非线性系统分析.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,第7章 非线性系统的分析,7.1,非线性系统基本概念,7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析,7.3 线性系统的相轨迹,7.4 非线性系统的相平面分析,7.5 描述函数法,7.,6,分析,非线性系统的谐波平衡分析法,7.,7,非线性系统的,计算机仿真,小 结,Nonlinear Science,研究什么,？,客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界,Prigogine,：,“,自然用一千种声音说话，我们刚开始去听,”,。,自古希腊：人们笃信和向往世界的,稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、,本质简单性、周期性、对称性、,现在：人们越来越认识到：我们所处的大千世界是以,不稳定动力系统,为特征的，充满了,：,非平衡、非线性、非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标准分析、非,von Neumann,计算机、,人类理智夸入,“,想入非非,”,时代,非线性科学的四个发展阶段,40,年代：组织理论：,控制论，信息论，一般系统论,60,年代：自组织理论,（系统如何从无序有序）：,Catastrophic Theory,（,Thom,Arnold),，超循环论（,Eigen,），,Dissipative Structure,（,Prigogine,），,Synergetics,（,Haken,）,70,年代：非线性科学,（系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的有序）,Chaotic Dynamics,（,Feigenbaum,，,Ford,，,Kadanoff,），,Integrable,System,Soliton,Theory,（,Scott,，扎哈罗夫），,Fractals,（,Mandelbrot,）,90,年代：复杂性科学,（复杂性的定义及量度，复杂系统的行为及模型）,Neural Network,（,Hoppfield,），,Cellular Automaton,（,Wolfram,），人工生命,什么是非线性系统？,平衡与非平衡,：,物理概念,线性与非线性：,数学概念,线性系统,：,整体的行为或性质是部分之和,1,复杂性不因叠加产生,2,只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来,非线性系统：,叠加原理失效,整体的行为和性质,各部分的行为与性质（本质区别）,系统行为对初始条件极端敏感依赖,Chaos,长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性,非线性系统,：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件，即称为非线性系统,(P267),。,线性控制系统：,由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性,.,非线性控制系统：,系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性,.,非本质非线性,:,能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性,.,本质非线性：,用小偏差线性化方法不能解决的非线性,.,例：,对于一由非线性微分方程,x=-x(1 x),描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即,x,1,=0,和,x,2,=1。,将上式改写为,非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。,设,t0,时，系统的初态为,x,0,。,积分上式可得,x(t,),t,1,0,图,1,一阶非线性系统,系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏,差的大小有关。,统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。,在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全,可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。,(,自,激振荡,P272),非线性系统的主要特征：,1.研究非线性系统的意义,1）,实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响,.,2）,非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响,.,2.,研究非线性系统的方法,1）相平面法,是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。,2）,描述函数法,是近似分析法,受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。,3）计算机求解法,是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。,非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。,知 识 要 点,静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也最简单。,一、,数学描述,一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：,7.1 非线性系统基本概念,二 非线性特性分类：,(P269),1,、死区特性,常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般如图7-1中的点划线所示，,为了分析的方便，我们将它用图7-1中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：,图 71 死区特性,(7-2),死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。,2、饱和特性,可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。