材力02章-4拉压静不定问题.ppt

l,1.,轴向变形和虎克定律,绝对变形,:,l,1,P,P,线应变,:,（相对变形,无量纲）,2-8,拉压杆的变形,虎克定律：,（力与变形的关系）,（,1,）,（,2,）,(2),代入,(1),EA,抗拉,(,压,),刚度,E,弹性模量，常用,GPa,的单位（由实验测定）,轴向变形,微段变形,累加的结果：,变截面变轴力杆的拉压变形,当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常数，则应当先求,微段变形，然后将微段变形累加,微段,dx,变形量：,此公式更具有一般性，但是计算比较复杂。,解,:,dx,x,d,1,P,d,2,P,l,D,x,A,x,例：,求图示变截面杆的变形。,阶梯杆的拉压变形,将,阶梯,直杆分成,m,段，对每一段，轴力和横截面积均为常数，则等截面直杆公式适用。因此：,注意：,m,综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数,例,1,：,钢质阶梯杆受两力作用,。,AC,段横截面积,A,1,=20mm,2,，,CD,段横截面积,A,2,=10mm,2,。材料的弹性模量,E=200GPa,。试求,：,杆端,D,的伸长量,l,5,N,(kN),10,1m,0.5m,1m,B,C,D,1,0,KN,15KN,A,分析：,（,1,）画轴力图,（,2,）综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段为,3,段,2.,横向变形、泊松比,横向变形：,横向应变：,泊松比,(Poisson,s ratio):,（与 总是符号相反）,b,b,1,l,l,1,P,P,材料名称,E(GPa),碳 钢,196216,0.240.28,合 金 钢,190220,0.240.33,灰口铸铁,115160,0.230.27,铜及其合金,73130,0.310.42,铝 合 金,70,0.33,花岗石,49,石灰石,42,混凝土,1436,0.160.18,木材（顺纹）,1012,橡胶,0.008,0.47,表,1,几种常用材料的,E,和,的数值,1,.,拉伸与压缩静不定问题概念,所有的未知力均能由静力平衡方程确定的结构称为,静定结构,。,而仅仅用平衡方程不能求得所有的未知力的结构称为,静不定结构,或,超静定结构,。,静定结构,静不定结构,P,P,1,2,3,2,10,拉伸与压缩静不定问题,P,1,2,3,P,因此，求解静不定问题，,1,除了根据静力平衡条件列出平衡,方程外；,3,进而根据弹性范围内的力和变形,之间关系（胡克定律），即物理,条件，建立补充方程。,2,还必须在多余约束处寻找各构件,变形之间的关系，或者构件各部,分变形之间的关系，这种变形之,间的关系称为,变形协调关系,或,变,形协调条件,(compatibility,relations of deformation),.,P,1,2,3,解：列平衡方程,P,A,(,一次静不定,),例,1,图示结构，三根杆的材料及横截面积为,试求三杆的轴力。,找变形协调关系（几何方程）,1,2,3,A,A,D,L,3,D,L,2,a,a,物理方程：,补充方程,：,将物理方程代入几何方程得补充方程,P,1,2,3,变形协调关系（几何方程）,平衡方程与补充方程联立求解,P,A,这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解方法具有一般性，由此可归纳出：,求解静不定问题的一般方法,2.,根据结构的约束条件画变形图,找变形协调关系,列,几何方程,;,3,.,由力与变形,(,或温度与变形,),的物理关系,列,物理方程,;,4.,联立几何方程与物理方程建立,补充方程,;,1,.,画受力图,列,平衡方程,判断静不定次数,;,5.,补充方程与平衡方程联立解全部未知力,.,平衡方程,几何方程,物理方程,补充方程,例,1,求图示两端固定等直杆的约束反力,P,a,b,B,A,P,几何,方程,:,物理,方程,:,代入平衡方程解得,:,平衡方程,:,解：,解除约束,以约束反力代替,为得到变形协调方程，解除多余约束，代之以约束反力。分别考虑外力和多余约束反力产生的,位移叠加。,设,B,为多余约束。,多余约束,B,处的,实际位移必须为,0,P,B,A,l,P,B,A,l,R,解得,:,设杆的,B,段有初始间隙,，求约束反力,解：,几何,方程,:,设外力在,B,处的位移大于初始间隙,B,处的实际位移为初始间隙,P,B,A,l,P,B,A,l,R,P,a,b,B,A,物理,方程,:,解得,:,例,2,木制短柱的四角用四个,40,40,4,的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为,1,=160,M Pa,和,2,=12,MPa,，,弹性模量分别为,E,1,=200,G,Pa,和,E,2,=10,G,Pa,；,求许可载荷,P,。,几何方程,物理方程及,补充方程,：,解：,平衡方程,:,P,1,m,P,N,2,4N,1,P,y,P,y,4,N,1,N,2,250,250,解平衡方程和补充方程，得,:,求结构的许可载荷：,角钢面积由型钢表查得,:,A,1,=3.086,cm,2,P,1,m,P,250,250,P,1,m,P,250,250,超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。,例,3,：图示悬吊结构,ABC,梁刚性，各杆,EA,相同，求各杆内力,解：,1.,平衡方程,2.,几何方程,P,A,C,B,a,a,l,1,2,l,3.,物理方程,补充方程与平衡方程联立解得,:,温度应力和装配应力的概念,1,、制造误差引起的应力称为装配应力。超静定结构在制造误差等变形因素的影响下会引起应力。,2,、温度变化引起的应力称为温度应力。超静定结构在温度变化外界因素的影响下会引起应力。,一、,温度应力,由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。,式中：,为材料的线膨胀系数。,对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆件的变形为：,R,A,R,B,D,L,T,R,B,D,L,R,解：,1.,平衡方程,(,共线力系,),(,一次静不定,),例,5,：输热管道,AB,长为,L,，横截面积,A,，材料的弹性摸量,E,，热膨胀系数为,，,试求：当温度升高,T,(,o,C,),时管内的应力。,A,B,L,D,L,T,R,B,D,L,R,3.,物理方程,4.,补充方程,补充方程与平衡方程联立解得,:,5.,温度应力,2.,几何方程,例,6,：图示悬吊结构,AB,梁刚性，各杆,EA,相同，杆,3,短,求各杆装配应力,a,a,l,1,2,3,A,B,N,1,N,2,N,3,A,B,解：,1.,平衡方程,2.,几何方程,在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。,二、,装配应力,3.,物理方程,4.,补充方程,补充方程与平衡方程联立解得,:,a,a,l,1,2,3,A,B,N,1,N,2,N,3,A,B,P,P,P,P,P,P,应力集中：,理论应力集中系数,弹性力学计算,实验测试（光弹性实验,）,2-11,应力集中概念,由于结构或功能上的需要，使构件截面尺寸或形状发生突变,引起的应力急剧增加的现象。,对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。,圣文南,(Saint-Venant),原理,:,如右图所示，根据现代力学分析方法（有限元计算方法或光弹性测试方法）的研究结果显示：,由于在杆端外力作用的方式不同，将会对杆端附近处各截面的应力分布产生影响（应力非均匀分布），而对远离杆端的各个截面，,影响甚小或根本没有影响。,本次作业,2-42,2-43,