曲线曲面积分-习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,单击此处编辑母版标题样式,曲线积分,柱面面积,1.,两类曲线积分的联系,2.,二重积分与曲线积分的关系,格林公式,与路径无关的四个等价命题,条件,等,价,命,题,补充：全微分,方程及其求法,1.,定义,:,则,若有全微分形式,例如,全微分方程,或恰当方程,所以是全微分方程,.,2.,解法,:,应用曲线积分与路径无关,.,通解为,用直接凑,全微分的方法,.,全微分方程,不定积分法,.,解,是全微分方程,原方程的通解为,例,1,曲线积分法,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例,2,凑微分法,另解,是全微分方程,原方程的通解为,例,2,又,即,不定积分法,二、积分因子,法*,定义,:,问题,:,如何求方程的积分因子,?,1.,公式法,:,求解不容易,特殊地,:,2.,观察法,:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例,3,则原方程为,原方程的通解为,(,公式法,),可积组合法,解,将方程左端重新组合,有,例,4,求微分方程,原方程的通解为,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例,5,求微分方程,解,1,整理得,A,常数变易法,:,B,公式法,:,例,6,解,2,整理得,A,用曲线积分,法,:,B,凑微分法,:,C,不定积分,法,:,原方程的通解为,练 习 题,练习题答案,2002,研究生考题,(,数学一,)8,分,内具有一阶连续导数,L,是上半平面,(,y,0),内的有向分段光滑曲线,其起点为,(,a,b,),终点为,(,c,d,).,记,(1),证明,曲线积分,I,与路径,L,无关,;,(2),当,ab,=,cd,时,求,I,的值,.,练习,证,因为,所以在上半平面内,曲线积分,I,与路径,L,无关,.,(1),解,(2),由于,曲线积分,I,与路径,L,无关,L,是上半平面,(,y,0),内的有向分段光滑曲线,起点,(,a,b,),终点,(,c,d,).,所以,(2),当,ab,=,cd,时,求,I,的值,.,法一,解,(2),L,是上半平面,(,y,0),内的有向分段光滑曲线,起点,(,a,b,),终点,(,c,d,).,(2),当,ab,=,cd,时,求,I,的值,.,法二,设,F,(,x,),为,f,(,x,),的一个原函数,则,由此得,练习,当 时，被积函数小于,0,，故当,时，此二重积分将达到最大值。也就是说当 是 的正向边界时,将取得大值。,第,一类曲面积分,2,、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算,.,1,、对面积的曲面积分的概念,;,（一投！二代！三换！）,则,补充：,参数,方程曲面上的第一类曲面积分计算法,则,例,4,解,由轮换对称性，,再由对称性，,o,y,x,y=a-x,D,xy,a,例,解,积分曲面方程,轮换,对称,提示,即三个变量轮换位置方程不变.,具有,轮换对称性,中的变量,x,、,y,、,z,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义,.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数,.,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,因为若,为直线上的区间,a,b,则,故,是,若,是平面区域,G,则,故,是,若,是空间区域,则,故,是,若,为平面,(,空间,),曲线,L,则,部分和式的极限为曲线积分,是,若,为曲面,则上述部分和式的极限就是,曲面积分,其中,是球面,解,的方程,方程是,:,方程是,:,投影域,记,上半球面,为,下半球面,为,不是单值的,.,计算曲面积分,的值,.,练习,对,上半球,得,对,下半球,是球面,所以,极坐标,计算,其中,为球面,之位于平面,曲面,的方程,在,xOy,面上的,投影域,解,练习,上方的部分,.,因曲面,于是,x,3,是,x,的奇函数，,x,2,y,是,y,的奇函数,.,关于,yOz,面及,xOz,面对称,;,1995,年研究生考题,计算,6,分,解,积分曲面,在,xOy,面上的,投影域,练习,积分曲面,练 习 题,练习题答案,