第3章模糊4-7.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,3.4,F,集,与普通集的相互转换,1,F,集的,-截集,定义1,设,A,F(,U,),0,1,(1),=,称为,A,的一个,-截集,称为阀值(或置信水平)；,由定义，与 都是,U,的子集，它们均为普通集。,(2)=,称为,A,的一个,-强截集。,0,x,1,A,例如：,1,2,3,0,Ker,A,=,x,|,x,U,A,(,x,)=1,Supp,A,与,Ker,A,分别称为,A,的,支集,与,A,的,核,。当,Ker,A,时，称,A,为,正规模糊集,。,例2,对例1 给出的,F,集,若取,U,=,u,1,u,2,u,10,，,则,Supp,A,=,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,，,Ker,A,=,u,3,因,Ker,A,故,A,为正规,F,集。,2.,分解定理,定义3,设,0,1,A,F(,U,),记,(,A,)(,u,)=,A,(,u,),称,A,为,与,A,的数积。,定理1,(分解定理)设,A,F(,U,),则,A,=,=,证明,对,u,U,有,(,)(,u,)=(,u,),=,=,=,A,(,u,),故,A,=,同理可证分解定理:,定理2,(分解定理),设,A,F(,U,),则,A,=,说明:,(1),若,A,为普通集,则,(,A,)(,u,)=,A,(,u,),=,A,(,u,),=,A,(,u,),其中,A,(,u,),为,A,的特征函数。,(2)可将,-截集写为,F,集的形式,如对例1中的,A,，,有,A,0.5,=,0,x,1,的,F,集的形式为,=,如对例1中的,A,，,有,0.5,A,0.5,=,证明,不妨设,1,2,n,(4.1),例3,若,A,中隶属度只有,n,个不同值,1,2,n,，,证明,A,=,1,2,n,对满足,1,2,的,有,(4.2),=,(4.3),因,1,所以有,1,=,同理,对,i,i,+1,(,i,=1,2,n,-1),及,n,0,的,有,=,n,A,n,A,=,n,而对大于,1,的,A,=。,所以由分解定理1可得,=,1,2,n,由(4.3):,例1,对下列,A,，,试验证分解定理1,。,A,=,解 取,A,的,-截集,我们得到,A,1,=,u,3,，,A,0.7,=,u,3,u,4,A,0.6,=,u,2,u,3,u,4,，,A,0.5,=,u,1,u,2,u,3,u,4,A,0.3,=,u,1,u,2,u,3,u,4,u,5,按说明（3）可将 写成模糊集的形式：,1,A,1,=，0.7,A,0.7,=,0.6,A,0.6,=,0.5,A,0.5,=,0.3,A,0.3,=,于是,=1,A,1,0.7,A,0.7,0.6,A,0.6,0.5,A,0.5,0.3,A,0.3,=(,)(,),(,)(,),=,+,=,=,A,+,这便验证了分解定理1。,3.5 扩展原理与模糊数,一.,扩展原理,定义1,（扩展原理）设,U,V,为两个论域，,f,是由,U,到,V,的映射,f,：,U,V,由,f,可诱导出一个新的映射（仍记作,f,）,f,：F（,U,）F（,V,），,A,f,(,A,)，,f,(,A,)(,y,)=,由,f,可诱导出另一个新的映射,记作,f,1,：F(,V,)F(,U,)，,B,f,1,(,B,);,f,1,(,B,)(,x,)=,B,(,f,(,x,),定理3,设,f,：,U,V,A,F(,U,),则,证明,对,y,V,若,f,1,(,y,),则,=(,f,()(,y,),=,f,(,)(,y,),=,（(,)(,x,)）,=,A,(,x,),=,f,(,A,),(,y,),若,f,1,(,y,)=,结论显然成立。