高中全程复习方略配套课件：7.7空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理.ppt

第七节 空间直角坐标系、向量的坐标,表示和空间向量基本定理,三年4考,高考指数:,1.,了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式,.,2.,了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,.,3.,掌握空间向量线性运算的坐标表示,.,4.,掌握空间向量数量积的坐标表示,.,1.,空间直角坐标系是用向量法解决立体几何问题的基础,属了解内容,一般不单独命题,.,2.,空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹角、距离问题的基础,.,3.,通过求空间点的坐标考查空间想象能力,通过求两点间距离考查计算能力,.,4.,空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择题或填空题为主,.,1.,空间直角坐标系,(1),空间直角坐标系的建立,(,如图,),(),坐标系为,_,系,;,右手,(),指,_,记为,_;,(),指,_,轴,指,_,轴,指,_,轴,;,(),和,和,和确定的平面分别指,_,平面,_,平面,_,平面,.,(2),空间直角坐标系中的点的坐标表示,类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示,在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置,任意一点,P,的坐标记,为,_.,原点,O,x,y,z,xOy,yOz,xOz,(,x,y,z,),【,即时应用,】,(1),思考,:,空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？,提示：,三个坐标平面把空间分为八部分,.,(2)xOz,平面内点的坐标的特点是,_.,【,解析,】,点在,xOz,平面内,故点在,y,轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为,0,横坐标、竖不确定,.,答案：,纵坐标为,0,(3),在空间直角坐标系中，点,M(-5,3,1),关于,x,轴的对称点坐标为,_.,【,解析,】,关于,x,轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数,.,答案：,(-5,-3,-1),2.,空间两点间的距离公式,(1),如果长方体的长、宽、高分别为,a,、,b,、,c,，那么对角线长,d=_.,(2),空间两点,A(x,1,y,1,z,1,),、,B(x,2,y,2,z,2,),间的距离,|AB|=_.,【,即时应用,】,(1),思考,:,在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢,?,提示：,是以定点为球心，以定长为半径的球面,.,(2),已知空间两点,A(2,0,4),B(-6,2,-2),，则线段,AB,的中点到原点的距离为,_.,【,解析,】,由中点坐标公式可得线段,AB,的中点为,(-2,1,1),故到原点的距离为,答案：,(3),已知点,P(1,1,1),其关于,xOz,平面的对称点为,P,，则,=_.,【,解析,】,由题意得,P(1,，,-1,，,1),答案：,2,3.,空间向量的标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理,(1),在给定的空间直角坐标系中，,i,j,k,分别为,x,轴,y,轴,z,轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量,a,存在唯一一组三元有序实数,(,x,y,z,),，使得,a,=_.,把,_,叫作,a,的标准正交分解，把,_,叫作标准正交基,._,叫作空间向量,a,的坐标，记作,a,=(,x,y,z,)._,叫作向量,a,的坐标表示,.,x,i,+y,j,+z,k,a,=,x,i,+y,j,+z,k,i,j,k,(,x,y,z,),a,=(,x,y,z,),(2),若,b,0,为,b,的单位向量，称,_,为向量,a,在向量,b,上的投影,.,向量的坐标等于它在,_,上的投影,.,(3),空间向量基本定理,如果向量,e,1,e,2,e,3,是空间三个,_,的向量，,a,是空间任一向量，那么存在唯一一组实数,1,2,3,，使得,a,=,1,e,1,+,2,e,2,+,3,e,3,.,空间中不共面的三个向量,e,1,e,2,e,3,叫作这个空间的一个,_.,a,b,0,=|,a,|cos,a,b,坐标轴正方向,不共面,基底,【,即时应用,】,(1),思考,:,空间中的任意三个向量都可以作为空间向量的一个基,底吗？