丁玉美_数字信号处理_第2章_时域离散信号和系统的频域分析.ppt

,*,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换,之间的关系,2.5 序列的,Z,变换,2.6 利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间,t,的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述,。,频域分析是用,Z,变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。,本章学习序列的傅里叶变换和,Z,变换，以及利用,Z,变换分析系统和信号频域特性。本章学习,内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义,定义,(2.2.1),为序列,x(n),的傅里叶变换，可以用,FT(Fourier Transform),缩写字母表示。,FT,成立的充分必要条件是序列,x(n),满足绝对可和的条件，即满足下式：,(2.2.2),为求,FT,的反变换，用,e,jn,乘(2.2.1)式两边，并在,-,内对,进行积分，得到,(2.2.3),(2.2.4),式中,因此,上式即是,FT,的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是,FT,存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序,列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。,例 2.2.1 设,x(n)=R,N,(n)，,求,x(n),的,FT,解：,(2.2.5),设,N=4，,幅度与相位随,变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1,R,4,(n),的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质,1.,FT,的周期性,在定义(2.2.1)式中，,n,取整数，因此下式成立,M,为整数(2.2.6),因此序列的傅里叶变换是频率,的周期函数，周期是2,。,这样,X(,e,j,),可,以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式，,x(n),是其系数。,图 2.2.2,cos,n,的波形,2.线性,那么,设,式中,a,b,为常数,3.时移与频移,设,X(e,j,)=FTx(n)，,那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),4.,FT,的对称性,在学习,FT,的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。,设序列,x,e,(n),满足下式：,x,e,(n)=x*,e,(-n),(2.2.10),则称,x,e,(n),为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将,x,e,(n),用其实部与虚部表示,x,e,(n)=,x,er,(n)+,jx,ei,(n),将上式两边,n,用-,n,代替，并取共轭，得到,x*,e,(-n)=,x,er,(-n)-,jx,ei,(-n),对比上面两公式，左边相等，因此得到,x,er,(n)=,x,er,(-n),(2.2.11),x,ei,(n)=-,x,ei,(-n)(2.2.12),由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列,x,o,(n)=-x*,o,(-n)(2.2.13),将,x,0,(n),表示成实部与虚部如下式：,x,o,(n)=,x,or,(n)+,jx,oi,(n),可以得到,x,or,(n)=-,x,or,(-n)(2.2.14),x,oi,(n)-,x,oi,(-n)(2.2.15),即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,例 2.2.2 试分析,x(n)=e,jn,的对称性,解：,将,x(n),的,n,用-,n,代替，再取共轭得到：,x*(-n)=e,jn,因此,x(n)=x*(-n)，,满足(2.2.10)式，,x(n),是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到,x(n)=,cos,n+j sinn,由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n)(2.2.16),式中,x,e,(n),x,o,(n),可以分别用原序列,x(n),求出，将(2.2.16)式中的,n,用-,n,代替，再取共轭得到,x*(-n)=,x,e,(n)-x,o,(n)(2.2.17),利用,(2.2.16),和,(2.2.17),两式，,得到,(2.2.18),(2.2.19),利用上面两式，可以分别求出,x,e,(n),和,x,o,(n)。,对于频域函数,X(,e,j,),也有和上面类似的概念和结论：,X(,e,j,)=,Xe,(,e,j,)+Xo(,e,j,)(2.2.10),式中,X,e,(,e,j,),与,X,o,(,e,j,),分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足,X,e,(,e,j,)=X*e(e,-j,),(2.2.21),X,o,(,e,j,),=-X*o(e,-j,),(2.2.22),同样有下面公式满足：,(2.2.23),(2.2.24),(,a),将序列,x(n),分成实部,x,r,(n),与虚部,x,i,(n),x(n)=,x,r,(n)+,jx,i,(n),将上式进行,FT，,得到,X(e,j,)=,X,e,(e,j,)+X,o,(e,j,),式中,上面两式中，,x,r,(n),和,x,i,(n),都是实数序列，容易证明,X,e,(,e,j,),满足(2.2.21)式，个有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。