chapt8(应力与应变分析)材料力学ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 应力与应变分析,第一节 应力状态的概念第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节 三向应力状态下的最大应力第四节 广义虎克定律第五节 三向应力状态下的变形比能,一、一点的应力状态,1.,一点的应力状态,：,通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况,。,2.,研究应力状态的目的,：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,第一节 应力状态的概念,二、研究应力状态的方法,单元体法,1.,单元体,：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力与应变分析,x,O,z,y,dz,dx,dy,X,Y,Z,O,s,y,s,y,s,z,s,z,t,zy,t,y,z,t,yz,t,zy,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,t,zx,t,xz,t,zx,t,xz,应力与应变分析,（,1,）应力分量的,角标规定,：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（,2,）面的方位用其法线方向表示,3.,截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴,(,笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状,而定,),在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.,单元体上的应力分量,应力与应变分析,P,M,e,M,e,P,P,M,e,M,e,c),同,b),，,但从,上表面截取,C,t,s,s,b),横截面，周向面，直径面各一对,B,a),一对横截面，两对纵截面,A,s=,P/A,s,t=M,e,/,W,n,A,B,C,B,C,A,P,C,A,B,t,B,t,C,s,C,s,C,s,A,s,A,三、应力状态分类,(,按主应力,),1.,主平面,：单元体上剪应力为零的面；,主单元体,：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；,主应力,：主平面上的正应力，用,s,1,、,s,2,、,s,3,表示，有,s,1,s,2,s,3,。,应力与应变分析,旋转,y,x,z,s,2,s,3,s,1,x,y,z,s,x,s,z,t,xy,t,xz,t,zx,t,zy,t,yz,t,yx,s,y,2.,应力状态按主应力分类：,只有一个主应力不为零称,单向应力状态,；,只有一个主应力为零称,两向应力状态,(,平面应力状态,),；,三个主应力均不为零称,三向应力状态,(,空间应力状态,),；,单向应力状态又称,简单应力状态,，平面和空间应力状态又称,复杂应力状态,。,应力与应变分析,一、平面应力分析的解析法,1.,平面应力状态图示：,第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆,s,y,t,yx,t,xy,s,x,s,x,s,x,t,xy,s,y,s,y,s,x,t,yx,应力与应变分析,2.,任意,a,角斜截面上的应力,s,x,t,xy,s,y,s,y,s,x,t,yx,A,B,x,y,a,n,t,a,s,t,s,x,t,xy,t,yx,s,y,x,dA,s,x,s,y,t,xy,t,yx,得,应力与应变分析,符号规定：,a,角,以,x,轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负,s,拉为正，压为负,t,使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负,3.,主应力及其方位：,由主平面定义，令,t,=0,，,得：,可求出两个相差,90,o,的,a,0,值，对应两个互相垂直主平面。,令,得：,即主平面上的正应力取得所有方向上的,极值,。,应力与应变分析,主应力大小：,由,s,、,s,、,0,按代数值大小排序得出：,s,1,s,2,s,3,判断,s,、,s,作用方位,(,与两个,a,0,如何对应,),t,xy,箭头指向第几象限,(,一、四,),，则,s,(,较大主应力,),在第几象限，即先判断,s,大致方位，再判断其与算得的,a,0,相对应，还是与,a,0,+90,o,相对应。,t,xy,s,s,a,0,*,t,xy,s,s,a,0,*,应力与应变分析,4.,极值切应力：,令：，可求出两个相差,90,o,的,a,1,，,代表两个相互垂直的极值切应力方位。,极值切应力：,(,极值切应力平面与主平面成,45,o,),应力与应变分析,40,30,20,单位：,MPa,a,s,a,t,a,40,20,30,14.9,o,s,s,s,s,例,一,图示单元体，试求：,a,=30,o,斜截面上的应力；,主应力并画出主单元体；,极值切应力。,t,ABCD,x,45,o,-45,o,M,e,M,e,D,C,B,A,s,3,s,1,s,1,s,3,分析圆轴扭转时的应力状态,4),圆轴扭转时，横截面为纯剪切应,力状态，最大拉、压应力在与轴,线成,45,o,斜截面上，它们数值相,等，均等于横截面上的剪应力；,5),对于塑性材料,(,如低碳钢,),抗剪能力差，扭转破坏时，,通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；,6),对于脆性材料,(,如铸铁、粉笔,),抗拉性能差，扭转破,坏时，通常沿与轴线成,45,o,的螺旋面发生拉断。,例,9,-,2,分析圆轴扭转时的应力状态。,二、平面应力分析的图解法,应力圆,1.,理论依据：,以,s,、,t,为坐标轴，则任意,a,斜截面上的应力,s,x,、,t,xy,为：,以,),为半径的圆。