,=(,A,(,x,),=(,A,(,x,),例1,给定从,U,=1,2,6,到,V,=,a,b,c,d,的映射,f,：,U,V,如下:,f,(,u,)=,设,A,=,，,由扩展原理,f,(,A,)(,a,)=,A,(,u,),=,A,(1),A,(2),A,(3)=1,同理,f,(,A,)(,b,)=,A,(,u,)=,A,(4),A,(5),=00.1=0.1,f,(,A,)(,c,)=,A,(,u,)=,A,(6)=0.9,f,(,A,)(,d,)=,A,(,u,)=0,所以,f,(,A,)=,则由,f,-1,(,B,)(,u,)=,B,(,f,(,u,),直接得出,又设,B,=,f,-1,(,B,)=,=,二,模糊数,平常所说的一个,数,，,比如4,，它,对应于,实数轴上的一个,点集4,，这个单点集的隶属函数如图3-18（1），这是严格数学意义上的数。在实际问题中，要描述一个量，有时与其用数轴上的一个点还不如用数轴上的一个区间更接近实际。比如我们说某类生长5年的树的高是4米，不如给出一个3.8-4.2的区间，即用所谓的,区间数,来描述树高。,所谓模糊数是指实数论域上的一类特殊的模糊集,。这里我们只从数的实际扩张加以介绍，而不准备给出严格定义。,而在实际上，如果我们对这种植物作了大量的抽样测量,统计株高的实际分布情况,可能得到是图3-18的(3)的图像。,它是一个模糊集的隶属函数，以4这一点隶属度最大（为1），向两边隶属度逐渐变小，我们可以称其为模糊数大约4。,0 4,x,1,0 3.8 4 4.2,x,1,0 4,x,1,(1)普通数 (2)区间数 (3)模糊数,图3-18,误差为零，正大，负大的模糊量可分别表示成如图3-19中的三个模糊数，它们均是三角形模糊数。,负大 零 正大,图3-19,模糊数的隶属函数可从统计获得，也可以根据实际问题具体,设定。在模糊控制中常采用三角形模糊数，即把模糊数的模糊边,沿设计成直线段，这样便于计算。如论域为某一被控量（温度，,流量等）的误差，则,3.6 模糊模式识别,对某个具体对象识别它属于何种类型的问题,称为,模式识别,。,用模糊数学的方法对事物进行识别和分类，这就是,模糊模式识别,。,一,模糊集的贴近度,定义1,设,A,B,C,F(,U,),若映射,N,：,F,(,U,),F,(,U,)0,1,满足条件：,N,(,A,B,)=,N,(,B,A,);,N,(,A,A,)=1;,若,A,B,C,，,则,N,(,A,C,),N,(,A,B,),N,(,B,C,),则称,N,(,A,B,),为模糊集,A,与,B,的贴近度。,常用的贴近度有:,1,汉明贴近度,设,U,=,u,1,u,2,u,n,则,当,U,为实数域上的闭区间,a,b,时，则有,N,(,A,B,),=,1-,N,(,A,B,),=,1-,2.,欧几里得贴近度,设,U,=,u,1,u,2,u,n,则,N,(,A,B,),=1,-,当,U,=,a,b,时，则有,N,(,A,B,),=1,-,3.,最小最大贴近度,N,(,A,B,),=,4.,最小平均贴近度,N,(,A,B,),=,5.,内、外积贴近度,N,(,A,B,)=(,A B,)(,A B,),C,其中,A B,=（,A,(,x,),B,(,x,)）,为,A,B,的内积；,A B,=（,A,(,x,),B,(,x,)）,为,A,B,的外积。,例1,设论域为实数集,R,。,A,B,F,(,R,),是具有正态隶属,函数的,F,集，,A,(,x,)=,，,B,(,x,)=。,试用内、外积贴近度求,N,(,A,B,)。,A,(,x,),=,，,B,(,x,),=,。,解,首先从图中知,A B,=,(,A,(,x,),B,(,x,)=0。