高考数学导学练系列直线与圆教案苏教版.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料直线与圆1掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系2会用二元一次不等式表示平面区域3了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用4了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等第 1 课时直线的方程知识网络考纲导读高考导航简单的线性规划直线的倾斜角和斜率直线方程的四种形式两条直线的位置关系直线圆的方程圆的一般方程圆的参数方程直线和圆圆的标准方程曲线和方程推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0 倾斜角的范围为_斜率:当直线的倾斜角90时，该直线的斜率即ktan ；当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在2过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式若 x1x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为903直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式例 1.已知直线(2m2m 3)x(m2m)y4m 1 当 m 时，直线的倾斜角为45当 m 时，直线在 x 轴上的截距为1 当 m 时，直线在 y 轴上的截距为23 当 m 时，直线与x 轴平行当m 时，直线过原点解：(1)1 2或21 31或2 23 41变式训练1.（1）直线 3y3 x 2=0 的倾斜角是（）A30 B60 C120 D150（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A 3，4 B2，3 C4，3 D4，3（3）直线 l1与 l2关于 x 轴对称，l1的斜率是7，则 l2的斜率是（）A7 B77 C77 D7（4）直线 l 经过两点（1，2），（3，4），则该直线的方程是解：（1）D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是33典型例题基础过关推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）C 提示：用斜率计算公式1212yyxx（3）A 提示：两直线的斜率互为相反数（4）2y3x1=0提示：用直线方程的两点式或点斜式.例 2.已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）求证：A、B、C三点在同一条直线上证明方法一A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=1313=2,kBC=3435=2，kAB=kBC，A、B、C三点共线方法二A（1，-1），B（3，3），C（4，5），|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线方法三A（1，-1），B（3，3），C（4，5），AB=（2，4），BC=（1，2），AB=2BC又AB与BC有公共点B，A、B、C三点共线变式训练2.设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：证明A、B、C三点共线，kAB=kAC，cacababa3333，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c 互不相等，b-c0，a+b+c=0.例 3.已知实数x,y 满足 y=x2-2x+2(-1x1).试求：23xy的最大值与最小值.解：由23xy的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），34k8，故23xy的最大值为8，最小值为34.变式训练3.若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3，那么xy的最大值为3（）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料21 B.3323 D.3答案例 4.已知定点P(6,4)与直线 l1:y 4x，过点 P的直线 l 与 l1交于第一象限的Q点，与 x 轴正半轴交于点M 求使 OQM 面积最小的直线l 的方程解：Q点在 l1:y 4x 上，可设Q(x0，4x0)，则 PQ的方程为：6644400 xxxy令 y0，得：x1500 xx(x01)，M(1500 xx，0)SOQM211500 xx4x0101020 xx10(x01)110 x2 40当且仅当x0 1110 x即 x02 取等号，Q(2，8)PQ的方程为：626484xy，x y10 0变式训练4.直线 l 过点 M(2，1)，且分别交x 轴 y 轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点(1)当AOB的面积最小时，求直线l 的方程；(2)当MBMA取最小值时，求直线l 的方程解：设 l：y1k(x 2)(k 0)则 A(2k1，0)，B(0，12k)由 S21(1 2k)(2 k1)21(4 4kk1)21)1()4(24kk4当且仅当 4kk1，即 k21时等号成立AOB的面积最小值为4此时 l 的方程是x2y40|MA|MB|224411kk|)1(22kk2)()1(kk4当且仅当 kk1即 k 1 时等号成立此时 l 的方程为xy 30推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（本题也可以先设截距式方程求解）1直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定2待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）3在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第 2 课时直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20 平行重合相交(垂直)2当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离为 _2直线 l1l2，且其方程分别为：l1：Ax ByC10 l2：AxByC20，则 l1与 l2的距离为（三）两条直线的交角公式若直线 l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1直线 l1到 l2的角 满足2直线 l1与 l2所成的角(简称夹角)满足（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解基础过关小结归纳推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料的个数（五）五种常用的直线系方程.