第9次课(2.2唯一性定理2.3拉普拉斯方程,分离变量法).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.2,唯一性定理,Uniqueness Theorem,学习“唯一性定理”的重要性,静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知,.,现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知的,此时就不能利用库仑定律,例如 半径为,R,0,的导体球置于均匀外电场,E,0,中。,但具有一定的边界条件,利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题,.,边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的、正确的,?,只有唯一性定理才能对此做出明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因,.,对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。,静电势的微分方程,边值关系,复习上一节课的内容,导体表面上的边值关系,唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论,.,1),绝缘介质静电问题的唯一性定理,在有限的边界区域,V,内有几种均匀的绝缘介质,V,i,、,i,(,i,=1,、,2,、,3),，,V,中的自由电荷分布,(,或,),为已知，那么，当,V,的边界面,S,上的电势 给定,(,或电势的法向导数边界条件,),，则,V,内的电场有唯一确定的解。,数学表述如下,:,(,在每个小区,V,i,),(,在整个区域,V,的边界面,S,上给定,按约定,边界面法线 指向,V,外,),(,在两种绝缘介质的分界面上,),分界面法向单位矢量,由,指向,),或,以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称为定解问题,.,唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域,V,中静电场分布的唯一解,.,它在每一个均匀小区内满足泊松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个区域,V,的边界面上满足给定的边界条件,或,以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形,.,如果区域内有导体存在,情况会有不同,因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的,因而无法预先得知,.,在这种情况下,必须对导体附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确定,这正是我们下面要讨论的,.,2,）有导体存在的情况,设区域,V,中有若干导体，其余部分都是一种均匀介质,将扣除导体后的区域称为,V,，,V,的边界应包括两部分,:,V,的表面,S(,或,V,的外边界,),，每个导体的表面,S,i,(,或,V,的内边界,).,此时，要唯一地确定,V,内的电场，除了前面提到的关于绝缘介质的边界条件外，还须对导体附加一定的条件。附加的条件有两种类型,一种是给定每个导体的电势,i,另一种是给定每个导体所带的总电量,Q,i,两种类型分别表述如下,:,a,）,区,域,V,内有若干导体，设除导体外的区域,V,内的自由电荷分布,已知，,V,的外表面,S,上有已知的,值或,值，此外，若每个导体表面的电势,i,也已知，则区域,V,内的电场有唯一解。,数学表示为,:,(,在,V,内,),(,已知,),(,已知,),或,b,）区域,V,内有若干导体,假设除导体以外的区域,V,内的自由电荷分布,已知，,V,的外表面,S,上有已知的,值或 值，此外，若每个导体所带的总电量,Q,i,为已知，则区域,V,内的电场有唯一解。,数学表示为,:,(,在,V,内,),(,已知,),(,已知,),（待定）,或,满足以上定解问题的电场分布就是唯一解。,最后需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体方法与步骤,但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义,.,首先,它明确了,在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场,即给出了求解静电场的依据,;,其次,它使我们可以灵活地选用,最简单、最合适的解题方法,甚至可以猜一个解,(,即提出尝试解,).,只要这个解确实满足了问题中的场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就可以肯定地说,它就是该问题中的唯一正确的解,.,例题,1(P,62,），两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为,1,，,右半部电容率为,2,，,设内球壳,半径为,a,，,带总电荷,Q,，,外球壳接地，,半径为,b,。,求电场和球壳上的电荷分布。,b,a,S,1,S,2,解,:,设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 和,如果我们假设,E,仍保持球对称性，即,此时边值关系得到满足。,由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系,b,a,S,1,S,2,内导体球面,S,1,上的积分,将电场值代入得,解出,则,此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解,b,a,S,1,S,2,注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但,E,却保持球对称性。,则,则球面上的电荷面密度为,虽然,E,仍保持球对称性，但是,D,和导体面上的电荷面密度,不具有球对称性。,2.3,拉普拉斯方程，分离变量法,Laplaces equation,method of separate variation,基本问题：电场由电势描述,电势满足泊松方程,+,边界条件,只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法,本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法,具体的工作：解泊松方程,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的,例如,电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的,电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的,这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布,选择导体表面作为区域,V,的边界，,V,内部自由电荷密度,0,，,泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程,它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为,因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。