,而由内积的定义知,A B,应为两曲线交点的纵坐标，即,A B,=,A,(,x,0,),其中,x,0,介 于,之间且适合方程,=（6.1）,0,x,0,x,1,故 (,A B,),C,=1,0,x,0,x,1,=,由(6.1)解出,x,0,=,于是,N,(,A,B,)=,A B,=,二.,隶属原则,给定,n,个模型,它们表示论域,U,上的模糊集,A,(1),A,(2),A,(,n,),F(,U,),u,0,U,是一个待识别的具体对象。我们可根据下述隶属原则断定,u,0,属于哪一个模型。,隶属原则,给定,A,(,i,),F(,U,),i,=1,2,n,又,u,0,U,如果,A,(,i,),(,u,0,),=max,A,(1),(,u,0,),A,(2),(,u,0,),A,(,n,),(,u,0,),那么可以认为,u,0,应划归,A,(,i,),这一类。,例2,三角形的识别。,令所有待考察的三角形构成论,域,U,，,即,U,=(,A,B,C,)|,A,B,C,A,+,B,+,C,=180,O,其中,A,B,C,分别代表三角形三内角的度数，从大到小排列。设有四个模型：等腰三角形,I,、,直角三角形,R,、,正三角形,E,、,非典型的三角形,T,。,正三角形,E,的隶属函数为,E,(,x,),=,1-(,A,-,C,),等腰三角形,I,的隶属函数为,I,(,x,)=1-min,A,-,B,B,-,C,直角三角形,R,的隶属函数为,R,(,x,),=,1,-,非典型三角形,T,有:,T,=,(,E,I,R,),c,=,E,c,I,c,R,c,考察一个具体的三角形,u,1,=(63,59,58,),计算它对四个的,F,集的隶属度，得,E,(,u,1,)=0.9722，,I,(,u,1,）=0.9833，,R,(,u,1,)=0.7，,T,(,u,1,)=,E,c,(,u,1,),I,c,(,u,1,),R,c,(,u,1,)=0.0167。,按照隶属原则，应把,u,1,判定为近似于等腰三角形。,再考察另一个具体的三角形,u,2,=(91,45,44,),计算出,E,(,u,2,)=0.7389,I,(,u,2,)=0.9833,R,(,u,2,)=0.9889,T,(,u,2,)=,E,c,(,u,2,),I,c,(,u,2,),R,c,(,u,2,)=0.0111。,按照隶属原则，应把,u,2,判定为近似于直角三角形。由于,I,(,u,2,),R,(,u,2,),所以也可把,u,2,判定为近似等腰三角形。,三.,择近原则,择近原则,设,A,(,i,),B,F(,U,),i,=1,2,n,。,若存在,i,，,使,N,(,A,(,i,),B,)=max,N,(,A,(1),B,),N,(,A,(2),B,),N,(,A,(,n,),B,),则认为,B,与,A,(,i,),最贴近,即判,B,与,A,(,i,),为一类,该原则称为,择近原则。,例3,点阵文字的识别。,点阵文字是拉丁字母及阿拉伯数字的一种表示法。所,谓点阵文字就是将每个字母和数字等分成,m,n,个小方,格，然后在每个小方格中或者填上全黑色，或者空成全,白色.,例如上图中，前者是字母,H,，,后者是数字6。这里我们将每个字符等分成 75,=,35 个小方格。约定把暗色小方格记作 1，白色小方格记作 0，并按照先从左到右，后从上到下的次序把 35 个小方格排成行向量，于是,H,=,（10001 10001 10001 11111 10001 10001 10001）,6,=,(11110 10000 10000 11111 10001 10001 11111),这些向量是标准的,每个小方格或者全黑,或者全白,所以把这样的向量叫做,标准向量,。,然而，实际上由于打印时着色不均匀以及可能产生的污点，会使实际的点阵文字变成非标准的，通过传感器所获得的信息就不会和标准向量一致。