过两直线l1和 l2交点的直线系方程为A1xB1y C1(A2xB2yC2)0(不含 l2).与直线 ykxb 平行的直线系方程为ykx m(mb).过定点(x0,y0)的直线系方程为yy0k(x x0)及 x x0.与 AxBy C 0 平行的直线系方程设为AxBym 0 (m C).与 AxBy C 0 垂直的直线系方程设为BxAyC10 (AB0).例 2.已知直线l 经过两条直线l1：x2y0 与 l2：3x4y 100 的交点，且与直线l3：5x2y30 的夹角为4，求直线l 的方程解：由0104302yxyx解得 l1和 l2的交点坐标为(2，1)，因为直线l3的斜率为k325，l 与l3的夹角为4，所以直线l 的斜率存在.设所求直线l 的方程为y1 k(x 2)则 tan4331kkkkkk251251 k73或 k37，故所求直线l 的方程为y137(x 2)或 y 173(x 2)即 7x 3y110 或 3x7y130 变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点 P在直线 l上，l 与水平地面的夹角为,tan=21.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）？解 如图所示，建立平面直角坐标系，则 A（200，0），B（0，220），C（0，300）典型例题推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料直线 l 的方程为y=(x-200)tan,则 y=2200 x设点 P的坐标为（x,y），则 P（x,2200 x）(x 由经过两点的直线的斜率公式kPC=xxxx28003002200kPB=xxxx26402202200由直线 PC到直线 PB的角的公式得xxxxxkkkkPCPBPCPB26402800121601=2886401606464016028864xxxxx(x 要使 tan BPC达到最大，只需x+x640160-288 达到最小，由均值不等式x+x640160-2882640160-当且仅当x=x640160时上式取得等号故当 x=320 时，tan BPC 最大这时，点P的纵坐标y 为 y=2200320由此实际问题知0BPC 2,所以 tan BPC最大时，BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC 最大.例 3.直线 y2x 是ABC中C 的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4，2)、B(3，1)，求点 C的坐标并判断 ABC 的形状解：因为直线y2x 是ABC中C 的平分线，所以 CA、CB所在直线关于y2x 对称，而 A(4,2)关于直线y2x 对称点 A1必在 CB边所在直线上设 A1(x1，y1)则2422212)4(21111xyxy得2411yx推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料即 A1(4,2)由 A1(4,2)，B(3,1)求得 CB边所在直线的方程为：3x y10 0 又由01032yxxy解得 C(2,4)又可求得：kBC 3，kAC31kBCkAC 1，即 ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0 能构成三角形，求实数a 的取值范围。解：a R且 a1，a-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若 l1、l2、l3相交于同一点，则 l1与 l2的交点（-a-1，1）在直线 l3上，于是 a(-a-1)+1+1=0，此时 a=1 或 a=-2。（2）若 l1l2，则-1=-1a，a=1。（3）若 l1l3，则-1=-a，a=1。（4）若 l2l3，则-1a=-a，a=1。）例 4.设点 A(3，5)和 B(2，15)，在直线l：3x 4y4 0 上找一点p，使PBPA为最小，并求出这个最小值解：设点 A关于直线l 的对称点A 的坐标为(a，b)，则由 AA l 和 AA 被l 平分，则0425423314335baab解之得 a3，b 3，A(3，3)(|PA|PB|)min|AB|513kAB32315 18 AB的方程为 y 3 18(x 3)解方程组)3(1830443xyyx得 P(38，3)变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为m(m0)的直线 l 与 x、y 轴分别交于P、Q两点，过 P、Q作直线 2xy 0 的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ 的面积的最小值解：设 l 的方程为y1 m(x1)，则 P（1m1，0），Q（0，1m）从则直线PR：x2ymm1 0；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料直线 QS：x2y2(m 1)0 又 PR QS|RS|5|1122|mm5123mm又|PR|522m，|QS|51m而四边形PRSQ 为直角梯形，SPRSQ21(51522mm)5123mm51(mm149)280151(2 49)28013.6 四边形 PRSQ 的面积的最小值为3.6 1处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决3利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4 第 3 课时线性规划1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面)包括边界线 