,X,o,(,e,j,),满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。,最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的,FT,具有共轭对称性，虚部和,j,一起对应的,FT,具有共轭反对称性。,(,b),将序列分成共轭对称部分,x,e,(n),和共轭反对称部分,xo(n)，,即,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n)(2.2.25),将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：,将上面两式分别进行,FT，,得到,FT,x,e,(n)=1/2X(,e,j,)+X*(,e,j,)=ReX(,e,j,)=X,R,(,e,j,),FTx,o,(n)=1/2X(,e,j,)-X*(,e,j,)=,jIm,X(,e,j,)=,jX,I,(,e,j,),因此对(2.2.25)式进行,FT,得到：,X(,e,j,)=X,R,(,e,j,)+,jX,I,(,e,j,)(2.2.26),(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分,x,e,(n),对应着,FT,的实部,XR(,e,j,)，,而序列的共轭反对称部分,x,o,(n),对应着,FT,的虚部。,因为,h(n),是实序列，其,FT,只有共轭对称部分,He(,ej,)，,共轭反对称部分为零。,H(,e,j,)=H,e,(,e,j,),H(,e,j,)=H,*,(e-,j,),因此实序列的,FT,的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为,H,R,(,e,j,)=H,R,(e-,j,),H,I,(,e,j,)=-H,I,(e-,j,),按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到,h(n)=h,e,(n)+h,o,(n),h,e,(n)=1/2h(n)+h(-n),h,o,(n)=1/2h(n)-h(-n),因为,h(n),是实因果序列，按照上面两式,h,e,(n),和,h,o,(n),可以用下式表示：,(2.2.27),(2.2.28),实因果序列,h(n),分别用,h,e,(n),和,h,o,(n),表示为,h(n)=h,e,(n)u,+,(n),(2.2.29),h(n)=h,o,(n)u,+,(n)+h(o)(n),(2.2.30),(2.2.31),例 2.2.3,x(n)=,a,n,u,(n);0a1;,求其偶函数,x,e,(n),和奇函数,x,o,(n)。,解：,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n),按(2.2.2)式得到,按照(2.2.28)式得到,图 2.2.3 例2.2.3图,5.时域卷积定理,设,y(n)=x(n)*h(n),则,Y(e,j,)=X(e,j,)H(e,j,)(2.2.32),证明,令k=n-m,该定理说明，两序列卷积的,FT，,服从相乘的关系。对于线性时不变系统输出的,FT,等于输入信号的,FT,乘以单位脉冲响应,FT。,因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3,.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的,FT，,再作逆,FT,求出输出信号。,6.频域卷积定理,设,y(n)=x(n)h(n),(2.2.33),7.帕斯维尔(,Parseval,),定理,(2.2.34),帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|,X(e,j,)|2,在一个周期中的积分再乘以1/(2,)。,最后，表2.2.1综合了,FT,的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数,设 是以,N,为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数,(2.3.1),式中,a,k,是傅里叶级数的系数。为求系数,ak,，,将上,式两边乘以,，,并对,n,在一个周期,N,中求和,(2.3.2)式的证明，作为练习自己证明。因此,上式中，,k,和,n,均取整数，当,k,或者,n,变化时，,是周期为,N,的周期函数，可表示成,(2.3.2),-,k (2.3.3),取整数,上式中 也是一个以,N,为周期的周期序列，称为 的离散傅里叶级数，用,DFS(Discrete Fourier Series),表示。如对(2.3.4)式两端乘以,，,并对,k,在一个周期中求和，得到,同样按照(2.3.2)式，得到,(2.3.5),将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：,(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对,DFS。(2.3.5),式表明将周期序列分解成,N,次谐波，第,k,个谐波频率为,k=(2/N)k,k=0,1,2 N-1，,幅度为,。