,使用电脑识别点阵文字时，通常总是把 37 个标准向量置于内存中，这些标准向量包括 26 个字母,A,B,Z,，10,个数字0,1,9 和 1 个空白符号,。,对于每个待识别的点阵文字,则通过光电输入接受每个小方格的信息,由于打印的缺陷,这些信息不一定为 0 或 1,往往介于 0,1 之间。我们把打印缺陷等偶然因素叫做,噪声,。我们要解决的问题是消除噪声干扰，获得正确的识别结果。,以下是,PPWang,等人曾经用过的方法。设,=(,1,2,35,)，,i,0,1，,为待识别的点阵文字向量，,，,0,1，,j,=1,2,37,为标准向量。,计算数值,N,(,A,(,j,),)=,(6.2),再,取最大者,，比如,N,(,A,(4),),最大，则可认为,=,A,(4),。,其中（6.2）式也是一种计算,贴近度的公式,它虽然不满足贴近度的,全部要求,但用作贴近度的近似公式还是有效的。实验结果为：在噪,声达到31.43%的情况下,正确识别率大于 90%。,3.7 模糊关系,1.,普通关系,定义1,给定集合,A,和,B,，,笛卡尔积,A,B,的子集,R,称为,A,到,B,的关系，简称为,关系,。若,R,为关系，当(,a,b,),R,时,称,a,b,适合关系,R,记作,aRb,；,否则称,a,b,不适合关系,R,记作,a b,。,A,到,A,的关系也称为,A,上关系。,例如，设,A,为某校全体学生的集合，,R,为,A,上同班,关系，若,R,=(,张,王),(王,张),(张,李)，,则表示张与王同班，张与李同班。,若,A,B,为有限集或可数无限集,A,到,B,的关系可用关系矩阵来表达。设,A,=,a,1,a,2,a,n,，,B,=,b,1,b,2,b,m,R,为,A,到,B,的关系,R,的关系矩阵,定义为,：,M,(,R,)=,，其中,例1,设,A,=,a,1,a,2,a,3,，,B,=,b,1,b,2,b,3,b,4,，,A,到,B,的关系,R,与,A,上关系,S,分别为,R,=(,a,1,b,1,),(,a,1,b,3,),(,a,2,b,2,),(,a,3,b,2,),(,a,3,b,4,),S,=(,a,1,a,1,),(,a,1,a,3,),(,a,2,a,2,),(,a,3,a,1,),则,M,(,R,)=，,M,(,S,)=,定义2,设,R,为非空集合,A,上的关系。,(,i),若对,a,A,有,aRa,，,则称,R,有自反性；,(,ii),若对,a,b,A,当,aRb,时,必有,bRa,，,则称,R,有对称性；,(,iii),若对,a,b,A,当,aRb,bRa,时，必有,a,=,b,，,则称,R,有反,对称性；,(),若对,a,b,c,A,当,aRb,bRc,时,，必有,aRc,，,则称,R,有传递性；,(),若,R,同时具有,自反性,对称性,和,传递性,则称,R,为,A,上,等价关系。,例2,(1),设,R,为实数集,R,上的=关系具有自反性,对称性,反对称性和传递性,是,R,上的一个等价关系,；,R,上的关系具有自反性反对称性和传递性，不是等价关系。,(2),设,P,为中国人的集合,则,P,上的同姓关系有自反性,对称性和传递性是,P,上的一个等价关系；,P,上朋友关系仅有自反性和对称性，不是等价关系。,例2,(3),设,A,=1,2,3,A,上关系,R,=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),可验证,S,=(1,1),(1,2),(2,3),R,有自反性,对称性和传递性是一个等价关系；,S,仅有反对称性，不是等价关系。,定义3,设,R,为非空集合,A,上的等价关系,，,x,A,A,的子集,x,R,=,y,|,y,A,并且,xRy,称为,x,关于,R,的等价类，简称,x,的等价类或等价,类。,x,称为此等价类的代表元。,x,R,可简记为,x,。