对于直线AxByC0 同一侧的所有点(x、y)使得 AxByC的值符号相同因此，如果直线 AxByC0 一侧的点使AxByC0，另一侧的点就使AxByC0(或 AxByC0)所表示的平面区域时，只要在直线AxBy C0 的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域基础过关小结归纳推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划 基本概念名称意义线性约束条件由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对 x、y 的约束条件目标函数关于 x、y 的解析式如：z 2xy，zx2y2等线性目标函数关于 x、y 的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y 的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件(即不等式组)；建立目标函数；作出可行域和目标函数的等值线；运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解（有些实际问题应注意其整解性）例 1.若 ABC的三个顶点为A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出 ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50 结合区域图易得不等式组为05202012yxyxyx变式训练1：ABC的三个顶点为A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则 ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为010440832yxyxyx例 2.已知 x、y 满足约束条件0104011702357yxyxyx分别求：z 2xy z 4x3y 典型例题A C y x B 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 z x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中 A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)(1)作与直线2xy0 平行的直线l1：2xyt，则当 l1经过点 A时，t 取最大，l1经过点B时，t 取最小zmax 9 zmin 13(2)作与直线4x3y 0 平行的直线l2：4x3yt，则当 l2过点 C时，t 最小，l2过点 B时，t 最大zmax 14 zmin 18(3)由 zx2y2，则z表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0zmax37 zmin0 变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t axy，(1)若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t 取得最小值，求此时a 的值(2)若当且仅当x32，y54时，目标函数t 取得最小值，求实数a 的取值范围？解：(1)由 t axy 得 yaxt要使 t 取得最小时的(x，y)有无穷多个，则 yaxt 与 AC重合a kAC132054512(2)由 KAC a KBC 得512 a0)，圆心为，半径 r3二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的方程的充要条件是4圆 C：(x a)2(y b)2r2的参数方程为 _ x2y2r2的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，则经过两圆公共点的圆系方程为例 1.根据下列条件，求圆的方程(1)经过 A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x10y90 上(2)经过 P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6解：(1)AB的中垂线方程为3x2y15 0 由0910301523yxyx解得37yx圆心为C(7，3)，半径 r 65故所求圆的方程为(x 7)2(y 3)265(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0 将 P、Q两点坐标代入得FEDFED1032042令 y0 得 x2DxF0 由弦长|x1x2|6 得 D24F36 解可得D 2，E 4，F 8 或 D 6，E 8，F0 故所求圆的方程为x2y22x4y80 或 x2y26x8y 0 变式训练1：求过点 A（2，3），B（2，5），且圆心在直线x2y3=0 上的圆的方程由 A（2，3），B（2，5），得直线AB的斜率为kAB=5(3)2 2=12,典型例题基础过关推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料线段 AB的中点为（0，4），线段 AB的中垂线方程为y4=2x,即 y2x 4=0,解方程组240230 xyxy得12xy圆心为（1，2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2(32)2=10 所求圆的方程为（x1)2(y 2)2=10 例 2.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q两点，且OP OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径解 方法一将 x=3-代入方程x2+y2+x-得 5y2-设 P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=.512mOP OQ,x1x2+y1y2而 x1=3-2y1,x2=3-2y2x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2m=3,此时 0,圆心坐标为321，,半径 r=25方法二如图所示，设弦PQ中点为 M，O1M PQ，21MOkO1M的方程为:y-3=221x即：由方程组.03242yxxy解得 M的坐标为（-1，2）则以 PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2OP OQ，点O在以 PQ为直径的圆上（0+1）2+（0-2）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2在 RtO1MQ 中，O1Q2=O1M2+MQ22121(3-2)2+5=44)6(12mm=3.