,提示：,不可以,.,只有当三个向量不共面时才可以,.,(2),已知,a,=(2,，,-1,3),，,b,(-1,4,，,-2),，,c,(7,5,，,),，若,a,b,c,三个向量共面，则实数,=_,【,解析,】,由于,a,b,c,三向量共面，所以存在实数,m,n,使得,c,=,m,a,+n,b,，即,解得,答案：,(3),已知向量,a,b,c,是空间的一个单位正交基底，向量,a,+,b,a,-,b,c,是空间的另一组基底，若向量,p,在基向量,a,+,b,a,-,b,c,下的,坐标为 则向量,p,在基底,a,b,c,下的坐标为,_,【,解析,】,由条件得,p,=(,a,+,b,)-(,a,-,b,)+3,c,=,a,+2,b,+3,c,，故向量,p,在基底,a,b,c,下的坐标为,(1,2,3),答案：,(1,2,3),4.,空间向量运算的坐标表示,设,a,=(x,1,y,1,z,1,),b,=(x,2,y,2,z,2,).,(1),a,+,b,=_;,(2),a,-,b,=_;,(3),a,=_(,R,);,(4),a,b,=_;,(5)|,a,|=_=_;,(x,1,+x,2,y,1,+y,2,z,1,+z,2,),(x,1,-x,2,y,1,-y,2,z,1,-z,2,),(x,1,y,1,z,1,),x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,(6)cos,a,b,=_;,(7),a,b,(,b,0,)_,_;,(8),a,b,_.,a,=,b,a,b,=0,x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,=0,【,即时应用,】,(1),已知空间三点,A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),，则,的夹角,的大小是,_,(2),已知,a,=(1-t,1-t,t),b,=(2,t,t),，则,b,-,a,的最小值为,_.,(3),已知,a,=(+1,0,2),b,=(6,2-1,2),，若,a,b,，则,=_,(4),已知向量,a,=(1,1,0),，,b,=(-1,0,2),且,k,a,+,b,与,2,a,-,b,互相垂直，则,k=_.,【,解析,】,(1),由题意知,=(-2,-1,3),，,=(-1,3,-2),，故,所以,=,(2),由题意得：,b,-,a,=(1+t,2t-1,0),，,b,-,a,=,当,t=,时，,b,-,a,取得最小值为,.,(3),由,a,b,得,a,=k,b,，从而得 解得,=k=,=,故,=,(4),由题意得，,k,a,+,b,=(k-1,k,2),2,a,-,b,=(3,2,，,-2),所以,(k,a,+,b,),(2,a,-,b,)=3(k-1)+2k-2,2=5k-7=0,，解得,k=,答案：,求空间相关点的坐标,【,方法点睛,】,1.,建立恰当坐标系的原则,(1),合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；,(2),尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上,.,2.,求空间中点,P,的坐标的方法,(1),过点,P,作与,x,轴垂直的平面，垂足在,x,轴上对应的数即为点,P,的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标,.,(2),从点,P,向三个坐标平面作垂线，所得点,P,到三个平面的距离等于点,P,的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点,P,的坐标,.,3.,空间直角坐标系中点的对称规律,已知点,P(x,y,z,),，则点,P,关于点、线、面的对称点坐标为：,点线面,对称点坐标,原点,(-,x,-y,-z,),x,轴,(,x,-y,-z,),y,轴,(-,x,y,-z,),z,轴,(-,x,-y,z,),xOy,平面,(,x,y,-z,),yOz,平面,(-,x,y,z,),xOz,平面,(,x,-y,z,),【,例,1】(1),空间直角坐标系中,点,P(2,3,4),在,x,轴上的射影的坐标为,_.,(2),已知正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的各棱长均为,2,，以,A,为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标,.,(3),如图,已知长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点,A(-2,-3,-1),，求其他七个顶点的坐标,.,【,解题指南,】,(1),空间直角坐标系中,点在,x,轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零,.(2),注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小,.(3),由题意知，长方体的各顶点关于原点,O,和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标,.,【,规范解答,】,(1),点,P(2,3,4),在,x,轴上的射影的横坐标与点,P,相同,纵坐标、竖坐标均为,0.,故射影坐标为,(2,0,0).,答案：,(2,0,0),(2),以,A,点为坐标原点，,AC,、,AA,1,所在,直线分别为,y,轴、,z,轴建立空间直角,坐标系，如图所示,.,设,AC,的中点是,D,，连接,BD,，则,BDy,轴，,且,BD=,，,A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),，,A,1,(0,0,2),B,1,(,1,2),C,1,(0,2,2).,(3),由题意得，点,B,与点,A,关于,xOz,面对称，故点,B,的坐标为,(-2,3,-1),；点,D,与点,A,关于,yOz,面对称，故点,D,的坐标为,(2,-3,-1);,点,C,与点,A,关于,z,轴对称，故点,C,的坐标为,(2,3,-1),；由于点,A,1,B,1,C,1,D,1,分别与点,A,B,C,D,关于,xOy,面对称，故点,A,1,B,1,C,1,D,1,的坐标分别为,A,1,(-2,-3,1),B,1,(-2,3,1),C,1,(2,3,1),D,1,(2,-3,1).,【,互动探究,】,本例,(2),中若以,AC,的中点,D,为坐标原点，以,DB,DC,所在直线分别为,x,轴、,y,轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