,例3,(1),设,R,为,中国人的集合,P,上的,同姓,关系，则,张三,=,y,|,y,P,并且,张三与,y,同姓,=,y,|,y,P,并且,y,姓张,例3,(2),设,R,为,整数集合,Z,上的模3 同余关系，即,R,=(,x,y,),|,x,y,Z,并且,x,y,(,mod 3),可验证,R,为,Z,上等价关系，有,0=,3,n,|,n,Z,1=,3,n,+1,|,n,Z,2=,3,n+,2|,n,Z,等价类的性质：,设,R,为非空集合,A,上的等价关系，则,(1),x,A,x,；,(2),x,y,A,或,x,=,y,，,或 ,x,y,=;,(3),x,=,A,定义4,若集合,A,的子集族,(,P(,A,),具有性质:,(1),；,(2),A,i,A,j,若,A,i,A,j,则,A,i,A,j,=;,(3),A,i,=,A,。,则称,为,A,的一个划分，,中的元素称为划分块。,例,取,A,=1,2,3,4，,1,=1,2,3,4,是,A,的一个划分；,2,=1,3,4,3,=1,2,2,3,4,均不为,A,的划分。,下面的定理给出了等价关系与划分的关系。,定理4,(1),设,R,为非空集合,A,上的一个等价关系,A,/,R,为,A,的所有等价类构成的集合(称为商集),则,A,/,R,是,A,上的一个划分。,(2),设,为,A,的一个划分,关系,R,=(,x,y,)|,x,y,A,并且,x,与,y,同块,是,A,上等价关系，并且,R,的商集,A,/,R,=。,例如，对例 3(1)中的关系,R,P,/,R,=,张三,李四,王五,是,P,上的一个划分；对 例3(2)中的,R,Z,/,R,=0,1,2,是,Z,的一个划分。,定理4表明等价关系具有聚类功能，并且等价关系与,划分一一对应。,2.,模糊关系,定义5,给定论域,U,V,笛卡尔积,U,V,上的,F,集,R,F(,U,V,),称为,U,到,V,的一个模糊关系,隶属度,R,(,u,v,),称为,u,v,对关系,R,的相关程度。当,U,=,V,时，,R,又称,U,上,的模糊关系。模糊关系简称为,F,关系。,例4,设,U,=,u,1,u,2,u,3,表示赵，钱，孙三人的集合，,V,=,v,1,v,2,，,表示两种文学作品,A,和,B,的集合。,R,=,+,确定了一个从,U,到,V,的,F,关系。其中,R,（,u,1,v,1,）=0.9,表示赵对作品,A,相当熟悉；,R,=,u,2,v,2,=0.1,表示钱对作品,B,不太熟悉。,例5,设论域,U,为实数轴。,U,上远远大于关系,R,是,U,上,F,关系，其中,R,(,x,y,),=,与普通关系一样，当,U,V,有限时,U,到,V,的关系,R,也,可用矩阵来表达。若,U,=,u,1,u,2,u,n,，,V,=,v,1,v,2,v,m,，,则,R,可表为：,R,=,如例4 的,R,可表为,说明:,(1),如(7.1)这样的其元素由 0,1 中的数组成的矩阵,我们也称它为,模糊矩阵,或,F,矩阵,。,R,=,(7.1),(2),F,矩阵既然是有限论域上的,F,关系的一种表达形式，因此,F,矩阵的运算，截矩阵等等都可以沿用,F,集的有关规则。例如，对(7.1)式的,F,矩阵的 0.8 截矩阵为,R,0.8,=,若用集合表达,则,R,0.8,=,(,u,1,v,1,),(,u,1,v,2,),(,u,3,v,2,)。,一些特殊,F,关系(,或,F,矩阵),设,R,为,U,到,V,的,F,关系。,(1),R,的,补,R,c,:,R,c,(,u,v,)=1-,R,(,u,v,),(,u,v,),U,V,。,(2),R,的转置矩阵(关系),R,T,:,R,T,(,u,v,)=,R,(,v,u,),(,u,v,),U,V,。,(3),恒等关系,I,:,若,X,上的模糊关系,I,满足,I,(,x,y,),=,则称,I,为,X,上的恒等关系。