半径为25,圆心为3,21方法三设过 P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由 OP OQ知，点 O（0，0）在圆上m-3=0，即 m=3圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3即 x2+(1+)x+y2+2(-圆心 M2)3(221，又圆在PQ上-21+2（3-）-3=0，=1，圆心为3,21，半径为25变式训练2：已知圆 C：（x-1）2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m R（1）证明：不论m取什么实数，直线l 与圆 C恒相交；（2）求直线l 被圆 C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程（1）证明 直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y-即不论 m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5 25,点（3，1）在圆内部，不论 m为何实数，直线l 与圆恒相交（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点 M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=222CMr=.54）21（）13（25222此时，kt=-CMk1,从而 kt=-31121l的方程为y-1=2(x-3),即 2x-y=5.例 3.知点 P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点（1）求 P点到直线3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值；（2）求 x-2y 的最大值和最小值；（3）求12xy的最大值和最小值解（1）圆心 C（-2，0）到直线 3x+4y+12=0 的距离为d=56431204)2(322P 点到直线3x+4y+12=0 的距离的最大值为推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料d+r=56+1=511，最小值为d-r=56-1=51（2）设 t=x-则直线 x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1 有公共点22212t1.-5-2t 5-2，tmax=5-2，tmin=-2-5（3）设 k=12xy，则直线 kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1232kk1.433k433kmax=433，kmin=433.变式训练3：已知实数x、y 满足方程 x2+y2-（1）求 y-x 的最大值和最小值；（2）求 x2+y2的最大值和最小值解（1）y-x 可看作是直线y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202b，解得 b=-26.所以 y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22）00（）02（=2，所以 x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43，x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.例 4.设圆满足：截y 轴所得的弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0 的距离最小的圆的方程。解法一 设圆的圆心为P（a,b),半径为 r，则点 P到 x 轴 y 轴的距离分别为b、a。由题设条件知圆P截 x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90，圆 P截 x 轴所得的弦长为2 r，故 r2=2b2又圆 P截 y 轴所得的弦长为2，所以有r2=a21,从而得 2b2=a21推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料点 P到直线 x 2y=0 的距离为d=25ab,5d2=(a 2b)2=a24b24ab=2a22b24ab1=2(a b)211当且仅当a=b 时取等号，此时，5d2=1,d取得最小值由 a=b 及 2b2=a21 得1111aabb或，进而得r2=2 所求圆的方程为（x1)2(y 1)2=2 或（x1)2(y 1)2=2 解法二 同解法一，得d=25ab，所以 a2b=5 d a2=4b245 bd 5d2,将 a2=2b21 代入整理得2b245 bd 5d21=0 （）把（）看成关于b 的二次方程，由于方程有实数根，故0即8（5d21)0,5d21 可见 5d2有最小值1，从而 d 有最小值5 5，将其代入（）式得 2b24b2=0,b=1,r2=2b2=2,a2=2b21=1,a=1由 a2b=1 知 a、b 同号故所求圆的方程为（x1)2(y 1)2=2 或（x1)2(y 1)2=2 变式训练4：如图，图O1和圆 O2的半径都等于1，O1O24，过动点P分别作圆O1和圆 O2的切线 PM、PN(M、N为切点)，使得 PM 2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以 O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O1(2,0)、O2(2,0)如图：由 PM 2PN得 PM22PN2 PO1212(PO221)，设 P(x，y)(x 2)2y212(x 2)2y21 即(x 6)2y233 为所求点P的轨迹方程1本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程2求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程O1O2N M P O1O2N M P O x y 2 2 小结归纳推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算4运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便5点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.