行列式的展开.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,行列式按,行（列）展开,主要内容：,1.代数余子式,2.展开定理,1.4,三阶行列式：,（,一）,按某一行（列）展开,余子式,三阶降成了二阶！,则,代数余子式,余子式,讨论,n,阶行列式,：,n-1,阶行列式,A,ij,=,(-1),i+j,M,ij,a,ij,的,代数余子式,定理,1.4,(P.23),按行,展开,按,列展开,即：,D,等于第,i,行（,列,）元素,与,对应的代数余子式相乘相加。,证,（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）,“,1”,不,与,其余数构成逆序,(3),四阶行列式按第三行展开的结果,n,阶行列式按第,i,行展开：,P.26,例,2,计算行列式,解,按第三列展开,其中：,展开原则：,选,0,元素最多的行（,列,）展开。,所以,注,：,对于三阶行列式，也可展成二阶，零元素多时可直接计算；,用展开定理之前，可先用性质将某行（列,),化成只含一个非零元。,解,2,按,第二行,展开,按,第一列,展开,P.28,例,3,当,k,为何值时,解,即,：,第,i,行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。,定理,1.5,（,P.25),证,0=,i,行,s,行,综合定理,1.4,，定理,1.5,对于,行,：,对于,列,：,例,解法一：,解法二：,*（二）,按某,k,行（列）展开,(,Laplace,展开）,子式及其余子式,取第,1,、,2,行与第,1,、,4,列交点位置的元构成一个二阶行列式：,称,S,为,D,的一个的,2,阶,子式,称,M,为,S,在,D,中的,余子式,为,S,在,D,中的,代数余子式,S,的,行标,之和,S,的,列标,之和,定义,(P.30),在,n,阶行列式,D,中，任取,k,行、,k,列的交点上的,k,2,个,元按原来的相对位置组成的,k,阶行列式,S,，,称为,D,的一个,k,阶子,式,。在,D,中划去,S,所在的,k,行与,k,列，余下的元按原来的相对位,置组成的,n,-,k,阶行列式,M,，,称为,S,的一个,余子式,。,设,S,的各行位于,D,中第,行,S,的各列位于,D,中第,列 ，那,么称,为,S,的,代数余子式,。,定理,1.6,(Laplace),若在行列式,D,中任意,取定,k,个行,，则由这,k,个行组成的所有,k,阶子式与它们,的代数余子式的乘积之和等于,D,。,当,k,=1,时，此定理即,按行展开，,t=n,。,此定理可实现大幅度降阶的目标。,设,D,的某,k,行组成的所有,k,阶子式分别为,它们相应的代数余子式分别为,则,例,(P.31),用,拉普拉斯定理求行列式的值：,解,按,第一、第二行展开,(,含,0,多），这时任何两列交叉点上的元素可构成二阶子式，共有,则,1,4,列；,2,4,列；,3,4,列对应的,M,i,=0.,1,2,列,1,3,列,2,3,列,练习,1,2,列,按,1,2,行展开,显然，按,Laplace,展开计算并没有减少，但特殊情况却有很多优势。展开的,原则：,值为零的子式越多越好,。,例,证,：取前,k,行展开即得。,推广：,(,其中,A,k,为方阵,),特别：,(,其中,A,k,为方阵,),注：,对,右,上三角形的也成立,P.28,例,3,续,当,k,为何值时,解,练习：,（,P.38,第,11,题（,3,）用前面的结果解）,或,原式,接小结,练习,计算,解,原则：,选,0,元素最多的行（,列,）展开，或先化简再展开。,由,展开定理,解法二,此法,最简单！只算一个二阶行列式。,P.29,例,4,求证,证法,1,按第,1,列,展开,n-1,阶,证法,2,按第,n,行展开,再仿证法,1,。,例,注意,：对角线上一定是方阵，非对角线上可以是长方形的,降,成了二阶和三阶行列式,为,对称行列式,例,为,反对称行列式,例,是,反对称行列式,不是,反对称行列式,两种重要行列式,加到P.17,例,（,P.17,）,证明,奇数阶,反对称行列式的值为零,。,证,当,n,为,奇数时有,