数理方程第二章分离变量法.ppt

数学物理方程与特殊函数,第,2,章分离变量法,*,*,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,5/24/2026,1,基本思想：,首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：,波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点：,a.,物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；,b.,把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,一、有界弦的自由振动,5/24/2026,2,令,代入方程：,令,代入边界条件,1,、求两端固定的弦自由振动的规律,5/24/2026,3,特征（固有）值问题,：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题,特征（固有）值,：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数,：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1,）,2,）,3,）令 ，为非零实数,5/24/2026,4,5/24/2026,5,5/24/2026,6,5/24/2026,7,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,5/24/2026,8,2,解的性质,x=x,0,时：,其中,：,驻波法,t=t,0,时：,5/24/2026,9,例,1,：,设有一根长为,10,个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,5/24/2026,10,5/24/2026,11,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,12,5/24/2026,13,解：,例,2,求下列定解问题,5/24/2026,14,5/24/2026,15,5/24/2026,16,初始条件,5/24/2026,17,例,3,求下列定解问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,18,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特故原问题的解为,5/24/2026,19,例,4,求下列定解问题,令,代入方程：,解：,5/24/2026,20,5/24/2026,21,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,22,5/24/2026,23,5/24/2026,24,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,5/24/2026,25,由例,4,知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,满足方程,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,26,令,代入方程：,令,例,5,求下列定解问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,27,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,28,例,6,求下列定解问题,解：令,5/24/2026,29,5/24/2026,30,于是得到一系列分离变量形式的特解,5/24/2026,31,若 则,u,为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,若,5/24/2026,32,分离变量流程图,5/24/2026,33,三 拉普拉斯方程的定解问题,1,直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,34,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,35,5/24/2026,36,例,7,求下列定解问题,解：,由例,6,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,37,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,38,5/24/2026,39,例,8,求下列定解问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,40,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,41,2,圆域内的拉普拉斯问题,5/24/2026,42,例,9,求下列定解问题,解：,（自然边界条件）,（周期性边界条件）,周期特征值问题,5/24/2026,43,(,欧拉方程,),令,周期特征值问题,故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,44,（由自然边界条件）,（由自然边界条件）,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,45,例,10,求下列定解问题,解：,（周期性边界条件）,周期特征值问题,5/24/2026,46,欧拉方程,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,47,其他为零,5/24/2026,48,例,11,求下列定解问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,（自然边界条件）,5/24/2026,49,（由自然边界条件）,5/24/2026,50,例,11,求解下列二维热传导方程的定解问题,解：,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,51,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,52,例,12,求下列热传导方程的定解问题,解法一：令,5/24/2026,53,解法二：令,由例,1,中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,5/24/2026,54,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,5/24/2026,55,常用特征值问题,周期特征值问题,5/24/2026,56,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,思考,5/24/2026,57,由线性方程的叠加原理，令：,5/24/2026,58,令：,为什么？,非齐次方程的特征函数展开法,5/24/2026,59,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,5/24/2026,60,例,13,求下列定解问题,解：,先解对应的齐次问题,其特征值和特征函数为,5/24/2026,61,5/24/2026,62,例,14,求下列定解问题,解：,令,其特征值和特征函数为,5/24/2026,63,5/24/2026,64,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,5/24/2026,65,例,15,求定解问题,解：,将原问题变换到极坐标系下：,周期特征值问题,5/24/2026,66,非齐次方程的特征函数展开法,5/24/2026,67,5/24/2026,68,例,16,求定解问题,周期特征值问题,5/24/2026,69,非齐次方程的特征函数展开法,5/24/2026,70,5/24/2026,71,五 非齐次边界条件的处理,解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令,取,其中辅助函数满足,5/24/2026,72,5/24/2026,73,常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数,非齐次边界条件,齐次化所使用辅助函数,以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。,5/24/2026,74,例,17,求下列定解问题,解：,令,可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。,5/24/2026,75,若,f(x,t,),和非齐次边界条件都与,t,无关，则此时,W,仅是,x,的函数,W,(,x,),此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？,若能从中求出,W,(,x,t,),，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出,!,5/24/2026,76,例,18,求下列定解问题,解：,令,请与例,17,比较，研究其优缺点。,5/24/2026,77,例,19,求定解问题,解：,令,可以用分离变量法求解以上问题。,5/24/2026,78,例,20,求定解问题,解：,令,可以用分离变量法求解以上问题。,5/24/2026,79,例,21,求定解问题,解：,令,5/24/2026,80,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件,直接用分离变量法,非齐次方程，齐次定解条件,特征函数展开法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,5/24/2026,81,六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,1.,存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。,2.,所有特征值均不为负。,3.,任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。,4.,特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。,5/24/2026,82,