理想饱和特性的数学描述为：,(7-2),图7-2 饱和特性,继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,继电特性有双位特性如图7-3（,a）,和（,b），,三位特性如图7-3（,c）,等，图7-3（,b）（c）,的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。,分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。,3、继电特性,图7-3 几种典型的继电特性,图7-3（,a）,所示继电特性的数学描述为：,图（,c）,所示继电特性的数学描述为：,图（,b）,所示继电特性的数学描述由读者自行导出。,传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（,a）,表示齿轮传动原理，图7-4（,b）,表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2,b，,那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2,b,从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：,4、间隙特性,图7-4 间隙特性,返回,式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。,相平面法是庞加莱（,Poincare）1885,年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为,相平面,，方程组的解在相平面上的图象称为,相轨迹。,这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,7.2,二阶系统的相平面分析法,因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。,但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到,n,维状态空间以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。,考察二阶非线性时不变微分方程:,7.2.1 相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,微分方程组(7-6)有两个变量:,x,可以看作广义位移，,可以看作广义速度。,一般，直接对微分方程（7-5）求解，可以得到该系统的时间解,x,(t),还可以作出,x,(t),与,t,的关系图时间响应曲线。,如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解,x,(t),和 ,如果我们取,x,和 为坐标，以时间,t,为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，此平面即为,相平面,。当,t,变化时，这一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是,相轨迹,。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,例7-1,考虑二阶系统：,将它写成微分方程组：,两式相除得到：,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(,a),所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（,a）,只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当,x,o,=0,时，响应曲线如图（,b）。,图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应,7.2.2 相轨迹图,绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：,第一类,：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的,素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。,第二类,：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、,法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。,第三类,：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及,SIMULINK,等软件绘制相轨迹图。,相轨迹的,基本特征,有：,1）奇点,对于二阶系统，相平面上满足 且,的点叫做,奇点,，记作 。对照方程（7-6）知，,奇点座标 是代数方程,的解，显然奇点一定在轴上。,对于二阶系统，和 就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称,平衡点,。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分,稳定奇点,和,不稳定奇点,，稍后将讨论。,2）相轨迹切线斜率,由方程（7-6）知，相轨迹上任一点,的切线斜率为：,某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,3）相轨迹图形特征,如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：,1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）；,2)相轨迹必垂直通过横轴。,3),横,轴上方的相轨迹从左向右运动，,横,轴下方的相轨迹从右向左运动。,例7-2,作出下列二阶系统的相轨迹,将它写成微分方程组：,容易求出奇点为（0，0）。,图7-6 例7-2的根轨迹,ABCDO,对应初始条件为,EFO,对应初始条件为。,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。,返回,研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：,一是,许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；,二是,大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。