组的周期解。,5.6.1,周期解与极限环,如果系统,出发的解,从,则称,解,(5.6.2),是系统,(5.6.1),的周期解，,周期解在相平面的轨线是一条封闭曲线。,线性系统,的轨线当原点,(0,0),是中心时，是一族包围原点的封闭曲线，,此时方程组得解都是周期解。,非线性系统,有周期解,除过从原点,(0,0),出发的解外,其它解轨线当时间趋,于无穷时都趋于周期解,Maple,程序,(,中心,),with(DEtools,);,DEplot(diff(x(t),t,)=-,y(t)-x(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),diff(y(t),t,)=,x(t)+y(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=0,y(0)=2,x(0)=0,y(0)=3,x(0)=0,y(0)=4,x(0)=0,y(0)=5,x(0)=0,y(0)=6,x(0)=0,y(0)=7,x=-8.8,y=-8.8,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,Maple,程序,(,稳定极限环,),with(DEtools,):,DEplot(diff(x(t),t,)=-,y(t)-x(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),diff(y(t),t,)=,x(t)-y(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4,x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4,x(0)=-4,y(0)=-4,x(0)=-4,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=-4,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,Maple,程序,(,不稳定极限环,),with(DEtools,):,DEplot(diff(x(t),t,)=-,y(t)+x(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),diff(y(t),t,)=,x(t)+y(t,)*(x(t)2+y(t)2-1),x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4,x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4,x(0)=-4,y(0)=-4,x(0)=-4,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=-4,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,Maple,程序,(,半稳定极限环,),with(DEtools,):,DEplot(diff(x(t),t,)=-,y(t)-x(t,)*(x(t)2+y(t)2-1)2,diff(y(t),t,)=,x(t)-y(t,)*(x(t)2+y(t)2-1)2,x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=2,y(0)=0,x(0)=-2,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-2,x(0)=0,y(0)=2,x(0)=2,y(0)=2,x(0)=-2,y(0)=-2,x(0)=-2,y(0)=2,x(0)=2,y(0)=-2,x=-2.2,y=-2.2,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,由此可见,(5.6.1),中，当,时，情况是,比较复杂的。,例,5.6.1,讨论非线性方程组,(5.6.4),在相平面上的轨线分布情况。,是非线性函数,解,引入极坐标,系统,(5.6.4),化为等价系统,系统,(5.6.5),有三个特解,解,(5.6.6),即为原点，是一个奇点，解,(5.6.7),和,(5.6.8),在相平面上分别是以,(0,0),为心，半径为,1,和,2,的圆，它们都是系统,(5.6.4),的周期解。除,过这三个特解外其余轨线的形态又如何呢？,在相平面上作一个以,(0,0),为心、半径为,的圆，考察过圆,上任一点的轨线的走向。,当,时，由式,(5.6.5),知,即轨线按顺时针方向从圆,上进入圆内。,当,时，同样由式,(5.6.5),知,即轨线按顺时针方向从圆,上跑出圆外。,当,时，可得出,即轨线按顺时针方向从圆,上走入圆内。这表,明其余解均正向或负向趋于上述三个周期解，,而本身均不是周期解，用,Maple,所画出的,(5.6.4),的轨线及向量场见图,5.24.,例,5.5.1,中的周期解,解（奇点）,.,是非常周期解，但是,定存在着一个小的邻域，其内既无奇点,也无其他闭轨线。也就是说，它本身是一条,孤立的闭轨线。相平面上这种孤立的闭轨线，,称之为,极限环,。