,(4),零关系,O,：,若,U,到,V,的,F,关系,O,满足,O,(,u,v,)=0,(,u,v,),U,V,则称,O,为,U,到,V,的零关系。,(5),全称关系,E,：,若,U,到,V,的模糊关系,E,满足,E,(,u,v,)=1,(,u,v,),U,V,则称,E,为,U,到,V,的全称关系。,F,关系的运算,对任意模糊关系,R,S,，,R,i,均有,(1),(,R,c,),c,=,R,；,(2),(,R,T,),T,=,R,；,(3),R,E,=,E,，,R,E,=,R,；,(4),R,O,=,R,，,R,O,=,O,；,(5),O,R,E,；,(6),=,=；,(7),若,R,S,则有,R,c,S,c,。,3,F,关系的合成,(1),普通关系的合成,设,R,为,A,到,B,的关系，,S,为,B,到,C,的关系，,R,与,S,的,合成,R,S,是一个,A,到,C,的关系，定义为,R,S,=(,a,c,)|,b,B,有,aR,b,且,bS,c,例6,设,A,是所有人的集合。,R,为,A,上兄弟关系，,S,为,A,上,父子关系，若有,a,(,R,S,),c,则存在,b,A,，,有,aRb,（,表明,a,是,b,的哥哥）和,bSc,（,表明,b,是,c,的父亲），,因此,a,是,c,的父亲的哥哥，,所以,R,S,含于,A,上叔侄关系。,若将普通关系的合成的定义用特征函数来描述，则为,由此推出,(,R,S,)(,a,c,)=,R,(,a,b,),S,(,b,c,),于是普通关系的合成自然地推广为 以下定义。,(,R,S,)(,a,c,)=1,使,R,(,a,b,),S,(,b,c,)=1,定义6,给定,F,关系,R,F,(,U,V,),以及,S,F,(,V,W,)，,它们的合成记作,R,S,F(,U,W,)，,其隶属函数为,(,R,S,)(,u,w,)=,R,(,u,v,),S,(,v,w,),说明：(1),当,U,V,W,均是有限论域时，可用矩阵描述,F,关系的合成：设,R,=，,S,=，,则,R,S,为,R,S,=，,其中,q,i,j,=(,r,ik,s,kj,)，,(2),R,S,也称为模糊矩阵的乘法，它与普通矩阵乘法的运算过程相似，只不过将运算+改为（取大），运算改为（取小）。,显然，若,R,S,是模糊矩阵,则当,R,的列数等于,S,的行数时，才能求,R,S,。,例7,设,R,=,，,S,=,，,则,Q,=,R,S,=,（,q,i,j,）=（,(,r,i,k,s,k,j,)）,=,定理5,设,R,F(,U,V,)，,S,Q,F(,V,W,)，,P,F(,W,Z,)，,那么模糊关系的合成运算具有下列性质：,(1),结合律 (,R,S,),P,=,R,(,S,P,)；,(2),对并的分配律,R,(,S,Q,)=(,R,S,)(,R,Q,),(,S,Q,),P,=(,S,P,)(,Q,P,),；,(3),对交的次分配律,R,(,S,Q,),(,R,S,)(,R,Q,),(,S,Q,),P,(,S,P,)(,Q,P,)；,(4),单调律,S,Q,R,S,R,Q,且,S,P,Q,P,；,(5),转置律 (,R,S,),T,=,S,T,R,T,；,(6),R,I,=,I,R,=,R,，,其中,I,为,U,上恒等关系。,证明,(5),(,w,u,),W,U,，,(,R,S,),T,(,w,u,)=,(,R,S,),(,u,w,),=,R,(,u,v,),S,(,v,w,),=,R,T,(,v,u,),S,T,(,w,v,),=,S,T,(,w,v,),R,T,(,v,u,),=(,S,T,R,T,)(,w,u,),(,R,S,),T,=,S,T,R,T,最后引入一个记号：,R,R,=,R,2,，,R,2,R,=,R,3,，,并记 。,