第 6 课时直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C到直线 l 的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切dr 0 相交相离2圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和 r(R r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d R r 外切相交内切内含3.圆的切线方程 圆 x2y2r2上一点 p(x0,y0)处的切线方程为l:.圆(x a)2(y b)2r2上一点 p(x0,y0)处的切线方程为l:.圆 x2y2DxEy F0 上一点 p(x0,y0)处的切线方程为 .例 1.过：x2y22 外一点 P(4，2)向圆引切线 求过点 P的圆的切线方程 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程解：(1)设过点 P(4，2)的切线方程为y2k(x 4)即 kxy+24k0 则 d2142kk典型例题基础过关P2P1P(4，2)xyO 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2142kk2解得 k1 或 k71切线方程为：x y20 或 x7y10 0(2)设切点1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1:x1x y1y2，l2：x2xy2y因为点(4，2)在 l1和 l2上则有 4 x12y12 4x22y22 这表明两点都在直线4x2y2 上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x y10 即为所求变式训练1：（1）已知点 P(1，2)和圆 C：02222kykxyx，过 P作 C的切线有两条，则 k 的取值范围是()A.k R .k 332.2 303k2 32 333k（2）设集合A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x 1)2(y 1)2r2(r 0),当 AB=B时，r的取值范围是（）A（0，2 1）B （0，1 C （0，22 D（0，2 （3）若实数x、y 满足等式(x-2)，那么xy的最大值为()A.21.33.23.3（4）过点 M)23,3(且被圆2522yx截得弦长为8 的直线的方程为（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆03422xyx和03422yyx的交点的圆的方程是 .解：（1）D提示：P在圆外（2）C 提示：两圆内切或内含（3）D提示：从纯代数角度看，设t=xy,则 y=tx，代入已知的二元二次方程，用0，可解得 t 的范围。从数形结合角度看，xy是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界（4）0301543xyx或提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率（5）032622yxyx.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 2.求经过点A(4，1)，且与圆：x2y22x6y50 相切于点B(1，2)的圆的方程解：圆 C的方程可化为(x 1)2(y 3)25 圆心 C(1，3)，直线 BC的方程为：x2y50 又线段 AB的中点 D(25，21)，kAB 1 线段 AB的垂直平分线方程为：y21x25即 xy20 联立解得x3，y1 所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|5所求圆的方程为(x 3)2(y 1)25 变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8 上，且与坐标轴相切圆的标准方程解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆与坐标轴相切，a=b,r=a又圆心(a,b)在直线 5x-3y=8 上.5a-3b=8,由arbaba835得111444rbarba或所求圆的方程为：（x-4)2+(y-4)2=16 或(x-1)2+(y+1)21例 3.已知直线 l：yk(x 22)(k 0)与圆 O：x2y24相交于 A、B两点，O为坐标原点 AOB的面积为S 试将 S表示为 k 的函数 S(k)，并求出它的定义域 求 S(k)的最大值，并求出此时的k 值解：(1)圆心 O到 AB的距离 d2122kk由 d21 k 1 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料|AB|42211kk S(k)422222)1()1(kkk(2)解法一：据(1)令 1k2t k2 t1(1 t 2)S421322tt4281)431(22t422212 当t143即 k33时，等号成立 k33为所求解法二：ABD的面积 S21|OA|OB|sin AOB 2sin AOB当 AOB 90时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C则 OC 22|OA|2由 O到直线的距离为|OC|21|22kk得21|22kk2，k33变式训练3：点 P在直线0102yx上，PA、PB与圆422yx相切于 A、B两点，求四边形 PAOB面积的最小值 答案：8。提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小例 4.已知圆 C方程为：2224200 xyxy，直线 l 的方程为：（2m 1)x(m1)y 7m 4=0（1）证明：无论m取何值，直线l 与圆 C恒有两个公共点。