,其波分量的频率是2,/N，,幅度是,。,一个周期序列可以用其,DFS,表示它的频谱分布规律。,(2.3.6),(2.3.7),例 2.3.1设,x(n)=R4(n)，,将,x(n),以,N=8,为周期，进,行周期延拓，得到如图2.3.1(,a),所示的周期序列,，,周期为8，求 的,DFS。,解：按照(2.3.4)式,其幅度特性 如图2.3.1(,b),所示。,图 2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式,在模拟系统中，,，,其傅里叶变换是在,=,o,处的单位冲激函数，强度是2,，,即,(2.3.8),对于时域离散系统中，,x(n)=e,jon,，2/,o,为,有理数，暂时假定其,FT,的形式与(2.3.8)式一样，也是,在,=,0,处的单位冲激函数，强度为2,，,但由于,n,取,整数，下式成立,取整数,上式表示复指数序列的,FT,是在,02r,处的单位冲激函数，强度为2,如科2.3.2所示。但这种假定如果成立，要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在，且唯一等于,，,下面进行验证，按照(2.2.4)式,因此,e,j0n,的,FT,为,(2.3.9),图 2.3.2,的,FT,观察图2.3.2，在,区间，只包括一个单位冲激函数，等式右边为,，,因此得到下式：,证明了(2.3.9)式确定是,e,j,0n,的,FT，,前面的暂时假定是正确的。,对于一般周期序列,，,按(2.3.4)式展开,DFS，,第,k,次谐波为,，,类似于复指数序列的,FT，,其,FT,为,，,因此 的,FT,如下式,式中,k=0,1,2 N-1,如果让,k,在之间变化，上式可简化成,(2.3.10),表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,对(,a),式进行,FT，,得到,例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的,FT。,解：将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到,其幅频特性如图2.3.3所示。,图 2.3.3 例2.3.2图,对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其,DFS,和,FT,分别取模的形状是一样的，不同的是,FT,用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其,DFS,或者,FT,表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。,例 2.3.3令,，2,/,0,为有理数，求其,FT。,解：将 用欧拉公式展开,(2.3.11),按照(2.3.9)式，其,FT,推导如下：,上式表明,cos,0,n,的,FT，,是在,=,0,处的单位冲激函数，强度为,，,且以2,为周期进行延拓，如图2.3.4所示。,图 2.3.4,cos,0,n,的,FT,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换,之间的关系,我们知道模拟信号,x,a,(t),的一对傅里叶变换式用下面公式描述,(2.4.1),(2.4.2),这里,t,与,的域均在之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即,连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：,采样信号 和连续信号,x,a,(t)，,它们分虽的傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：,下面我们研究如果时域离散信号,x(n)，,或称序列,x(n)，,是由对模拟信号,x,a,(t),采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：,x(n)=,x,a,(,nT,)(2.4.3),注意上面式中,n,取整数，否则无定义。,x(n),的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表,示，重写如下：,X(e,j,),与,X,a,(j),之间有什么关系，数字频率,与模拟频率,(f),之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将,t=,nT,代入(2.4.2)式中，得到,(2.4.4),令,，,代入上式后，再将,用,代替，得到,式中，因为,r,和,n,均取整数，,e,-j2,rn,=1，,交换求和,号和积分号得到,(2.4.5),在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率,与模拟信号的频率,(f),成线性性关系，如(1.2.10)式所示，重写如下：,=T,式中,T,是采样周期,T=1/,f,s,，,将(1.2.10)式代入(2.4.5),式得到,现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式，得到,(2.4.6),(2.4.7),上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换,X(,e,j,),和模拟信号,x,a,(t),的傅里叶变换,X,a,(j),之间的关系式，我们将(2.4.7)式与(1.5.5)式对比，得到结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的,FT,之间的关系一样，都是,X,a,(j),以周期,s,=2/T,进行周期延拓，频率轴上取值,的对应关系用(1.2.10)式表示。