,对应的是常数,这种周期解不同于中心的情况，它的周围一,Maple,程序,(,两个极限环 图,5.24),with(DEtools,):,DEplot(diff(x(t),t,)=y(t)-0.05*,x(t,)*(x(t)2+y(t)2-1)*(x(t)2+y(t)2-4),diff(y(t),t,)=-x(t)-0.05*,y(t,)*(x(t)2+y(t)2-1)*(x(t)2+y(t)2-4),x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-1.5,y(0)=0,x(0)=1.5,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4,x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4,x(0)=-4,y(0)=-4,x(0)=-4,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=-4,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,极限环在许多物理现象中扮演着重要的角色，,由于线性系统不存在极限环，所以它只出现在复,杂的非线性问题中，是非线性项导致了极限环,相平面上的极限环对应的是解空间的一条,周期解。而关于周期解有相应的稳定性问题，,因而，极限环也有稳定性问题。,的出现。,设,是系统,(5.6.1),的一个极限环，如果存在着,的一个,邻域，使得从此邻域内出发的其他解均,正向,趋近于,，,则称,为,稳定的极限环,。,如果其他解均负向,趋近于,，则称,为,不稳定的极限环,。,由于,的,邻域有一部分在,内侧，一部分在,外侧，所以还可以给出半稳定极限环的定义。如,果从,的,邻域出发的其他轨线在,的一侧,正向趋近于,，另一侧负向趋近于,，则称此,为,半稳定的极限环,。,极限环的稳定性态如图,5.25,所示,.,图,5.25,(,极限环的稳定性态,),对于一个微分方程组，要讨论其相平面上的轨线结构，,除了要研究清楚奇点和稳定性态外还必须弄清,:,(1),极限环的存在性问题；,(2),极限环的稳定性问题；,(3),极限环的个数及相对位置。,5.6.2,极限环的存在性,极限环的存在性一般不是通过求解的办法讨论。而是通过一些其它途径来研究，最经典的方法当属著名的,Poincare-,Bendixson,方法，它是通过几何的办法构造出一个满足一定条件的环域 而证明 中必存在闭轨线。也可以利用分支理论（隐函数定理）得到。,定理,5.9,Poincare-,Bendixson,环域定理,设区域 是由两条简单闭曲线 和 围成的环形域并且满,足下面的条件：,(1),及其边界 上不含奇点；,(2),从 的边界上各点出发的轨线都不能离开（或,进入）；,(3),均不是闭轨线。,则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内稳定闭轨（一个,外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨），如果是惟一的闭轨，,则一定是一个稳定的（不稳定的）极限环。,需要说明的一点是环域定理保证了 中闭轨的存在性，,但不一定是极限环，但如果 是解析函数，则,中的闭轨都是孤立的，因而是极限环。,在应用环域定理时关键是构造环域,的两条边界,和,（分别称为环域的,内外境界线,）。,例,5.6.2,证明方程组,至少有一个周期解。,证明,引入极坐标,，,将（,5.6.9),化为：,由,(5.6.10),中第一个方程可以看出，在圆,上,故,(5.6.9),的轨线当,增加时均由,的内部跑向外部。而在圆,上，,故,(5.6.9),的轨线当,增加时均由,的,外部进入内部。,于是，圆,和,就构成了一个环域,。,(5.6.9),的轨线均进入,的内部。,(5.6.9),在,内没有奇点，故由定理,5.9,知，在,稳定的闭轨，即,(5.6.9),在,内至少有一个,内至少存在一个外稳定的和一个内,周期解。,见下图,Maple,程序,(,稳定极限环,),with(DEtools,):,DEplot,(,diff(x(t),t,)=-,y(t,),-,x(t,)*(x(t)2+2*y(t)2-1),diff(y(t),t,)=,x(t,),-,y(t,)*(x(t)2+2*y(t)2-1),x(t),y(t),t,=-10.10,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=-0.5,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=0.5,x(0)=0,y(0)=-0.5,x(0)=0,y(0)=1,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-4,x(0)=0,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=4,x(0)=-4,y(0)=-4,x(0)=-4,y(0)=4,x(0)=4,y(0)=-4,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.01,linecolor,=blue);,例,讨论方程组,周期解的存,在性。,证明,引入极坐标 ，将（,5.6.20),化为,由于,(5.6.20),或,(5.6.21),中方程比较复杂，刚才的圆环区域无法满足要求，需要更高的技巧来构造环域来证明周期解（极限环）的存在性，在这里我们先用,Maple,进行观测，再对很小的 设法通过隐函数定理（分支理论）来进行讨论。