,7.3 线性系统的相轨迹,二阶线性系统的微分方程是：,令：,则可写成：,即得：,再可写为：,由此式解出,x,1,与,x,2,的关系，即为二阶系统相轨迹,的方程。,7.3.1 二阶线性系统的相轨迹,另外，系统的特征方程为：,极点为：,下面由系统闭环极点的位置分析系统相轨迹性质：,1.,：共轭虚根。相轨迹方程：,可见其为一族同心的椭圆，坐标原点有一孤立奇点,(,中心点,),，每一椭圆对应一个简谐运动。,(,图,7-2-2 a,),2.,为一对负实部共轭复根。相轨迹是收敛于相平面原点的对数螺线,奇点为,稳定的焦点,.(,图,7-2-2b),均为负实根。相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线,奇点为,稳定的节点,.,（图,7-2-2 c,）,3.,4.,当,为实根，且符号相反（一左一右）时，,奇点为,鞍点,。相轨迹如（图,7-2-2d,）,为一对正实部共轭复根。相轨迹是从相平面,原点出发的对数螺线,奇点为,不稳定的焦点,.(,图,7-2-2e,）,均为正实根。相轨迹是由相平面原点出发的,发散型抛物线族,奇点为,不稳定的节点,.,（图,7-2-2f,）,5.,6.,图7-,2-2,二阶线性系统的特征根与奇点,(P275),由上可见，二阶,线性系统,的相轨迹和,奇点,的性质由系统的,特征根,决定，与,初始状态,无关。初始状态不同，相轨迹性质不变，形状相似，且对应于不同初始状态的相轨迹不会相交，只可能部分重合，而在奇点处则相交。另外，由于相轨迹的性质与系统初始状态无关，相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨迹的性质可推知全局。,显然，当,取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。（见,P277,表）,返回,7.4 非线性系统的相平面分析,非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。,解析法,图解法,等倾线法,法,绘制方法,为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的,分离结构,，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。,图7-8 具有分离结构的非线性系统,分析图7-8 所示非线性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,（一）、解析法：,首先要将相变量方程改写为：,然后对其积分，得到,x,1,与,x,2,的关系式，即,x,2,=f(x,1,),，,这就是相轨迹方程，可按其绘图,.,讲解例,7-3-1(P280),.,（二）、等倾线法,式,表示了相轨迹的斜率，,对于相平面上任意一点,(x1,x2),为相轨迹通过该点时的切线的斜率。若取定,q,为常数，,则可在相平面上找到一些点，在它们上面相轨迹的斜,率都为,q,。可在它们上面作斜率均为,q,切线,等倾线。,给定不同的,q,，可在相平面上画出许多等倾线。,等倾线描述了相轨迹运动的方向。当给定了初始状态,后，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨,迹,.(,注意！等倾线不同于相轨迹！,).,讲解,例,7-3-2(P281).,（三）、,法：,系统的相变量方程为：,在上式中的后一式中等号右边加、减 项，得,式中：,从而得到：,在点,(x1,，,x2),附近的小邻域内,可将,(x1,，,x2),视为常量,.,如果选取新坐标为,(,0,x,1,，,x,2,),，则以上方程是在新坐标系中的一个圆，其圆心在 ，半径,R,为从圆心到所取点 的距离。在所取点附近以此画弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。因此，相轨迹可用许多段小圆弧连接而成。,例,7-3-4(P283),自学,.,上图中，如果非线性特性为式,(7-2),所描述的饱和特性，线性部分的方程为：,联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数学模型为：,7.4.1 阶跃函数,现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨迹与性能：,（1）阶跃函数,，因为 ,系统 的分区域方程简化为：,区域2的奇点为(0,0),当 时是稳定焦点，当 时是稳定节点。,设 ,式（7-15）具体化为：,（2）斜坡函数,r,(,t,)=,Vt,，,因为 ,这时系统的分区域方程为：,7.4.2 斜坡函数,区域2的奇点为(,V/Kk,，0),当4,KTk,1,时是稳定焦点，当4,KTk,1,时是稳定节点。,固定,T,=1，,K,=4，,k,=1，g=0.2,具体化为：,接下来研究相轨迹与参数的关系，分三种情况来分析：,情况一：,V,Kkg,(0.8),比如取,V,=1.2，,这时区域2的相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）,但（0.3，0）不在区域2范围内，故称为之,虚焦点,。绘出系统的相轨迹场如图7-9（,b）,显然，每一条相轨迹的座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。,情况二：,V,a,时，饱和特性输出,x(t,),为,式中，,由于输出波形为奇函数，,A,1,0,饱和特性描述函数求得如下：,3,）继电特性：,图7-13 求继电特性的描述函数,考虑图,7-13（,a）,带滞环的继电特性，当输入为,时，输出,y,(,t,),如图,7-13（,b）,所示，并且,4),间隙特性：,当输入,时,，,由间隙的数学描述可知，间隙输出,x(t,),为,X(t,)=,式中,B,1,于是，可求得间隙的描述函数,N,（,A,）,为,5,）一般非线性,：,描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:,因为它是单值、奇对称的，先求出,y,(,t,),：,所以,概括起来，,求描述函数的过程,是：先根据已知的输入,x,(,t,)=,X,sin,t,和非线性特性,y,=,f,(,x,),求出输出,然后由积分式求出 ，求出,N,(,X,),。主要工作量和技巧主要在积分。,此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出,。