积分变换第二章拉氏变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Laplace,变换,第一节,Laplace,变换的定义,第二节,Laplace,变换的性质,第三节,Laplace,逆变换,第四节 卷积,第五节,Laplace,变换的应用,1,1.,定义,：,第一节 拉氏变换的定义,2,2.,拉氏变换的存在定理,若函数,f,(,t,),满足,:(1),在,t,0,的任一有限区间上分段连续,;(2),当,t,时,f,(,t,),的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数,M,0,及,c,0,使得,|,f,(,t,)|,M,e,ct,0,t,c,上一定存在,并且在,Re(,s,),c,的半平面内,F,(,s,),为解析函数,.,3,例,1,求单位阶跃函数,解,根据拉氏变换的定义,有,这个积分在,Re(,s,)0,时收敛,而且有,4,例,2,求指数函数,f,(,t,)=e,kt,的,拉氏变换,(,k,为实数,).,这个积分在,Re(,s,),k,时收敛,而且有,其实,k,为复数时上式也成立,只是收敛区间为,Re(,s,)Re(,k,),解,根据拉氏变换的定义,有,5,第二节,Laplace,变换的性质与计算,本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的,.,为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为,c,.,在证明性质时不再重述这些条件,.,1.,线性性质,:,6,例,3,求,f,(,t,)=,sin,kt,(,k,为实数,),的拉氏变换,7,同理可得,2.,微分性质,:,原像,函数的微分性：,8,此性质可以使我们有可能将,f,(,t,),的微分方程转化为,F,(,s,),的代数方程,.,特别当 时，有,推论：,9,像函数的微分性：,推论,10,例,4,求,(,k,为实数,),的拉氏变换,.,解,11,例,5,求 的拉氏变换（,m,为正整数）。,12,3.,积分性质,例,6,求,的拉氏变换,.,13,函数,f,(,t,-,t,),与,f,(,t,),相比,f,(,t,),从,t,=0,开始有非零数值,.,而,f,(,t,-,t,),是从,t,=,t,开始才有非零数值,.,即延迟了一个时间,t,.,从它的图象讲,f,(,t,-,t,),是由,f,(,t,),沿,t,轴向右平移,t,而得,其拉氏变换也多一个因子,e,-,s,t,.,O,t,t,f,(,t,),f,(,t,-t,),14,例,7,求函数,的拉氏变换,.,1,u,(,t,-,t,),t,t,O,解,15,例,8,求 的拉氏变换,.,16,6.,相似性：,7,象函数积分性质,:,则：,17,例,9,求函数,的拉氏变换,.,解,18,第三节,Laplace,逆变换,求逆变换的方法,：,一、利用一些常见的函数的拉氏变换表达式,。,二、利用下面的结论：,19,R,O,实轴,虚轴,L,C,R,b,+j,R,b,-,j,R,为奇点,b,解析,20,定理,2,设,f(t,),满足拉氏变换存在定理条件，,F(s,),是,f(t,),的象函数，在,f(t,),的连续点处：,综上知：,21,解,22,解,23,第四节,卷积,1.,卷积的概念,：,两个函数的卷积是指,如果,f,1,(,t,),与,f,2,(,t,),都满足条件,:,当,t,0,时,f,1,(,t,)=,f,2,(,t,)=0,则上式可以写成：,24,卷积定理,注：卷积公式常用于计算逆变换,.,25,例,1,26,例,2,解,27,第五节,Laplace,变换的应用,对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式,.,所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统,.,这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位,.,本节将应用拉氏变换来解线性微分方程,.,28,微分方程的拉氏变换解法,首先取拉氏变换将微分方程化为,象函数的代数方程,解代数方程求出,象函数,再取逆变换得最后的解,.,如下图,所示,.,象原函数,(,微分方程的解,),象函数,微分方程,象函数的,代数方程,取拉氏逆变换,取拉氏变换,解代数,方程,29,例,1,求解,。,解,30,例,2,求解,解,31,