第6章热传导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 六 章,热 传 导,1,传热方式：导热、对流换热和辐射传热三种。,传热机理：,热传导,由组成物体的各种微观粒子的热运动,引起的传热；,热辐射,由物体内微观粒子的热运动而向周围,介质发射的电磁波,引起的传热。,导热和对流换热,在现象上有很大的差异，,在研究的方法上有相通的地方：,.,附加材料,附加材料,10-,导热和对流,.,ppt,2,自然界的基本定律,（能量守恒、质量守恒等）,现象的特征（物理规律）,+,微分或积分方程,数学物理方程,泛定方程,反映同一类现象的共同规律,所研究的特殊问题的解,单值性条件,：,几何条件、物理条件、,初始条件、边界条件等,定解问题,给出解决问,题的依据,提出具体问题：对象与,外界的作用情况及时间特性等。,定解问题的解与许多,单值性条件的参数有,关，引进量纲为,1,的,参数，减少变量的数,目，使求解过程简化。,当地（局部）热力学平衡的假设。,3,6-1,导热方程,一、傅里叶定律,1,、温度场,同一时刻某一物理量在空间的分布称为该物理量,的场，温度在空间的分布称为温度场。,温度场不随时间而变，称为稳态温度场,t,=,f,（,r,）,反之，称为非稳态温度场,t=f,（,r,）,泛指的空间坐标,2,、温度梯度,温度梯度,沿等温面的法线方向的温度变化率。,grad,t,，等温面的外法线方向为温度梯度的正方向。,等温面,同一时刻物体中由温度相同的点构成的面,4,grad,t,=,i,+,j,+,k,单位向量,在各向同性的介质中，傅里叶定律的向量表达式,q,=,grad,t,t,n,热流密度（热通量），,W/m,2,导热系数（导热率）,nabla,算子,单位时间内通过单位等温面面积的热量，,并以等温面的外法线方向为正方向,傅里叶定律表明：在各向同性介质中，热流密度的大,小与温度梯度成正比，其方向与温度梯度反向，即热,流密度向量垂直于等温面，且沿着温度降低的方向。,法线方向的单位矢量,三、,傅里叶定律,5,根据傅里叶定律，由于热扰动使物体中某处温度发生变,化时，整个物体内的温度分布（温度场）及热流密度立,刻发生变化，即使离开扰动源无限远的地方，也会马上,感受到扰动的影响，即热扰动以无限大的速度传播。显,然，这一结论有悖与常识，热扰动也必定以一有限的速,度传播。统计热力学理论也指出热扰动只能以有限的速,度在物体内传播。因此，有必要对傅里叶定律作适当的,修正,导温系数,（热扩散率）,热传播速度,松弛时间,通常,a,比,c,2,小,10,个量级,傅里叶定律的修正：,表征材料在非稳态导热过程中扩散热量能力的物性参数，非稳态导热过程中因,物体本身内部贮能变化，决定物体中温度分布的是热扩散率，不是导热系数。,m,2,/s,6,二、导热系数,表征材料导热能力的物理量，,W/(,m,K,),；,与材料的种类及其所处的状态有关；,现代热物性理论提供的导热过程微观机理的理论尚不完,善，不能用于精确预测材料的导热系数值，材料的导热,系数仍然由专门实验测定,。,一般而言，纯金属的导热系数最大（纯金属中，又以银的,导热系数最大），气体的导热系数最小。,1,、固体导热机理,固体内部导热的载体分为三种：,电子、,声子、,光子。,声子就是晶格波的能量子。晶体的导热机理是排列整齐的,晶粒的热振动。这种振动是多自由度的，以弹性波的形式,传递，通常用声子的概念来描述这一过程。声子传递热能,的过程类似于光子传递光能的过程。,7,固体,晶体,非晶体,金属,非金属,存在着大量的自由电子，其导热系数,比非金属大得多,。,非金属晶体导热系数,比非晶体大得多,声子起着较大的作用,。,耐火材料可以认为是晶体和非晶体材料的混合物，导热系数取决于各组分的导热系数及各组分的容积百分比。,温度对纯金属的导热系数较复杂；,铜的导热系数随温度的变化,金属中含有杂质或其它元素，导热,系数将大为下降。,8,2,、液体导热机理,非金属液体导热机理类似于介电体的导热机理；,液态金属导热基于非金属液体的导热机理及自由电子运动。