（2）求直线l 被圆 C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值提示：（1）用点到直线的距离公式，证明r2d20 恒成立（2）求（1）中 r2d2的最小值，得直线l 被圆 C截得的线段的最短长度为45，此时的m值为34变式训练4：已知圆系2222220 xyaxay，其中 a 1,且 aR,则该圆系恒过定点推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案：（1，1）提示：将 a 取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母a 重新整理，要使得原方程对任意a 都成立，只须a 的系数及式中不含a 的部分同时为零1处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便2圆的弦长公式l222dR(R 表示圆的半径，d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l4)(1(212212xxxxk要方便3为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到小结归纳推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解析几何初步章节测试题一、选择题1 圆(x 1)2y21 的圆心到直线yx 的距离为（）A21 B22 C23 D1 2 如果把圆C：x2y21 沿向量),1(ma平移到圆C，且C与直线 3x4y0 相切，则m的值为（）A2 或21 B2 或21 C 2 或21 D 2 或213 如果直线沿x 轴负方向平移3 个单位，再沿y 轴正方向平移1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A31 B 3 C31 D3 4 已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）Axy1 0 Bxy0 C xy10 Dxy0 5 如果直线l1、l2的斜率为k1、k2，二直线的夹角为，若 k1、k2分别为二次方程x24x1 0的两根，那么 为（）A3 B4 C6 D86 若圆(x 1)2(y 1)2R2上有且仅有两个点到直线4x3y 110 的距离相等，则半径R的取值范围是（）AR1 B0R3 C1R3 DR2 且 R0 7 已知 x，y 满足不等式组422yxyxy，则 t x2y22x2y 2 的最小值为（）A59 B2 C3 D28（06 湖南卷）若圆x2y24x4y100 上至少有三个不同点到直线l：axby0 的距离为 22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A4,12 B125,12 C3,6 D12,09 已知圆 C：1)sin()cos(22yx，那么直线l：ykx 与圆的位置关系是（）A相离或相切 B相交或相切 C一定相交 D不能确定10如果直线yax2 与直线 y3x b 关于直线yx 对称，那么（）Aa31，b6 Ba31，b 6 Ca3，b 2 Da3，b 6 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料二、填空题11“关于实数k 的方程 x2y24kx2yk0 的图形是圆”的充分且必要条件是12设直线axy3 0 与圆(x 1)2(y 2)24 相交于 A、B两点，且32AB，则 a13将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 A(0，2)与点 B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点 D(m，n)重合，则 m n 的值是14圆心在 y 轴上，且与直线 xy3 0 及 x y10 都相切的圆的方程为15在圆 x2 y25x0 内，过点(25，23)有 n 条长度成等差数列的弦，最小弦为a1最大弦为 an若公差 d61，31，那么 n 的取值集合是三、解答题16直线 l 被两条平行直线l1：x2y 10 及 l2：x2y 30 所截线段的中点在直线xy1 0上，且 l 到直线 x2y30 的角为 45，求直线l 的方程17直线 l 过点（1，1）交 x 轴、y 轴的正半轴分别于点A、B，由 A、B作直线 2xy 30的垂线，垂足分别为C、D，当|CD|最小时，求l 的方程18已知圆 x2y29 的内接 ABC中，A 点的坐标是(3，0)，重心 G的坐标是(21，1)求：(1)直线 BC的方程；(2)弦 BC的长度推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料19要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表，每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2m2，今需要 A、B、C三种规格的成品分别为12、15、17 块，问分别截这两种钢板多少张可得符合上面要求的三种规格产品，且使所用钢板总面积最小？规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板1 2 1 第二种钢板1 1 3 20 已知点 T 是半圆 O的直径 AB上一点，AB 2，OT t（0t1，b1直线 AC的方程为：y21(x a)即 x2ya0|BH|52ba(1,1)在 AB上 a1b11|CD|52ba51(a 2b)(a1b1)51(3ab2ab)|CD|51(322)510253当 a22b2且 abab 即 a12，b222时|CD|有最小值510253此时直线l 的方程为：22212yx1 18解：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)连 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由三角形重心公式得2324322121yyxxM 的坐标为23,43连结 OM，则 OM BC，又 kOM 2 kBC21BC的方程为y2321(x 43)即 4x8y150(2)连结 OB，在 RtOBM中|BC|2|BM|22|2OMOB又|OM|453，|BC|112316459219解：设第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，使用钢板面积为zm2约束条件为：1731521200