,在一些文献中经常使用归一化频率,f=f/,f,s,或,=/,s,，=/2，,因为,f、,和,，,都是无量纲，刻度是一样的，将,f、f、,的定标值对应关系用图2.4.1表示。,图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,例 2.4.1设,x,a,(t)=,cos,(2f,0,t)，f,0,=50 Hz,以采样频率,f,s,=200 Hz,对,x,a,(t),进行采样，得到采相信号 和时,域离散信号,x(n)，,求,x,a,(t),和 的傅里叶变换以及,x(n),的,FT。,解：,(2.4.8),X,a,(j),是,=2f,0,处的单位冲激函数，强度为,，,如图2.4.2(,a),所示。以,f,s,=200 Hz,对,x,a,(t),进行采样得到采样信号,，,按照(1.5.2)式,，与,x,a,(t),的关系式为,的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以,s,=2,f,s,为,周期，将,X,a,(,j),周期延拓形成，得到：,(2.4.9),如图2.4.2(,b),所示。将采样信号转换成序,列,x(n)，,用下式表示：,x(n)=,x,a,(,nT,)=,cos,(2f,0,nT),按照(2.4.7)式，得到,x(n),的,FT，,实际上只要将,=/T=,f,s,代入,中即可。,将,f,s,=200 Hz，f,0,=50 Hz，,代入上式，求括弧中公式为零时的,值，,=2,k/2，,因此,X(,e,j,),用下式表示：,(2.4.10),图 2.4.2 例2.4.1图,2.5 序列的,Z,变换,2.5.1,Z,变换的定义,序列,x(n),的,Z,变换定义为,(2.5.1),式中,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,z,平面。注意在定义中，对,n,求和是在之间求和，可以称为双边,Z,变换。还有一种称为单边,Z,变换的定义，如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立，,Z,变量取值的域称为收敛域。一,般收敛域用环状域表示,这种单边,Z,变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种,Z,变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边,Z,变换对信号进行分析和变换。,(2.5.1)式,Z,变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即,(2.5.3),图 2.5.1,Z,变换的收敛域,常用的,Z,变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,分子多项式,P(z),的根是,X(z),的零点，分母多项式,Q(z),的根是,X(z),的极点。在极点处,Z,变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。,对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到,FT,和,ZT,之间的关系，用下式表示,：,(2.5.4),式中,z=e,j,表示在,z,平面上,r=1,的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的,Z,变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的,Z,变换，可用(2.5.4)式，很方,便的求出序列的,FT，,条件是收敛域中包含单位圆。,例 2.5.1,x(n)=u(n)，,求其,Z,变换。,解：,X(z),存在的条件是|,z-1|1，,|z|1,由,x(z),表达式表明，极点是,z=1，,单位圆上的,Z,变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(2.5.4)式求,FT。,该序列的,FT,不存在，但如果引进奇异函数,()，,其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序,列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内,Z,变换是存在的。,2.5.2 序列特性对收敛域的影响,序列的特性决定其,Z,变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用,Z,变换是很有帮助的。,1.有限长序列,如序列,x(n),满足下式：,x(n)n,1,nn,2,x(n)=,0,其它,即序列,x(n),从,n,1,到,n,2,序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其,Z,变换为,设,x(n),为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与,n,1,、n,2,取值情况有关外，整个,z,平面均收敛。如果,n,1,0，,则收敛域不包括,z=0,点；如果是因果序列，收敛域包括,z=,点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,n,1,0，n,2,0,时，0,z,n,1,0,时，00,时，0,z,例 2.5.2求,x(n)=RN(n),的,Z,变换及其收敛域,解：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0,z。