,通常：,液态金属导热系数（小于固态金属）远大于非金属液体；,大多数液态纯金属的导热系数随温度升高而下降，但是水,银、镉和几种共晶合金的导热系数随温度升高而升高；,水是导热系数最高的非金属液体，,0.55,0.675,W/(mK),，,约是空气导热系数,25,倍；,压力对水的导热系数几乎没有影响，特别,高的压力下，导热系数随压力增加而上升；,当冰融解为液态水时，导热系数从,2.2,W/(,mK,),下 降为,0.568W/(mK),。,除了水及某些水溶液和甘油外，大多数液体的导热系数,随温度增加而下降；,9,三、气体导热机理,各种气体导热系数的通常范围,：,0.00520.6,W/(,mK,),理想气体的导热系数计算,体积定容热容,，,J/(m,3,),按麦克斯韦公布计算的气体分子的平均速度，,m/s,平均自由程,，,m,气体中以相对分子质量最小的氢气的导热系数最高，氦气,次之（,在一定温度下与气体 与相对分子质量成反比）；,同一种气体，温度升高，导热系数增大；,压力对理想气体,的影响很小，只有在很高或很低的压力,下才能观察到压力的影响。,10,气体的导热系数经验公式：,0,时的导热系数,W/(,m,K,),气,体,n,气,体,n,气,体,n,He,0.730,O,2,0.760,N,2,0.759,H,2,0.690,空,气,0.759,CH,4,1.256,D,2,0.720,CO,2,1.04,C,2,H,6,1.423,A,r,0.693,SO,2,1.02,C,3,H,8,1.450,11,三、导热方程,傅里叶定律揭示了连续的温度场中每一点的温度梯度与该点,的热流密度之间的关系。导热方程则进一步指出在连续的温度,场中每一点的温度与相邻点的温度以及时间之间的关系。,直角坐标系中的导热微分方程,材料的比热容，,J/(kg),密度，,kg/m,3,物体体积发热率，,J/(m,3,s),非稳态项,扩散项,热源项,12,傅里叶导热微分方程,抛物线型偏微分方程,稳态问题,泊桑方程,无内热源,拉普拉斯方程,典型的椭圆型偏微分方程,物性取常数,热源项为零,幻灯片,30,幻灯片,41,13,四、单值性条件,几何条件,物理条件,时间条件,确定所研究问题的空间区域。物体内的温度场与所选的,坐标系无关，但不同的坐标系，其导热微分方程及边界,条件的表达方式也就不同。而物体的几何形状对坐标系,的选择起决定性的作用。,材料的热物性及有无内热源。材料的热物性可分为常物,性及变物性两类：,变物性给温度场的求解带来很大困难，因为求解温度场时,需要物性资料，而物性又取决于温度，这是温度场和物性,场藕合的求解问题，,变物性的问题，一般用数值法求解。,导热过程的时间特点。,在过程开始时刻物体内的温度分布称为初始条件。对于有,限大的物体而言，初始条件的影响只在一定时间内起作用，,时间足够长后，温度场仅随边界条件或内热源的变化而变。,这种只依赖于边界条件或内热源的非稳态温度场，称为准,稳态温度场。,一种重要的非稳态导热形式是瞬态导热：研究物体外界作,用条件及内热源不随时间而变，但在过程起始时刻，物体,内的温度场与外界作用下的稳定温度场有差异，从而随着,时间的推移，物体内的温度场趋向稳态温度场的导热过程。,14,边界条件,物体与外部环境之间的换热条件称为边界条件。,物体内的导热过程和该物体与环境间的换热过程是互,相影响的,物体内的导热过程和物体与环境间的,换热组成一个耦合问题。除极少数情况外，用分析法,求解耦合问题是不可能的。,对边界条件作简化处理，用经验方法确定环境对物体,边界的热作用，然后独立求解物体内的导热问题。,第一类边界条件,直接给出边界面上的温度分布及其随时间的变化规律；,第二类边界条件,直接给定热流密度,q,w,在边界上的分布及其随时间的变化,规律；,第三类边界条件,给定物体周围的流体,温度,t,f,以及物体表面与流体间对,流换热的表面传热系数,h,（或给定环境温度,t,f,及物体表,面与环境间 的总表面传热系数,h,）。,当,h,=0,时，第三类边界条件转变为第二类边界条件；,h,，则变为第一类边界条件。,t,w,=0,齐次的第一类边界条件。,q,w,=0,时,物体与外界无热量交换，称为齐次的第二,类边界条件,t,f,=0,齐次的第三类边界条件。