行列式的展开定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,行列式的展开定理,n,阶行列式的性质,性质,1.1,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,1,.2,交换行列式的两行,(,或两列,),的位置,则行列式的绝对值不变而符号改变,.,推论,1.1,如果一个行列式的两行,(,或两列,),完全相同,则这个行列式等于零,.,性质,1.3.,把一个行列式的某一行,(,列,),的所有元素乘以同一个数,k,等于用,k,乘这个行列式,.,推论,一个行列式中某一行,(,列,),中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边,.,推论,1.2,如果一个行列式有两行,(,列,),的对应元素成比例,那么这个行列式等于零,.,性质,1,.4,设某行列式的第,i,行的所有元素都是两项之和,则,:,对于列也有类似的性质,.,性质,1,.5,把,行列式的某一行,(,列,),的元素乘以同一数后加到另一行,(,列,),的对应元素上,行列式不变,.,1.4,行,列,式按行（列）展,开,一,.,余子式、代数余子式的定义,二,.,按行,(,列,),展开定理,三,.,例,5,6,，,7,一,1.,余子式,:,n,(,n,1),阶行列式,D,的某一元素,a,ij,的,余子式,M,ij,是指在,D,中去掉,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列后所得到的,n,1,阶子式,.,例,2.,在四阶行列式,中,a,23,的余子式是,:,3.,代数余子式,:,设,M,ij,是,n,(,n,1),阶行列式,D,的元素,a,ij,的余子式,则称,A,ij,=(1),i,+,j,M,ij,是,a,ij,的,代数余子式,.,例,3.,在四阶行列式,中,a,23,的代数余子式是,:,二,.,按行,(,列,),展,开定理,引,理,1.1,如果,n,阶,行列式,D,的第,i,行,(,或列,),中的,元素除 外,都是零,则,D,=,a,ij,A,ij,=(1),i,+,j,a,ij,M,ij,.,定理,1.2,n,阶,行列式,D,等于它的任一行,(,列,),的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和,.,即,:,定理,1.4.3,n,阶,行列式,D,的某一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,.,即,当,i,j,时,:,第,i,行,原来的第,j,行，用第,i,行去换,行列式有两行,相同，值为,0,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定,简化计算，因为把一个,n,阶行列式换成,n,个（,n,1,）,阶行列,式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一,列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理,在理论上是重要的。,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简,化行列式计算：计算行列式时，可,先用行列式的性质将某,一行（列）化为仅含,1,个非零元素,，,再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式,，,如此继续下去，直到化为三阶或,二阶行列式。,另外，一些含变元的高阶（如,n,阶）行列式，不可能按照上述方法完全展开，也需要利用行列式的展开定理，,选择,n,阶行列式的某个含有较多零元的行（列）展开，化为较低阶的行列式，进而得到递归公式,。,例,1,计算行列式,解,按,第一行展开，得,例,3,计算,解,本例中利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低,1,阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,证,用,数学归纳法,例,4,证明范德蒙德,(,Vandermonde,),行列式,n-,1,阶范德蒙德行列式,例,6,求三对角行列式的值,例,7,：,1.5,克莱姆规则,(1),本节将给出当方程的个数与数的个数相等时线性方程组有唯一解的条件,并用行列式表示出这个唯一的解,.,一,.,线性方程组的系数行列式,设给定了一个有,n,个未知数,n,个方程的方程组,:,由它的系数构成的,n,阶行列式,称为方程组,(1),的,系数行列式,.,二,.,线性方程组有唯一解的条件,(,克莱姆规则,),定理,1.4(,克莱姆规则,),线性方程组,(1),当它的系数行列式,D,0,时有且仅有一个解,:,其中,D,j,是把行列式,D,中的第,j,列元素用方程组,(1),的常数项,b,1,b,2,b,n,代替后得到的行列式,.,例,解线性方程组,