《概率论与数理统计》课件之13.ppt

Ch4-,*,第四章 随机变量的数字特征,分布函数能完整地描述随机变量的统,计特性,但实际应用中,有时并不需要知道,分布函数而只需知道随机变量的某些特征.,判断棉花质量时,既看纤维的,平均长度,平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好,;,又要看,纤维长度与平均长度的偏离程度,例如,：,1,考察一射手的水平,既要看他的,平均,环数,是否高,还要看他弹着点的范围是否,小,即,数据的波动,是否小,.,由上面例子看到，与随机变量有关的,某些数值，虽不能完整地描述随机变量，,但能清晰地描述随机变量在某些方面的重,要特征,这些数字特征在理论和实践上都,具有重要意义,.,2,r.v.,的平均取值,数学期望,r.v.,取值平均偏离平均值的情况,方差,描述两个,r.v.,之间的某种关系的,数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,3,4.1随机变量的数学期望,加 权 平 均,初,赛,复,赛,决,赛,总,成,绩,算术,平均,甲,乙,90 85 53 228 76,88 80 57 225 75,胜者,甲 甲 乙 甲 甲,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例,学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负,4.1,4,为这 3 个数字的,加权平均,称,数学期望的概念源于此,5,设,X,为离散,r.v.,其分布为,若无穷级数,其和为,X,的,数学期望,记作,E,(,X,),即,数学期望的定义,定义,绝对收敛,则称,6,设连续,r.v.,X,的,d.f.,为,若广义积分,则称此积分为,X,的,数学期望;,记作,E,(,X,),即,数学期望的本质,加权平均,它是一个数不再是,r.v.,定义,绝对收敛,7,例1,X B,(,n,p,),求,E,(,X,),.,解,特例,若,Y B,(1,p,),则,E,(,Y,),例1,8,例2,X N,(,2,),求,E,(,X,),.,解,例3,设,X,参数为,p,的几何分布，求,E,(,X,).,解,例2,9,常见,r.v.,的数学期望,（,P159）,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),10,分布,期望,概率密度,区间(,a,b,),上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),11,注意,不是所有的,r.v.,都有数学期望,例如,：柯西(,Cauchy,),分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在!,12,设离散,r.v.,X,的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续,r.v.,的,d.f.,为,f,(,x,),绝对收敛,则,若广义积分,r.v.,函数,Y=g,(,X,),的数学期望,13,设离散,r.v.(,X,Y,),的概率分布为,Z=g,(,X,Y,),绝对收敛,则,若级数,14,设连续,r.v.(,X,Y,),的联合,d.f.,为,f,(,x,y,),，Z=g,(,X,Y,),绝对收敛,则,若广义积分,15,例3,设(,X,Y,),N,(0,1;0,1;0),求,的数学期望.,解,例3,16,解,(1)设整机寿命为,N,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为,的指数分布，若将它们,(1)串联；(2)并联,成整机，求整机寿命的均值.（,P.142,例6）,例4,例4,17,即,N E,(5,),(2)设整机寿命为,18,可见,并联组成整机的平均寿命比串联,组成整机的平均寿命长11倍之多,.,19,E,(,C,)=,C,E,(,aX,)=,a E,(,X,),E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),当,X,Y,独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,数学期望的性质,常数,期望性质,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,注,20,例6,将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子,中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的,数学期望.,解一,设,X,为空盒子数,则,X,的概率分布为,X,P,0 1 2 3,例6,21,解二,再引入,X,i,i=,1,2,3,4,X,i,P,1 0,22,例7,设二维,r.v.(,X,Y,),的,d.f.,为,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,X,+,Y,),E,(,X Y,),解,例7,23,由数学期望性质,X,Y,独立,24,