,15,五、量纲为,1,的参数,毕渥数（,Bi,）,导热热阻,对流热阻,毕渥数,是一个表征物体内、外热阻相对大小的量纲为,1,的参数，是导热热阻,与对流热阻之比，说明了物体的导热能力与物体表面和周围流体之间对流换,热能力的相对大小。,Bi,数大，说明外部热阻小，流体将热量传给物体表面,（或自物体表面传给流体）的能力大；,Bi,数小，说明物体内部热阻小，物体,内部的导热能力比边界面与流体间的对流换热能力强。,傅里叶数（,Fo,）,A,为平板,的面积,温差为,1,时平板的导热量,单位时间内温度变化,1,平板存贮热量的变化量,傅里叶数,是给定体积内导热速率与热能存贮速率之比的量度。傅里叶数愈大，则物体的导热速率大而蓄热率小，热量转播快，边界上的热扰动能愈深入地转播到物体的内部。,16,【,例,6-1,】,设大平板材料的物性为常数，平板厚度为,L,。试,导出大平板无内热源时的一维非稳态量纲为,1,的导热微分,方程。,解：物性为常数，无内热源大平板的导热微分方程：,定解条件,：,0,xL,(a),初始条件为,t=,t,i,0,x 0 (c),x,=,L ,0 (d),解的一般形式,17,定义量纲为,1,的参数：,0,u,0 (e),量纲为,1,的,微分方程,量纲为,1,的定解条件,0,u,0 (g),u,=1,Fo,0 (h),该量纲为,1,的定解问题的温度场的解为,18,6-2,导热问题的求解方法,求解导热问题的方法,导热问题,齐次,问题,方程及边界条件都是齐次的,非齐次问题,方程和边界条件都是或其中之一,是非齐次的,非线性问题,方程或边界条件是非线性的，,或两者都是非线性的,分析解法,近似分析解法,数值解法,模拟法（比拟法）,图解法,线性问题,方程及边界条件都是线性,19,一、分析解法,分析法以数学分析为基础求解导热问题，所得的解为解析,函数形式，称为分析解、理论解、严格解。它给出了求解区域,内的温度分布，并在所有内点上精确地满足导热微分方程，又,满足定解条件，故又称精确分析解。,但分析解法仅适用于求解平板、矩形柱体、圆柱、圆管及,球体等几何形状简单的物体中的线性导热问题，对几何,形状复杂或非线性的导热问题，只能采用近似分析解法。,可以用来检验数值解结果的准确程度；,新的数值方法：边界元法及有限分析法等的基础,精确分析解：,分析解法的种类,直接积分法、,分离变量法、,拉普拉斯变换法、,热源法等,20,1.,分离变量法,分离变量法是求解导热问题的一种经典方法始于,18,世纪中叶，,适合求解线性的齐次导热问题，得到的是傅里叶级数形式的解。,导热偏微分方程（包含有,n,个自变量）,引进,n,-1,个分离常数,常微分方程,常微分方程,n,个,求解,分离解,分离解,n,个,线性叠加原理,原导热问题的完全解,确定叠加过程中引入的未知系数,问题的最终解,线性非齐次问题，可以通过适当变换，由几个解叠加而得。,21,2,.,拉普拉斯变换法,拉普拉斯变换法积分变换法的一种,。,用拉普拉斯变换法求解导热问题时，需对边界条件进行变换，,又要对象函数进行反变换，当这些变换不能利用现成的拉普拉斯,变换表时，就要进行较复杂的积分运算，求解十分困难。,除了拉普拉斯变换外，还有一种积分变换，可以去除温度对空,间变量的偏导数，仅留时间变量，而使导热偏微分方程变成常微,分方程。这种方法可用于线性齐次与非齐次导热问题。,非稳态导热偏微分方程,拉普拉斯变换,去掉温度对时间的偏导数,象函数的稳态问题,边界条件,拉普拉斯变换,求解象函数方程,象函数的解,象函数进行拉普拉斯反变换,非稳态温,度场的解,22,3.,热源法,物体中的温度场是由某种形式热源,(,实际存在的或虚拟的,),作用,造成的，热源的空间分布和作用时间不同，在物体中将引起不同,的温度场。一定类型热源在元限大介质中所产生的温度场称为,热,源函数，或称无限区域的格林,(,Green,),函数,。以基本类型的热源函,数为基础而求解导热问题的方法称为,热源法,。,二、近似分析解法,近似分析解法也得到解析函数的形式，但只满足主要的定,解条件。,最重要的近似分析解法是积分方程法，已成为流体沿固体表,面流动时边界层计算的有效方法之一，也可应用于导热。