标,.,【,解析,】,建立空间直角坐标系,如图所示，则,A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),，,A,1,(0,-1,2),B,1,(,0,2),C,1,(0,1,2).,【,反思,感悟,】,1.,建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用,.,2.,对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便起见常将尽量多的点落在坐标轴上,.,3.,求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律,4.,记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键,.,【,变式备选,】,已知正四棱锥,V-ABCD,，,O,为底面中心，若,AB=2,VO=3.,试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标,.,【,解析,】,方法一：正四棱锥,V-ABCD,，,O,为底面中心，,四边形,ABCD,为正方形，,ACBD,且,VO,底面,ABCD,以射线,CA,为,x,轴的正方向，射线,DB,为,y,轴的正方向，,O,为坐标原点，建立空间直角坐标系，,射线,OV,即为,z,轴的正方向,AB=2,VO=3,AC=BD=2 ,于是,A(,0,0),B(0,0),C(-,0,0),D(0,-,0),V(0,0,3).,方法二：分别以射线,DA,DC,为,x,轴和,y,轴的正方向，,D,为原点建立空间直角坐标系，,射线,OV,的方向即为,z,轴的,正方向,AB,2,，,VO,3,AD=CD=2,AC=BD=2 ,于是,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D(0,0,0),V(1,1,3).,空间两点间的距离,【,方法点睛,】,1.,求空间两点间距离的步骤,(1),建立坐标系，写出相关点的坐标；,(2),利用公式求出两点间的距离,.,2.,两点间距离公式的应用,(1),求两点间的距离或线段的长度；,(2),已知两点间距离，确定坐标中参数的值；,(3),根据已知条件探求满足条件的点的存在性,.,【,例,2】(1),已知点,B,是点,A(3,7,-4),在,xOz,平面上的射影，则,|OB|,等于,(),(A)(9,0,16)(B)25 (C)5 (D)13,(2),如图所示，以棱长为,a,的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点,P,在正方体的体对角线,AB,上，点,Q,在棱,CD,上当点,P,为对角线,AB,的中点，点,Q,在棱,CD,上运动时，探究,|PQ|,的最小值,.,【,解题指南,】,(1),根据空间点在,xOz,平面上的射影的特点及距离公式求解,.(2),确定点,P,、,Q,的坐标，利用两点间的距离公式得到,|PQ|,，然后利用函数知识解决,.,【,规范解答,】,(1),选,C.,由题意得点,B,的坐标为,(3,0,-4),故,(2),因为,B(0,0,a),A(a,a,0),，,P,为,AB,的中点,所以,P().,又点,Q,在棱,CD,上运动，所以可设,Q(0,a,z,0,),，,其中,z,0,0,a,，,故,因此当 时，,|PQ|,的最小值为,a.,【,互动探究,】,本例,(2),中,若将,“,点,P,为对角线,AB,的中点,”,改为,“,当点,P,在对角线,AB,上运动时,”,其余条件不变,则结果如何,?,【,解析,】,显然，当点,P,在,AB,上运动时，点,P,到坐标平面,xOz,、,yOz,的距离相等，且,P,在第一象限，所以可设,P(t,t,a-t),t,0,a,，,又,Q,在,CD,上运动，,所以可设,Q(0,a,z,0,),，,z,0,0,a,.,所以,|PQ|=,故当,z,0,=t=,时，,|PQ|,有最小值为,a.,【,反思,感悟,】,1.,解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错,.,2.,利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决,.,【,变式备选,】,1.,已知点,A(1,，,a,，,-5),、,B(2a,，,7,，,2),(a,R,),，则,AB,的最小值是,(),(A)3 (B)3 (C)2 (D)2,【,解析,】,选,B.,|AB|,当,a=-1,时,|AB|,取最小值,3 .,2.,在,xOy,平面内的直线,x+y,=1,上确定一点,M,，使,M,到点,N(6,5,1),的距离最小，则此最小距离为,_.,【,解析,】,由已知，可设,M(x,1-x,0),则,|MN|=,|,MN|,min,=.,答案：,空间向量的坐标运算,【,方法点睛,】,1.,求空间向量数量积的方法,(1),定义法：设向量,a,b,的夹角为,，则,a,b,=,a,b,cos,；,(2),坐标法：设,a,=(x,1,y,1,z,1,),b,=(x,2,y,2,z,2,),，则,a,b,=x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,解题时可根据条件灵活选择方法,2.,求向量模的方法,(1)|,a,|=;,(2),若,a,=(,x,y,z,),则,|,a,|=,【,例,3】,已知向量,a,=(1,-3,2),b,=(-2,1,1),点,A(-3,，,-1,，,4),，,B(-2,，,-2,，,2).,(1),求,|2,a,+,b,|.,(2),在直线,AB,上，是否存在一点,E,，使得,(O,为原点,).,【,解题指南,】,(1),若,m,=(,x,y,z,),则,|,m,|=,(2),假设存在点,E,在直线,AB,上，可由 