第五章解线性方程组的迭代法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析 主讲教师,*,第五章 解线性方程组的迭代法,线性方程组虽有直接解法，但对大型组，对时间和空间要求严格。,1,数值分析 主讲教师,第五章 解线性方程组的迭代法,5.1,迭代法及其收敛性,5.2,向,量和矩阵的范数,5.3,迭,代过程的收敛性,2,数值分析 主讲教师,5.2,向,量和矩阵的范数,向量范数,(vector norms),3,数值分析 主讲教师,4,数值分析 主讲教师,范数的等价性：,5,数值分析 主讲教师,向量序列的极限,（依分量收敛）,（依范数 收敛）,6,数值分析 主讲教师,矩阵范数、谱半径,7,数值分析 主讲教师,8,数值分析 主讲教师,证明,:,由范数等价性,仅就某一从属范数证明即可,.,9,数值分析 主讲教师,命题,3,对任意从属范数有：,见,数值计算原理,，李庆扬，关治,P193,10,数值分析 主讲教师,5.1,迭代法的构造及收敛,11,数值分析 主讲教师,12,数值分析 主讲教师,5.1.1,迭代法的收敛性,13,数值分析 主讲教师,14,数值分析 主讲教师,15,数值分析 主讲教师,16,数值分析 主讲教师,17,数值分析 主讲教师,18,数值分析 主讲教师,5.1.2,迭代法的收敛速度,19,数值分析 主讲教师,该定义依赖于范数的选取和迭代次数，为刻画方法本身的速度，引入仅与迭代阵有关的量：,20,数值分析 主讲教师,21,数值分析 主讲教师,5.3 Jacobi,迭代法和,Gauss-Seidel,迭代法,5.3.1 Jacobi,迭代法,5.3,.2 Gauss-Seidel,迭代法,5.3,.3 J,法与,GS,法的收敛性,22,数值分析 主讲教师,5.3,.1 Jacobi,迭代法,设有方程组,作等价变形，得不动点形式：,23,数值分析 主讲教师,5.3.1 Jacobi,迭代法,24,数值分析 主讲教师,5.3.1 Jacobi,迭代法,可构造迭代公式：,25,数值分析 主讲教师,5.3.1 Jacobi,迭代法,26,数值分析 主讲教师,5.3.1 Jacobi,迭代法,定理,Jacobi,迭代法收敛的充分必要条件是,27,数值分析 主讲教师,5.3.1 Jacobi,迭代法,28,数值分析 主讲教师,5.3.2 Gauss-Seidel,迭代法,29,数值分析 主讲教师,5.3.2 Gauss-Seidel,迭代法,30,数值分析 主讲教师,注,1,：当然可有其他的迭代法如,:,注,2,：在收敛的情况下，一般说来，,Gs,法的收敛性能较,J,法好，然而情况并不总是如此，存在方程组按,J,法收敛，而按,Gs,法不然，因此两种方法均很重要，如组：,31,数值分析 主讲教师,5.3.3 J,法与,GS,法的收敛性,讨论方程组,J,法及,GS,法的收敛性，除用收敛基本定理外，,还可直接由给定的系数矩阵,A,来判断收敛性（代数判据），为此先给出定义：,32,数值分析 主讲教师,5.3.3 J,法与,GS,法的收敛性,A,可约的代数意义是通过行列的相应调换化为解耦方程组。,33,数值分析 主讲教师,5.3.3 J,法与,GS,法的收敛性,说明：此定理实际含有四个命题。,34,数值分析 主讲教师,证明,（严格对角占优时的,J,法收敛性）：,35,数值分析 主讲教师,证明,（严格对角占优时的,GS,法收敛性）：,36,数值分析 主讲教师,（不可约弱,对角占优时的,J,法收敛性,）,37,数值分析 主讲教师,（不可约弱,对角占优时的,GS,法收敛性,）,38,数值分析 主讲教师,5.3.3 J,法与,GS,法的收敛性,39,数值分析 主讲教师,5.4,逐次超松弛迭代法,5.4.1 SOR,迭代公式,5.4,.2 SOR,迭代法收敛性,40,数值分析 主讲教师,5.4.1 SOR,迭代公式,逐次超松弛,(Successive Over Relaxation),迭代法，简称,SOR,迭代法,，它是在,GS,法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。,41,数值分析 主讲教师,5.4.1 SOR,迭代公式,42,数值分析 主讲教师,5.4.1 SOR,迭代公式,43,数值分析 主讲教师,44,数值分析 主讲教师,45,数值分析 主讲教师,46,数值分析 主讲教师,5.4.2 SOR,迭代法收敛性,47,数值分析 主讲教师,必要条件,（逆否定理）,48,数值分析 主讲教师,5.4.2 SOR,迭代法收敛性,分析：即讨论谱半径。,49,数值分析 主讲教师,证明：,50,数值分析 主讲教师,5.4.2 SOR,迭代法收敛性,51,数值分析 主讲教师,推论及其他有关结果,52,数值分析 主讲教师,