,利用边界条件定解,说明两点：,第一，如果考虑问题中有,i,个区域（均匀分布），必须有,i,个相应的,Laplaces equation.,第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：,边界条件：,及导体的总电荷,3,、,举例说明定特解的方法,例,3 P51,半径为,R,0,的导体球置于均匀外电场,E,0,中，求电势和导体上的电荷面密度。,例,1 P,48,一个内径和外径分别为,R,2,和,R,3,的导体球壳，带电荷为,Q,。,同心地包围着一个半径为,R,1,的导体球（,R,1,R,2,),，,使半径,R,1,的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。,Q,R,1,R,2,R,3,Q,R,1,R,2,R,3,Q,R,1,R,2,R,3,令,因此得到：,导体球上的感应电荷为,Q,R,1,R,2,R,3,z,R,例,2 P,49,介电常数为,的均匀介质球，半径为,R,，,被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。,Solution:,第一步：,根据题意，,找出定解条件。,由于这个问题具有轴对称性，取极轴,z,沿外电场,方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足,Laplaces equation,。,以 代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故,第二步：,根据定解条件确定通解和待定常数,由（,2,）式得,比较两边系数，得,由（,6,）式得,从中可见,故有：,再由 得,:,比较 的系数，得,由此得到电势为,由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造成的。,在球内总电场作用下，介质球的极化强度,为,介质球的总电偶极矩为,总结本节课的内容,1,、绝缘介质静电问题的唯一性定理,数学表述如下,:,(,在每个小区,V,i,),(,在整个区域,V,的边界面,S,上给定,按约定,边界面法线 指向,V,外,),(,在两种绝缘介质的分界面上,),分界面法向单位矢量,由,指向,),或,惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域,V,中静电场分布的惟一解,.,2,、有导体存在的唯一性定理,b,）,数学表示为,:,(,在,V,内,),(,已知,),(,已知,),（待定）,或,a,）,数学表示为,:,(,在,V,内,),(,已知,),(,已知,),或,第一步：分析题意，找出定解条件。,第二步：写出通解,分离变量法基本步骤：,第三步：根据定解条件确定待定常数,作业：课本,P,70,习题,2,自学内容,1.,绝缘介质静电问题的唯一性定理的证明,为了说理清楚，将证明分解成几步，首先证明区域,V,中只有一种均匀介质的情况，然后再把它推广到多种介质分区分布的情形。,a),区域,V,中只有一种均匀介质的情形,利用反证法证明,:,假设区域,V,中存在两个不同的解,和,它们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明,它们只能是同一个解,.,引入标量函数,令,=,-,在区域边界面,S,上,(,给定第一类边界条件,),(,给定第二类边界条件,),或,下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的,和,顶多只能差一个常数,.,利用矢量的微分运算公式,:,等式两端对,V,作体积分,式中,在边界面,S,上,无论,还是 ，都使,注意到,为非负数,欲使上式成立,只有,即,=C,或,-,=,C,，以上说明,和,顶多差一个常数,而电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了,和,在物理上是同一个解,于是,唯一性定理得证,.,b),区域,V,中有两种各自均匀的介质,1,和,2,的情形,令,1,=,1,-,1,分别对应,V,1,区和,V,2,区,下面将证明,每一个区域的解都是唯一的,.,对,V,1,区,设有两个解,1,、,1,都满足,V,1,区的场方程和边界条件,在,V,1,区的外边界,1,上,或,给定第二类边界条件,给定第一类边界条件,约定,为,V,1,区边界的法向单位矢量,指向,V,1,外部,;,令,2,=,2,-,2,同理对,V,2,区,设有两个解,2,、,2,都满足,V,2,区的场方程和边界条件,在,V,2,区的外边界,2,上,给定第一类边界条件,或,给定第二类边界条件,约定,为,V,2,区边界的法向单位矢量,指向,V,2,外部,;,而在,V,1,和,V,2,区的公共界面,(,即内边界,),上,由电势的边值关系,两式左右分别相减,得,1,=,2,又 两式左右相减，得：,为内边界上的法向单位矢,按约定由介质,1,指向介质,2,下面我们要证明,1,和,1,2,和,2,顶多都只能差一个常数,先看,V,1,区,利用微分恒等式,等式两端对,V,1,作体积分,式中,由高斯公式,其中,S,1,为,V,1,的边界面,它由外边界,1,和内边界两部分组成,即,外边界,1,内边界,由前所述,外边界,1,上的面积分为零,同理,对区域,V,2,重复以上过程,可得到,内边界,内边界,内边界,内边界,内边界,内边界,两式分别相加得,内边界,内边界,由电势的边值关系,在内边界上,欲使上式成立,只有,即,1,和,1,2,和,2,顶多差一个常数,这说明,在每一个均匀小区内的电场分布都是唯一的,.,c,）以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况,此时,其中,用类似的方法可以证明,:,从而区域,V,中各处的电场分布一定是唯一的,.,这样,关于绝缘介质静电问题的唯一性定理得到了证明,.,以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形,.,如果区域内有导体存在,情况会有不同,因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的,因而无法预先得知,.,在这种情况下,必须对导体附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确定,这正是我们下面要讨论的。,2.,导体存在的唯一性定理的证明,这种类型的唯一性定理和前面关于绝缘介质的唯一性定理的证明过程完全相同,(,只不过这里只有一种介质,),，区别仅在于这里,V,的边界面有两个,(,外表面,S,和内表面,S,i,),，只要导体表面的电势给定,则,V,的所有内、外表面上都有一定的,值或 值，应用关于绝缘介质的唯一性定理，则,V,内的电场必有唯一解,.,对于类型,(,),，定解条件为,:,(,在,V,内,),(,已知,),(,已知,),或,为了证明类型,(),，我们把导体上电量已知的条件用电势的法向导数来表示,即,上式中，约定每个导体表面的法向单位矢量 指向导体外部。,证明,设区域,V,中有两个解,和,同时满足以上方程和定解条件,令,=,-,或,(,说明,:,导体电势并未给定,和,可以不为零,),令,V,的边界面为,S,，,S,包括,V,的外表面,S,和所有导体的表面,S,i,式中,同样利用矢量的微分运算公式,:,等式两端对,V,作体积分,考虑上式左端,按约定,在,S,面上,为,S,面上指向介质外部的单位法向量,在,S,i,面上,为,S,i,面上指向介质外的单位法向量,(,注意在这里,恰恰是指向导体内部）,式中右端第一项,即,-,=,常数,和,顶多差一常数，,说明,V,中电场有唯一解。这样，有导体存在时静电问题的唯一性定理也得到证明。,