设出点,E,的坐标，由,列方程求解,.,【,规范解答,】,(1),a,=(1,-3,2),b,=(-2,1,1),，,2,a,+,b,=(0,-5,5),，,|2,a,+,b,|=,(2),假设存在点,E,，其坐标为,E(x,y,z,),则存在实数,，使得,即,(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2),E(-3,-1,-2+4),，,=(-3,-1,-2+4),，,又,b,=(-2,1,1),b,，,b,=-2(-3)+(-1)+(-2+4),=-5+9=0,，,=,，,E,，,在直线,AB,上存在点,E,，使,b,.,【,反思,感悟,】,1.,类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系,从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直,角坐标系中,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),线段,AB,中点的坐标为,其两点间的距离公式为 而在,空间直角坐标系中,A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),线段,AB,中点的坐,标为 其两点间的距离公式为,在平面直角坐标系中，,方程,x,2,+y,2,=1,表示以原点为圆心,1,为半径的圆，而在空间直角坐,标系中，方程,x,2,+y,2,+z,2,=1,表示以原点为球心，,1,为半径的球面等,.,2.,类比平面向量及其运算性质学习空间向量及其运算性质,空间向量基本定理，向量的加、减运算及数乘运算，两向量的数量积的定义及运算性质和向量的坐标运算，都和平面向量中的相关内容完全一致,.,有区别的是两个基本定理中构成基底的向量及向量的坐标由二维扩展到三维,.,【,变式训练,】,已知空间三点,A(0,，,2,，,3),，,B(-2,，,1,，,6),，,C(1,，,-1,，,5).,(1),求以 为边的平行四边形的面积；,(2),若,|,a,|=,，且,a,分别与,垂直，求向量,a,的坐标,.,【,解析,】,(1),由题意可得：,=(-2,，,-1,，,3),，,=(1,，,-3,，,2),，,以,为边的平行四边形的面积,(2),设,a,=(x,，,y,，,z),，,由题意得 解得 或,向量,a,的坐标为,(1,1,1),或,(-1,-1,-1).,【,易错误区,】,求点的坐标时忽略解的讨论而致误,【,典例,】(2012,临沂模拟,),已知点,P,在,z,轴上，且满足,|OP|=1(O,为坐标原点,),，则点,P,到点,A(1,1,1),的距离为,_.,【,解题指南,】,先确定点,P,的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可,.,【,规范解答,】,设点,P,的坐标为,(0,0,z),，,由,|OP|=1,得,=|z|=1,，故,z=,1.,当,z=1,时，点,P,的坐标为,(0,0,1),当,z=-1,时，点,P,的坐标为,(0,0,-1),答案：,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,误,区,警,示,在解答本题时有两点容易造成失误：,(1),忽视对点,P,坐标的讨论而丢失一个解；,(2),不能分析点,P,的特点，导致引入的参数较多而无法解题,备,考,建,议,本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当地建立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如何利用两点间的距离公式解决有关问题,.,1.(2012,合肥模拟,),已知点,A(-3,0,-4),，点,A,关于原点的对称点,为,B,，则,|AB|,等于,(),(A)12 (B)9 (C)25 (D)10,【,解析,】,选,D.,由题意知点,B,的坐标为,(3,0,4),故,2.(2012,东莞模拟,),在坐标平面,xOy,上，到点,A(3,2,5),，,B(3,5,1),距离相等的点有,(),(A)1,个,(B)2,个,(C),不存在,(D),无数个,【,解析,】,选,D.,在坐标平面,xOy,内，可设点,P(x,y,0),，,由题意得,解得,y=-,x,R,.,所以符合条件的点有无数个,.,3.(2012,昆明模拟,),空间直角坐标系中,设,A(1,2,a),B(2,3,4),若 则实数,a,的值是,(),(A)3,或,5 (B)-3,或,-5,(C)3,或,-5 (D)-3,或,5,【,解析,】,选,A.,由题意,根据空间两点间的距离公式得,两边平方得,1+1+(4-a),2,=3,化简得,(4-a),2,=1,4-a=,1,解得,a=3,或,5.,4.(2012,上海模拟,),在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分别为棱,AA,1,和,BB,1,的中点，则 的值为,(),【,解析,】,选,B,设正方体的棱长为,2,，以,D,为原,点建立如图所示空,间坐标系，则,5.(2012,赣州模拟,),已知点,A(1,2,1),、,B(-1,3,4),、,D(1,1,1),若 则,|,的值是,_.,【,解析,】,设,P(x,y,z,),则,=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-,y,4-z),由 故,P(),由两点间,距离公式可得,答案：,