,但由结果的分母可以看出似乎,z=1,是,X(z),的极点，但同时分子多项式在,z=1,时也有一个零点，极零点对消，,X(z),在单位圆上仍存在，求,R,N,(n),的,FT，,可将,z=,e,j,代入,X(z),得到，其结果和例题2.2.1,中的结果(2.2.5)公式是相同的。,2.右序列,右序列是在,nn,1,时，序列值不全为零，而其它,nn,1,，,序列值全为零。,第一项为有限长序列，设,n,1,-1，,其收敛域为0|,z|。,第二项为因果序列，其收敛域为,R,x-,|z|，Rx-,是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为,R,x-,|z|。,如果是因果序列，收敛域定为,R,x-,|z|。,例 2.5.3求,x(n)=,a,n,u,(n),的,Z,变换及其收敛域,解：,在收敛域中必须满足|,a,z,-1|a|。,3.,左序列,左序列是在,nn,2,时，序列值不全为零，而在,nn,1,，,序列值全为零的序列。左序列的,Z,变换表示为,如果,n20,z=0,点收敛，,z=,点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为,Rx+),的圆内，收敛域为0|,z|0，,则收敛域为0|,z|R,x+,。,例 2.5.4求,x(n)=-,a,n,u,(-n-1),的,Z,变换及其收敛域。,X(z),存在要求|,a,-1,z|1，,即收敛域为|,z|R,x-,，,其收敛域为,R,x-,|z|R,x+,，,这是一个环状域，如果,R,x+,R,x-,，,两个收敛域没有公共区域，,X(z),没有收敛域，因此,X(z),不存在。,例 2.5.5,x(n)=a,|n|,，a,为实数，求,x(n),的,Z,变换及其收敛域。,解：,第一部分收敛域为|,az,|1，,得|,z|a|,-1,，,第二部分收敛域为|,az,-1,|a|。,如果|,a|1，,两部分的公共收敛域为|,a|z|a|,-1,，,其,Z,变换如下式：,|a|z|a|,-1,如果|,a|1，,则无公共收敛域，因此,X(z),不存在。,当0,aa，,求其逆,Z,变换,x(n)。,为了用留数定理求解，先找出,F(z),的极点，极点有：,z=a;,当,n0,时,z=0,共二个极点，其中,z=0,极点和,n,的取值有关。,n0,时，,n=0,不是极点。,n0,时，,z=0,是一个,n,阶极点。因此,分成,n0,和,n0,两种情况求,x(n)。,n0,时，,n0,时，增加,z=0,的,n,阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是,否满足，此处,n0，,只要,N-N0，(2.5.10),式就满足。,图 2.5.4 例2.5.6中,n|a,-1,|，,对应的,x(n),是右序列；,(2)|,a|z|z,-1,|，,对应的,x(n),是双边序列；,(3)|,z|a,-1,|,种收敛域是因果的右序列，无须求,n0,时的,x(n)。,当,n0,时，围线积分,c,内有,二个极点,z=a,和,z=a,-1,，,因此,最后表示成：,x(n)=(a,n,-a,-n,)u(n)。,(2),收敛域|,z|a|,这种情况原序列是左序列，无须计算,n0,情况，当,n0,时，围线积分,c,内没有极点，因此,x(n)=0。n0,时，,c,内只有一个极点,z=0，,且是,n,阶极点，改求,c,外极点留数之和,最后将,x(n),表示成,x(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1),(3),收敛域|,a|z|a,-1,|,这种情况对应的,x(n),是双边序列。根据被积函数,F(z)，,按,n0,和,n0,两情况分别求,x(n)。,n0,时，,c,内极点,z=a,x(n)=,Res,F(z),a=a,n,n0,时，,c,内极点有二个，其中,z=0,是,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外极点只有,z=a,-1,，,因此,x(n)=-,Res,F(z),a,-1,=a,-n,最后将,x(n),表示为,a,n,n,0,x(n)=x(n)=a,|n|,a,-n,n0,2.幂级数法(长除法),按照,Z,变换定义(2.5.1)式，可以用长除法将,X(z),写成幂级数形式，级数的系数就是序列,x(n)。,要说明的是，如果,x(n),是右序列，级数应是负幂级数；如,x(n),是左序列，级数则是正幂级数。,例 2.5.8已知,用长除法求其逆,Z,变换,x(n)。,解由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数,1-,az,-1,例 2.5.9 已知,求 其逆,Z,变换,x(n),。,解：由收敛域判定，,x(n),是左序列，用长除法将,X(z),展成正幂级数,3.部分分式展开法,对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆,Z,变换。,设,x(n),的,Z,变换,X(z),是有理函数，分母多项式是,N,阶，分子多项式是,M,阶，将,X(z),展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加,即得到原序列,x(n)。,设,X(z),只有,N,个一阶极点，可展成正式,观察上式，,X(z)/z,在,z=0,的极点留数就是系数,A,0,，,在,z=,z,m,的极点留数就是系数,A,m,。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出,A,m,系数(,m=0,1,2,N),后，很容易示求得,x(n),序列。,例2.5.10已知 ，求逆,Z,变换。,解,因为收敛域为2|,z|2。