,还有变分法、加权残值法及摄动法等。,23,三、数值解法,求解导热问题的数值方法,:,有限差分法,有限元法,边界元法,有限分析法,数值解法以离散数学为基础，以计算机为工具,基本思想,:,用空间和时间区域内有限个离散点（节点）上温度的近似值代替物体内实际的连续温度分布,;,由导热方程及边界条件推导出各节点温度间相互关系的代数方程组（离散方程）,;,求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。,只要节点分布得足够稠密，数值解就有足够的精度。,24,就精确度而言，似乎数值解是近似解，分析解是精确解。,实际上，精确解并不一定精确，因为求精确解时要对单值性,条件作近似处理；同时，一般精确解的结果是级数解，计算,时只能取有限项，也要产生一定误差。,数值方法与分析方法关系,:,求解导热问题的主要方法，但数值法的覆盖面远大于分析法,用分析法求解的问题，数值法也能求解；而一些用分析法不能求解的问题，数值法常能求解。,四、实验模拟法与图解法,早期都用于求解导热问题，随着数值方法的发展，这两种,方法的应用范围大大缩小。,25,6-3,导热反问题,*,导热反问题,热流密度和换热量,导热微分方程,单值性条件,导热问题数学模型,+,适当的方法求解,物体内,温度场,导热正问题,导热微分方程,部分单值性条件,已知温度场的足够信息,未知的单值性条件,+,导热反问题的求解比正问题困难得多,导热反问题，也有稳态和非稳态之分,26,厚度为,L,的平板（定物性，无内热源），,初始时温度场均匀，平板的左侧壁面绝热。,大平板内的一维非稳态导热，若测定平,板中,b,处温度变化规律，欲求右边界处壁面,温度及热流密度，就是非稳态导热反问题。,0,xL,x,=0,x,=,b,=0,用平板内,b,处的温度信息，推算,x,=,L,边界处的温度及热流密度,微分方程,边界条件,初始条件,温度场的信息,导热反问题不一定有解，,上述例子中，已知,x,=0,处,，若此处温,度随时间线性变化，则此,条件下的解不存在。,27,6-4,用分离变量法求解稳态导热问题,一、分离变量法,在物体中取定正交坐标系,当边界条件满足一些特定要求（例如，所有边界都是第一类或第,二类边界条件）时，可假设温度函数是,（,n,+1,）,个单元函数的乘,积（其中,n,是空间坐标的数目），即,基本思想：,把偏微分方程转化为,n,个常微分方程,物体的边界为,把偏微分方程转化为,n,个常微分方程,28,直角坐标系中，微分方程和定解条件可变为,数学上称为特征值问题,特征值,特征函数,用分离变量法求解,非稳态导热问题可,归结为求解特征值,问题。,对于,n,维稳态导热问题，在,2,n,个边界中，只有一个边界的边界,条件是非齐次的，才有可能直接用分离变量法求解此导热问题。,29,二、直角坐标系中的二维稳态导热,矩形柱体、常物性、无内热源,稳态导热温度场,（,拉普拉斯方程,）,齐次边界条件,非齐次边界条件,二维导热问题,（,n,=2,）,所以设解的形式为,求,幻灯片,13,30,分离变量,等号左右两边分别是,x,和,y,的,函数，,是与,x,，,y,无关的常数,定解问题称作,特征值问题,代入边,界条件,超越方程式,值（或,值）称为特征值,（或,）有无穷多个，常用,m,（或,m,）表示,31,待定的常数,满足导热问题微分方程,及三个边界条件，方程,的特解，也称基本解。,基本解的线性叠加,温度场的完全解：,C,m,可由问题中唯一的一个非齐次边界条件确定,特征函数的模或范数,特征函数、特征值及模,可由特征值问题的两个,齐次边界条件完全确定,32,微分方程为 （,0,x,0,时，置于温度为零度的环境中，,x,=0,及,x,=,L,的边,界处的表面传热系数分别为,h,1,和,h,2,。,导热微分方程的定解条件的边界条件都是,齐次的，所以直接利用分离变量法求解。,设,欲使等式恒成立，只可能,等于某常数,分离常数。,左边是,x,的函数,右边是,的函数,幻灯片,42,幻灯片,13,41,特征值问题。查表得特征函数是,特征值,据分离变量法原理，对应每一个特征值，有一个原导热问题,的基本解，基本解的线性叠加就得原导热问题的完全解。