线性代数 1.1 n阶行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线 性 代 数,Linear Algebra,2012,1,办公室,博学楼,1305,电子邮箱,xuj,电话,64492560,教学辅助平台,(,tas,),线性代数,(,许静,),答疑时间,每周四下午,2,：,30,5,：,00,2,教材及参考书,经济数学基础第二分册 线性代数,第,4,版,龚德恩等编 四川人民出版社,高等代数,北京大学几何代数教研室编 高等教育出版社,线性代数题型归纳与练习题集,黄先开主编 文灯系列,线性代数,解题思路和方法,世界图书出版公司,3,关于作业,从主观上要重视作业。,独立完成；抄答案按不交处理。,加强课堂秩序管理,随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。,关闭手机，或设为震动。,怎样学好数学,信心,方法：模仿,理解,提问会用掌握,坚持,4,线性代数课程的地位和作用,线性代数主要处理,线性关系,的问题，其理论不仅渗透到数学的许多分支中，而且在物理、化学、工程技术、经济、管理、生物技术等领域有着广泛的应用，如莱斯利人口模型、投入产出数学模型、线性规划模型等。,该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常用的,矩阵、线性方程组,等基本知识,本课程是后继课程的基础，如运筹学，经济计量学，投资与决策,线性规划,等。,随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代数中的工具，如,Matlab,等应用软件。数学建模的首选软件。,5,线性代数的特点,抽象,“,难得糊涂,”,:,忽略差别,提取共同点,例如,：切线斜率、速度、经济学中的边际量,.,，共同点是导数；同理，线性代数中的不同问题有可能都归结为解一个线性代数的问题。,6,第一章 行列式,学习要求,理解行列式的定义及性质。,掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算行,列式的方法。,掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开,),并会用于简化行列式的计算。,掌握克莱姆法则。,7,1.1,n,阶行列式,一、二阶、三阶行列式,二、排列及其逆序数,三、,n,阶行列式,8,例,1,：求解二元一次线性方程组,由方程组的四个系数确定,.,用消元法求解得,一、,二阶、三阶行列式,9,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排,称列）的数表,定义,即,(1),(1),10,二阶行列式计算方法：（对角线法则,）,取,“,-,”,号,（副,对角线,）,取,“,+,”,号,（主,对角线,）,记,对于二元线性方程组,系数行列式,11,对系数行列式,则二元,线性方程组的解为,12,例,2,：求解三元一次线性方程组,13,取,“,-,”,号,（副,对角线,）,取,“,+,”,号,（主,对角线,）,三阶行列式计算方法：对角线法则,【,注,】,三阶行列式包括,3!,6,项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。,14,例,3,计算行列式,15,例,4,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,16,同理可得,故方程组的解为,:,17,问题,如何计算四阶行列式？,说明,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,思考,为什么不能用类似的对角线法则计算？,18,n,级排列,：,由,n,个自然数，,，,n,组成的有序,数列 称为一个,n,级（阶、元）排列,.,逆序：,一个排列中的任意,两数,，如大数在小数,之前排列，则构成一个逆序。,逆序数：,n,级排列 中逆序的总个数，,记做 。,二、,排列及其逆序数,例如,排列,32514,中，,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,(,32514)=5,19,奇排列,：,逆序数为奇数的排列。,偶排列,：,逆序数为偶数的排列。,对换：,某,两数,位置互换称为排列的一次对换。,例,1,求,i,j,使六级排列,2 5,i,4,j,1,为偶排列。,2 5,3,4,6,1,2 5,6,4,3,1,（,3,6,）,【,注,】,逆序数为,0,的排列,称作偶排列,如,.,该排列称为,自然序排列。,解 当,i=3,j,=6,时，,(,253461)=,7,，,不对,当,i=6,j,=3,时，,(,256431)=,10,，,正确。,20,证明,相邻两个数对换,除 外，其它元素的逆序数不改变,.,（，）,结论,对换相邻两个元素，排列改变奇偶性,.,排列奇偶性的两条性质,定理,1,：,一个排列经过任意,一次,对换，改变其奇偶性。,21,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以,一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性,.,不相邻两个数对换,22,证明,设这,n,!,个,n,级排列中,共有,s,个奇排列,t,个偶排列,，,现证,s,=,t,.,故必,有,奇排列,偶排列,所以,前两个数对换,个,个,偶排列,奇排列,所以,前两个数对换,个,个,定理,2:,n,个元素,(,n,),共有,n,!,个,n,级排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有 个,.,23,先分析三阶行列式的计算,归纳每项内容及符号的,规律,三阶行列式共有,6,项，即 项,（,1,）,每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（,2,）,符号,：,当行标按,1,，,2,，,3,排列时，每项都可写成,每项符号决定于列标排列的逆序数，即,其中 为列标全排列,.,三、,n,阶行列式,24,定义,n,阶行列式,是所有不同行、不同列的,n,个元素的,乘积,的,代数,和,。,一般项,符号,25,n,阶行列式的特点,(1),一般项,：,取自不同行不同列的,n,个,元素之积，,行号按自然序,1,2,n,排列,。,(2),求和项数,：,所有不同行不同列的元素的乘积共有,n,!,项。,(3),各项符号,：,当行号按自然序,1,2,n,排列，列号构成奇排列，取“”，偶排列，取“”。,(4),行列式记号,：,第,i,行第,j,列的元素记做,a,ij,行列式简记为,|,a,ij,|,，,det(,a,ij,).,(5),一阶行列式,：,|,a,11,|,a,11,。,26,例,1,判断下列各项是否为 四 阶行列式中的项，若是，求符号。,27,n,阶行列式的等价定义,（,1,）,行,、,列下标任意排列,（,2,）列按自然序排列,行号,逆序数,列号,逆序数,行号,逆序数,视情况灵活选用定义,28,主对角线,例,2,：,计算,下三角形,行列式,解：,记住结论,29,主对角线,上三角形行列式,对角形行列式,30,例,3,：,计算行列式的值,3,0,6,0,5,4,9,7,4,0,6,8,3,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6,7,2,4,5,8,31,一般的，,32,易见,33,例,4,已知,34,解,含 的项有两项,即,对应于,35,例,5,计算行列式,思考：,D,n,与某些三角形行列式非常接近，能否借助三角形行列式来计算呢？,解 用定义计算,36,小结,37,是所有不同行、不同列的,n,个元素的,乘积,的,代数,和。,n,阶行列式,38,作业：习题一,P28,1,（,7,）,3,（,4,）,5,（,2,）,6,（,3,）,7,（,1,）（,3,）,39,