,系统开环部分可分离为：,非线性环节,N(A),线性部分,G(s),假定：,非线性环节非线性，即不是时间的函数；,非线性环节特性是斜对称的；,系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。,类似传递函数,谐波线性化方法,非线性系统的频率特性法,7.,6,分析,非线性系统的谐波平衡分析法,1),非线性闭环系统的稳定性,(,乃奎斯特判据,),若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是,G(j,),轨迹不包围,G,平面的,(-1,j0),。,负倒描述函数（描述函数负倒特性,),线性系统：,(-1,j0),?,将判断线性系统稳定的结论推广到,N,(,A,),为非线性函数的情况。因为,X,连续变化时,N,(,A,),是复平面上的一根曲线，所以,闭环系统是否稳定,取决于曲线,G,(,j,),是否包围,1,N,(,A,),曲线。具体讲就是,(P310),：,1),、在复平面上，如果曲线,G,(,j,),不包围1,N,(,A,),曲线，那么闭环系统稳定；,2),、如果,G,(,j,),曲线包围1,N,(,A,),曲线，那么闭环系统不稳定；,3),、如果曲线,G,(,j,),与曲线1,N,(,A,),相交，那么闭环系统出现,自振荡,（,极限环,）。,图示：,G(j,),与负倒描述函数相交,闭环系统出现自持振荡,(,极限环振荡,),稳定？不稳定？,振幅（,A,）？,频率,(,),？,设：系统开环的线性部分,G(j,),稳定,G(j,),不包围负倒描述函数,闭环系统稳定,G(j,),包围负倒描述函数,闭环系统不稳定,2）极限环的稳定性,正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见图7-16,:,7-16 极限环的稳定性,图中,A、B,两点都出现极限环，先看,A,点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到,D，D,点不被,G,(,j,),曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到,C，C,点被,G,(,j,),曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、,B；,可见,A,点属不稳定极限环。,再看,B,点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到,F，F,点被 曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大后又回到,B,电；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到,E，E,点不被 曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减小，减小后又回到,B,电；可见,A,点属稳定极限环。,返回,7.,7,基于,SIMULINK,的非线性系统分析,SIMULINK,对于非线性系统的分析与设计是很有用的，,SIMULINK,提供了死区、饱和、继电等多种非线性模块，也能构成很复杂的非线性函数。,注：本节内容将上机操作练习！,考虑图7-17所示非线性系统，,图7-17 非线性系统,先考虑非线性环节为死区特性，用,SIMULINK,构成彷真模型如图7-18。,图7-18,SIMULINK,仿真模型,在,Matlab6.5,的,MATLAB,窗中双击,SIMULINK,图标就打开,Simulink,Library Browser,窗，在此窗口进入,FileNewModel，,就会打开一个,untitled,窗(可以用,Save as,保存此窗口并改名)。,在,Simulink,library Browser,窗口下有,DISCONTINUTIES、MATH OPERATIONS、SINK、SOURC,等子目录，每个子目录下都包含若干可利用的模块，可直接拖到,untitled,窗口。图7-18中，积分环节(,Integrator)、,死区特性(,Dead Zone),来自,SIMULINKDISCONTINUTIES，,求和、增益(,Gain)、,乘积(,Dot Product),来自,SIMULINKMATH OPERATIONS，XY Graph,来自,SIMULINKSINK，,阶跃函数来自,SIMULINKSOURCE。,在,SIMULATION SIMULATION PARAMETERSSOLVER,中设置,SolverType,为,Fixed Step，Solver(,步长)为0.05，,Stop Time,为,50,。运行,SIMULATIONSTART，,绘出的相轨迹如图,7-19（,a）。,可以看到由于死区的存在,稳态误差不为0。,在,XY Graph,上绘出相轨迹，关键是得到,x,和信号,图7-18中它们分别来自,Integrator2,的输出和输入。双击某一个模块，就会出现该模块的设置窗口，我们设置,:,Integrator1,的初始条件为1（相当于,),Integrator2,的初始条件为0（相当于 ），阶跃函数的幅值为0,(,相当于输入为0,),死区特性的死区为-0.3，0.3。,图7-19,SIMULINK,绘出的相轨迹图,然后，我们将非线性模块依次换为饱和特性、继电特性和带滞环的继电特性.图7-18（,b）,是饱和特性对应的相轨迹，饱和特性的线性区为-0.5，0.5。图7-18（,c）,是继电特性对应的相轨迹，这个继电特性没有滞环。图7-18（,d）,是带滞环的继电特性对应的相轨迹，滞环宽度为-0.1，0.1。图7-18（,c）（d）,都出现了极限环。,如果要将生成的相轨迹图保存为图形文件，可执行下列程序：,subplot(1,1,1),plot(xout(:,1),xout(:,2),grid on,axis(-1,1,-1,1),xlabel(X),ylabel(dX,),执行后进入,FileExport，,即可保存为一定格式的图形文件。,注：例,7-10-1,、,7-10-2,上机操作。,小 结,本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主要包括,相平面法,和,描述函数法,。本章的内容还揭示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性系统存在,全局稳定,和,局部稳定,问题，非线性系统的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定,极限环,等，这些在线性系统中是不会出现的。,返回,P,326,:,7,-,Homework,Thanks for Attention,！,