,模,幻灯片,41,幻灯片,33,42,【,例,6-3】,图示的大平板，厚,L,=2,，初始时平板内温度均匀为,t,0,，时间,0,时置于温度为,t,f,的环境中进行对流换热，两侧表,面传热系数均为,h,，试求其瞬态温度场。,解：,由于两侧边界条件对称，因此平板内,温度分布对称于平板中心线，坐标原点取在,中心线上，平板中心线可认为是绝热边界。,令量纲为,1,的温度为,可用分离变量法求解,43,查表得问题的特征函数、特征值及范数分别为,温度场的完全解,幻灯片,33,44,6-7,导热问题的近似解法,导热问题的分析解法适用于求解物体几何形状较简单的问题,;,分析解的形式往往是无穷级数，不便于工程上的实用计算,;,冯,卡门,和,波尔豪森,用积分法成功求解了流体力学中的边界层,动量方程和边界层能量方程后，积分法求解各种稳态及一维,非稳态导热问题也得到广泛的应用。,近似分析解提供的解析函数，近似地满足导热定解问题。,为什么需要近似解法,与单纯数值解相比，近似分析解提供的结果，既能清楚地显,示各种参数对问题的影响，又便于作进一步的分析计算,45,一、稳态导热方程的积分形式,直角坐标系中，如图示的长方柱体，,有内热源的稳态导热的导热微分方程为,积分,x,方向和,y,方向导入及导出的热量差,内热源的产热量,柱体内热力学能增量，稳态时为零,幻灯片,50,46,二、一维非稳态导热问题积分法,考虑半无限大物体被加热时的情形：,物体有热容，物体温度变化逐步由边界面渗透到物体内部，,在靠近边界的一层物体内，物体温度才明显表示出变化。物体,内，能感受到边界热扰动，且温度有明显变化的表层深度,称为渗透深度或热边界层。,初始温度为常数,t,i,；,时间,0,时，,x,=0,处的边界面维持,常温,t,w,，且,t,w,t,i,。,由于,t,w,t,i,，,物体中发生升温过程，不,同时间,时的温度定性分布见图。,显然，当 物体温度仍维持其初始温度。,通常定义温升为边界温升的,1%,处为热边界层的边缘。,47,取过余温度,半无限大物体内的导热微分方程,积分,渗透深度的定义,48,三、康塔罗维奇,(,Kantorovch,),法,建立给定导热问题的导热积分方程后，先要选用适当的温度,分布表达式。通常假定温度分布具有变量分离形式的结构，即,温度函数是各自变量单元函数的乘积。因为多项式较简单，其,本身有较大的灵活性，适应性强，故多项式是常被采用的一种,单元函数,康塔罗维奇法：,在温度函数中，仅留一个自变量的单元函数待定，其余自,变量的单元函数的形式均被选定。,把选用的温度分布函数代入导热积分方程，进行运算，得,到关于待定常数的代数方程（或常微分方程），,确定温度函数中的待定常数或待定函数。,最后，把上述求出的待定常数或待定函数代入所选用的温,度函数中，得到给定条件下物体中温度分布近似表达式，,确定温度函数。,49,矩形柱体为常物性，有均匀内热源；,x,=0,及,y,=0,处的边界绝热；,x,=,L,及,y,=,b,处边界温度维持不变。,过余温度,简化,幻灯片,46,以二元稳态导热为例,假定变量分离形式的温度分布,选定单元函数,代入积分方程,幻灯片,46,积分,50,积分区域,L,是任意的，为使式成立，,被积函数必须等于零，于是可得,边界条件,51,6-7,集总热容系统,一、集总热容系统,非稳态导热时，物体内的温度始终是均匀一致的物体,物体内部温度的均匀程度与毕渥数,Bi,v,=,hl,/,（其中,h,为物体,表面与周围介质间的表面传热系数，,l,=,V,/,A,是特征尺度，,V,为物体,的体积，,A,为表面积，,为材料的导热系数。）的值有关，,Bi,v,愈,小，物体内部的温度变化愈小，温度均匀程度愈高。在工程上，,当,Bi,v,99%,。,54,介质温度随时间作线性变化,介质温度变化,的速率,问题的微分方程和边界条件,问题的解为,物体的温度响应由两部分组成；,介质温度的变化规律 ，,相当于介质温度为（）产生的变化，当,足够大时，,。表示在此条件下，物体过余温度比介质过余,温度低 ，即 物体温度的变化滞后于介质温度的变化。,55,