,2.,应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取,x,面，定出,D(),点；取,y,面，定出,D(),点；,连,DD,交,s,轴于,C,点，以,C,为圆心，,DD,1,为直径作圆；,s,x,s,x,t,xy,t,yx,t,xy,t,yx,s,y,s,y,O,s,t,x,y,n,a,C,2a,0,A,1,s,B,1,s,2a,(,s,a,t,a,),E,G,1,t,G,2,t,D,(,s,y,t,yx,),B,A,D,(,s,x,t,xy,),s,a,t,a,3.,应力圆的应用,点面对应关系,：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,角度对应关系,：应力圆上半径转过,2,a,，,单元体上坐标轴转过,a;,旋向对应关系,：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；,求外法线与,x,轴夹角为,a,斜截面上的应力，只要以,D,为起点，按,a,转动方向同向转过,2,a,到,E,点，,E,点坐标即为所求应力值。,用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力,t,=0,，,确定,D,转过的角度；,D,转至,s,轴正向,A,1,点代表,s,所在主平面，其转过角度为,2,，转至,s,轴负向,B,1,点代表,s,所在主平面；,确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的,G,1,点为,t,，,纵轴坐标最小的,G,2,点为,t”,，,作用面确定方法同主应力。,求：,1),a,=30,o,斜截面上的应力；,2),主应力及其方位；,3),极值剪应力。,s,O,t,D(30,-20),D(-40,20),C,60,o,(29.8,20.3),35.3,-45.3,29.8,o,40,30,20,单位：,MPa,x,a,s,a,t,a,40.3,-40.3,例,9,-,3,用应力圆法重解例,9,-,1,题。,1.,三向应力状态应力圆：,平行,s,3,斜截面上应力由,s,1,、,s,2,作出应力圆上的点确定；,平行,s,2,斜截面上应力由,s,1,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,平行,s,1,斜截面上应力由,s,2,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。,一、三向应力状态下的应力圆,2.,三向应力状态下的最大剪应力,t,max,所在平面与,s,1,和,s,3,两个主平面夹角为,45,o,。,二、例题,第三节 三向应力状态下的最大应力,s,3,s,2,s,1,s,2,s,3,s,1,s,2,s,1,s,3,s,3,C,1,C,3,s,1,s,2,O,t,s,t,12,t,23,t,13,C,2,例,9,-,4,试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,x,300,150,y,1,40,z,90,解：,给定应力状态中有一个主应力是已知的，即,s,z,=90MPa,。因此，可将该应力状态沿,z,方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,s,x,=300MPa,，,s,y,=140MPa,，,t,xy,=,-,150MPa,，因此：,根据,s,1,、,s,2,、,s,3,的排列顺序，可知：,s,1,=390MPa,，,s,2,=90MPa,，,s,3,=50MPa,x,z,y,x,z,y,90,300,150,140,A,s,y,=140,t,xy,=150,s,x,=300,A,视,s,2,y,31,o,31,o,s,1,x,s,3,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角,45,o,即与,x,轴夹角,76,o,或,-,14,o,。,单元体内的最大剪应力：,一、广义虎克定律,1.,有关概念：,主应变,：沿主应力方向的应变，分别用,e,1,e,2,e,3,表示；,正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.,广义虎克定律,：,推导方法：,叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,第四节 广义虎克定律,s,1,s,2,s,3,s,1,s,1,I,s,2,s,2,II,s,3,III,s,1,I,s,1,s,2,II,s,2,s,1,方向上的应变：,s,2,方向上的应变：,s,3,方向上的应变：,III,s,3,用应变表示应力：,上式中,：,二、例题,例,9,-,5,在一体积较大的钢块上有一直径为,50.01mm,的凹座，凹座内放置一直径为,50mm,的钢制圆柱如图，圆柱受到,P=300kN,的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取,E=200GPa,，,n,=0.30,。,P,p,P,P/A,p,p,p,p,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力,p,。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为,-,p,，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变,e,2,的值为：,解：,在柱体横截面上的压应力为：,一、总应变比能,1.,有关概念：,应变能,(,变形能,),：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的,能量。用,U,表示；,比能,：单位体积的应变能，用,u,表示；,2.,总应变比能：,取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：,比能：,代入虎克定律：,第五节 三向应力状态下的变形比能,s,2,s,1,s,3,e,1,e,2,e,3,dx,dy,dz,二、体积改变比能,u,v,与形状改变比能,u,d,1.,有关概念：,单元体的变形：,体积改变,和,形状改变,。,体积改变比能,：与体积改变相对应的那一部分比能，用,u,v,表示；,形状改变比能,：与形状改变相对应的那一部分比能，用,u,d,表示；,2.u,v,、,u,d,公式,体积改变比能：,s,3,s,2,s,1,体积应变只与平均,正应力有关，则体,积改变比能只与平,均正应力有关。,体积改变,s,m,s,m,s,m,s,3,-,s,m,s,2,-,s,m,s,1,-,s,m,形状改变,形状改变比能：,一般情况：,