,第二部分极点,z=-3，,收敛域应取|,z|3。,查表2.5.1得到,x(n)=,a,n,u,(n)+(-3),n,u,(-n-1),一些常见的序列的,Z,变换可参考表2.5.1。,表2.5.1 常见序列,Z,变换,2.5.4,Z,变换的性质和定理,Z,变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。,1.线性,设,X(z)=ZTx(n),R,x-,|z|R,x+,Y(z)=ZTy(n),R,y,-,|z|,R,y,+,则,M(z)=ZTm(n),=,aX,(z)+,bY,(z),R,m-,|z|R,x-,R,y+,R,y-,时，则,M(z),不存在。,2.序列的移位,设,X(z)=ZTx(n),R,x-,|z|R,x+,则,ZTx(n-n,0,)=z-n,0,X(z),R,x-,|z|R,x+,(2.5.16),3.乘以指数序列,设,X(z)=ZTx(n),R,x-,|z|R,x+,y(n)=,a,n,x,(n),a,为常数,则,Y(z)=ZT,a,n,x,(n),=X(a,-1,z)|a|R,x-,|z|a|R,x+,(2.5.17),证明,因为,R,x-,|a,-1,z|R,x+,，,得到|,a|R,x-,|z|a|R,x+,。,4.序列乘以,n,设,则,(2.5.18),证明,5.复序列的共轭,设,则,证明,(2.5.19),6.初值定理,设,x(n),是因果序列，,X(z)=ZTx(n),(2.5.20),证明,因此,7.终值定理,若,x(n),是因果序列，其,Z,变换的极点，除可以有一,个一阶极点在,z=1,上，其它极点均,在单位圆内，则,(2.5.21),证明,因为,x(n),是因果序列，,因为(,z-1)X(z),在单位圆上无极点，上式两端对,z=1,取极限,终值定理也可用,X(z),在,z=1,点的留数，因为,(2.5.22),因此,如果单位圆上，,X(z),无极点，则,x()=0。,8.序列卷积,设,则,证明,W(z),的收敛域就是,X(z),和,Y(z),的公共收敛域。,例2.5.11已知网络的单位取样响应,h(n)=,a,n,u,(n),|,a|1，,网络输入序列,x(n)=u(n)，,求网络的输出序列,y(n)。,解：,y(n)=h(n)*x(n),求,y(n),可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用,Z,变换法。,由收敛域判定,y(n)=0,n0。,n0 y(n)=,Res,Y(z)z,n-1,1+,Res,Y(z)z,n-1,a,将,y(n),表示为,9.复卷积定理,如果,ZTx(n)=X(z)，R,x-,|z|R,x+,ZTy(n)=Y(z),R,y-,|z|R,y+,w(n)=x(n)y(n),则,W(z),的收敛域,(2.5.24)式中,v,平面上，被积函数的收敛域为,(2.5.24),(2.5.25),(2.5.26),证明,由,X(z),收敛域和,Y(z),的收敛域，得到,例2.5.12已知,x(n)=u(n),y(n)=a,|n|,，,若,w(n)=x(n)y(n)，,求,W(z)=ZTw(n),解：,因此,W(z),收敛域为|,a|z|；,被积函数,v,平面上收敛域为,max(|a|,0)|v|min(|a,-1,|,|z|)，v,平面上极点：,a、a,-1,和,z,c,内极点,z=a。,10.帕斯维尔(,Parseval,),定理,利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理。,那么,v,平面上，,c,所在的收敛域为,证明 令,w(n)=x(n)y*(n),按照(2.5.24)式，得到,按照(2.5.25)式，,R,x-,R,y-,|z|R,x+,R,y+,，,按照假,设，,z=1,在收,敛域中，令,z=1,代入,W(z),中。,如果,x(n),和,y(n),都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令,v=e,j,，,得到,(2.5.29),令,x(n)=y(n),得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维,尔定理(2.2.34)式是相同的。(2.5.28)式还可以表示成下式：,2.5.5 利用,Z,变换解差分方程,在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍,Z,变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。,设,N,阶线性常系数差方程为,(2.5.30),1.求稳态解,如果输入序列,x(n),是在,n=0,以前时加上的，,n,时,刻的,y(n),是稳态解，对(2.5.30)式求,Z,变换，得到,式中,(2.5.31),(2.5.32),2.求暂态解,对于,N,阶差分方程，求暂态解必须已知,N,个初始条件。设,x(n),是因果序列，即,x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,2.6 利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,2.6.1 传输函数与系统函数,设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列,(n),的响应，称为系统的单位脉中响应,h(n)，,对,h(n),进行傅里叶变换得到,H(e,j,),(2.6.1),一般称,H(,e,j,),为系统的传输函数，它表征系统的,频率特性。