,Maple,程序,(=0.01),with(DEtools,):,mu,:=0.01:,DEplot,(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.200,x(0)=1,y(0)=0,x(0)=2,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=4,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,Maple,程序,(=0.1),with(DEtools,):,mu,:=0.1:DEplot(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.100,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-3.8,x(0)=0,y(0)=3.8,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,Maple,程序,(=0.5),with(DEtools,):,mu,:=0.5:,DEplot,(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.100,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-3.2,x(0)=0,y(0)=3.2,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,Maple,程序,(=1.0),with(DEtools,):,mu,:=1.0:,DEplot,(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.100,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-3.2,x(0)=0,y(0)=3.2,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,Maple,程序,(=1.5),with(DEtools,):,mu,:=1.5:,DEplot,(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.100,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=4,y(0)=0,x(0)=-4,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-3,x(0)=0,y(0)=3,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,Maple,程序,(=2),with(DEtools,):,mu,:=2:,DEplot,(,diff(x(t),t,)=,y(t,),diff(y(t),t,)=-,x(t,),+,mu,*,y(t,)*(1-x(t)2),x(t),y(t,),t=-100.100,x(0)=0.5,y(0)=0,x(0)=3,y(0)=0,x(0)=-3,y(0)=0,x(0)=0,y(0)=-2.8,x(0)=0,y(0)=2.8,x=-4.4,y=-4.4,stepsize,=0.1,linecolor,=blue);,对,(5.6.21),中后一个方程积分得,容易看出,由隐函数定理知，有函数,对,(5.6.21),中前一个方程积分得,周期解等价于,计算得,容易看出,由隐函数定理知，有函数,这就证明了方程组,(5.6.20),对,有周期解，该,周期解的周期为,时是,时从,出发的解。,这里我们仅证明了当参数很小时周期解的存在,性，且知道该周期解与半径为,2,的圆很接近，而当参,数比较大时，需要构造环域来证明，这需要更细致,的工作和更多的技巧。从,Maple,给出的结果看出，,极限环当参数在一定的期间变化时是存在的。,5.6.3,极限环的不存在性,从上边的证明可以看出构造环域是有一定技巧的。因而就,出现了另一类问题：对于一个二维的微分方程组如果能肯定,它不存在极限环，这将对讨论它的轨线结构也是很有帮助，关于这方面的结论有下边两个最基本的定理。,定理,5.10,设系统,(5.6.1),的右端数,在某个单连域 内连续可微，并且,在 内不变号，且在 的任何子域内不恒为零，,则方程组,(5.6.1),在 内不存在任何闭轨线,。,证明,假设 内有一闭轨线,周期为 ，所围区域为 ，显然 。由格林公式,例,5.6.3,证明有阻尼的数学摆方程不存在周期解。,证明,其等价方程组为,计算得,由定理,5.10,知该方程不存在周期解。,不变号，且在 的任何子域中不恒为零，则方程,组,(5.6.1),不存在全部位于 内的闭轨线。,定理,5.11,的证明与定理,5.10,类似。定理,5.11,中的函数 称为,Dulac,函数，对于一个具体的微分方程组，,Dulac,函数的引入使我们能更有效的判断周期解的不存在性。,定理,5.11,对于方程组（,5.6.1,）若在某个单连域,中存在一个连续可微函数 ，使得,例,5.6.4,证明平面二次系统,当,时无闭轨线。,证明,由,(5.6.11),的第一个方程得到,故轨线与直线,相交时只能从它的,一侧穿向另一侧，因此，若,(5.6.11),有,闭轨线，它只能位于直线,的一侧，选取,Dulac,函数,容易算出,但,不是方程组,(5.6.11),的轨线。所,以由定理,(5.6.11),知系统,(5.6.11),当,时不存在闭轨。,5.6.4,极限环的稳定性,定理,5.12,如果沿着系统,(5.6.1),的极限环 有,则 是稳定（不稳定）的，其中 是 的周期解。,例,5.6.5,用定理,5.12,的结论判定例,5.6.1,中的极,限环,及,的稳定性。,解,由,可以算出,对,有,故由定理,5.12,知,是不稳定的。,对,有,由定理,5.12,知,是稳定的。,，,作业,P323,习题,5.6 1,课堂练习,讨论下面系统的极限环和轨线的渐近情况,