,设,h(n),进行,Z,变换，得到,H(z)，,一般称,H(z),为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对,N,阶差分方程(1.4.2)式，进行,Z,变换，得到系统函数的一般表示式,(2.6.2),如果,H(z),的收敛域包含单位圆|,z|=1，H(e,j,),与,H(z),之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,因果(可实现)系统其单位脉响应,h(n),一定满足当,n0,时，,h(n)=0，,那么其系统函数,H(z),的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。,系统稳定要求,，,对照,Z,变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为,r|z|，0r1,例2.6.1已知,分析其因果性和稳定性.,解：,H(z),的极点为,z=a，z=a-1，,如图2.5.5所示。,(1)收敛域,a,-1,|z|，,对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应,h(n)=(a,n,-a,-n,)u(n)(,参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。,(2)收敛域0|,z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应,h(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1)(,参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域,a|z|a,-1,，,对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应,h(n)=a|n|，,这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(,a),所示。,图2.6.1 例2.6.1图示,2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性,将(2.6.2)式因式分解，得到,(2.6.4),式中,A=b,0,/a,0,，,上式中,c,r,是,H(z),的零点，,d,r,是其极点。,A,参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点,c,r,和极点,d,的,分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,将(2.6.4)式分子分母同乘以,z,N+M,，,得到,设系统稳定，将,z=e,j,，,得到传输函数,(2.6.5),(2.6.6),设,N=M，,由(2.6.6)式得到,(2.6.7),在,z,平面上，,e,j,-,c,r,用一根由零点,c,r,指向单位圆上,e,j,点,B,的向量 表示，同样,e,j,-,d,r,用内极点指向,e,j,点,B,的向量 表示，如图2.6.2所示。,和,分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用,极坐标表,将,和,表示式代入(2.6.7)式，得到,(2.6.8),(2.6.9),系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率,从零变化到2,时，这些向量的终点,B,沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式(2.6.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特,性。,图2.6.2 频响的几何表示法,2.6.2 已知,H(z)=z,-1,，,分析其频率特性,解：由,H(z)=z,-1,，,极点为,z=0，,幅度特性,|,H(e,j,)|=1,相位特性,(,)=-,，,频响如图,2.6.3,所示。,用几何方法也容易确定，当,=0,转到,=2,时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,图2.6.3,H(z)=z-1,的频响,2.6.3 设一阶系统的差分方程为,y(n)=by(n-1)+x(n),用几何法分析其幅度特性。,解：由系统差分方程得到系统函数为,系统极点,z=b，,零点,z=0，,当,B,点从,=0,逆时旋转时，在,=0,点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在,=,时形成波谷。,z=0,处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。,图2.6.4 例2.6.3插图,2.6.4 已知,H(z)=1-z,-N,，,试定性画出系统的幅频特性。,解：,H(z),的极点为,z=0，,这是一个,N,阶极点，它不影响系统的频响。零点有,N,个，由分子多项式的根决定,N,个零点等间隔分布在单位圆上，设,N=8，,极零点分布如图2.6.5所示。当,从零变化到2,时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：,k=(2/N)k,k=0,1,2,(N-1)。,一般将具有如图2.6.5所,示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。,图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。,解：,零点：,极点：,设,N=8，z=1,处的极点零点相互抵消。这样极零点分布及其幅频特性如图2.6.6所示。,阶零点,图2.6.6,N=8,矩形序列极零点分布及幅度特性,