第四章 根轨迹分析法3_2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3,控制系统根轨迹绘制,1.,单回路控制系统根轨迹的绘制,2.,参量根轨迹的绘制,3.,正反馈系统根轨迹的绘制,3.,正反馈系统的根轨迹的绘制,闭环传函,闭环特征方程,正反馈系统的根轨迹方程,实轴上的根轨迹,渐近线与实轴的,夹角,出射角、入射角,注释：,负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或,180,根轨迹,正反馈,系统的根轨迹称为,零度根轨迹,绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的,10,条法则中，有,3,条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余,7,条法则对正、负反馈系统则是相同的。,（,1,）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的,右侧,实轴上，开环零点和极点数目之,和应为偶数,。,（,2,）根轨迹的渐近线：,渐近线与实轴的交点,a,常规根轨迹相同,渐近线,与正实轴的,夹角,应改为,=,180,2k,/(n-m)k=0,1,2,(,3),根轨迹的出射角和入射角：,离开开环极点,-p,a,时的,出射角,改为,a,=-,离开开环零点,-z,b,时的,入射角,改为,b,=-,正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根轨迹是,互补,的,例,4-20,设单位,正反馈,系统的开环传递函数为,试绘制,K,g,由 变化时的根轨迹。,解：,根据正反馈系统根轨迹的有关法则知：,（,1,）系统有,1,个零点,-z=-2,，,2,个极点,-p,1,2,=-1,j,。,共有,2,条根轨迹,分支,，由,-p,1,2,出发,。,（,2,）在开环复数极点,-p,1,上根轨迹的,出射角,按式（,4-52,）得,同理，,-p,2,上根轨迹的出射角为,（,3,）求根轨迹在实轴上的,会合点,令,计算,N(S)D(S)-N(S)D(S)=0,，得,(s,2,+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0,经整理后有,S,2,+4s+2=0,解之得,s,1,2,=-0.59,-3.41,（舍去）,所以，会合点出现于负实轴上,-0.59,处，根轨迹的,会合角,为,（,4,）,实轴根轨迹,存在于,2,，,+,）的区段。根轨迹两分支会合后，一条终止于开环零点,z,2,处，另一条经坐标原点一直往右趋于无穷远处。,其实这是,2,个极点、,1,个零点的问题，前面已证明过根轨迹呈圆弧状，圆心在,2,处，半径为,R,。故用圆规可迅速绘出，再加上实轴根轨迹即可。,极点在左半平面系统稳定,系统的阶跃响应与,闭环,零、极点,的分布密切相关,极点越靠近虚轴，动态性能越差,零点的加入可以使调节时间缩短,稳态误差与系统的无差度和开环放大系数有关,其中，,a,i,为对应极点的留数。从而系统的时间响应为,假设,n,阶系统的,闭环,传递函数,则系统在单位阶跃信号作用下的输出表达式可用,部分分式展开,成,零点位置对阶跃响应的影响,1.,画出系统的根轨迹图,2.,在根轨迹上确定闭环零、极点的位置,3.,根据系统,闭环零极点的分布,分析系统,的性能,用根轨迹法,分析,控制系统的步骤,:,根轨迹图可以直观地看到,闭环系统极点,的分布,如何找出,想要,的闭环极点？,如何分析系统性能？,闭环零点,的分布？,加入开环零极点对根轨迹,位置的影响？,4.4,求取,闭环,系统零、极点的方法,1.,求取闭环系统极点的方法,绘出系统的根轨迹图,作出,等阻尼线,=arccos,求出与根轨迹的交点。此,交点,为闭环系统的一个极点,由根轨迹的对称性可等到闭环系统的另一个极点,由闭环系统极点和开环系统极点之间的关系可得到闭环系统的其他极点,例,4-22,已知单位反馈系统的开环传递函数为,试应用根轨迹法,求,取具有阻尼比,0.5,的共轭闭环主导极点和其它的,闭环极点,，并,估算,此时系统的,性能指标,。,解：,将开环传递函数改写成零、极点的形式得,式中，,K,g,=4K,，,K,为开环放大系数，,K,g,为根轨迹增益。,图,4-30,为当,K,g,变化时的根轨迹。其中,实轴,上,-1,0,以及（，,-2,是根轨迹区段，实轴上根轨迹的,分离点,落在（,0.465,，,j0,）处。两条根轨迹与,虚轴,有,交点,，交点处对应的临界增益,K,gp,20,。,当,K,5,时,，根轨迹引伸至右半,s,平面，表明系统具有一对实部为正数的共轭复根，此时,系统不稳定,。因此，为使系统,稳定,，开环传递系数的取值范围应是,0,K5,。,为了确定满足,0.5,条件时系统的,3,个闭环极点，首先作出,0.5,的等阻尼线,OA,，它与负实轴的夹角为,如图,4-30,的点划线所示。,等阻尼线,OA,与根轨迹,的,交点,即为相应的闭环极点,s,1,，,s,1,0.40,j0.69,另一共轭复数极点为,s,2,0.4,j0.69.,再根据闭环极点之和等于开环极点之和的法则,s,1,s,2,s,3,p,1,p,2,p,3,可求得对应的,第三个闭环极点,为,s3,（,0,1,4,）（,0.4,j0.69,0.4,j0.69,）,4.20,根据根轨迹方程的幅值条件可得对应于,-s,1,点的根轨迹增益为,其对应的开环传递系数,K,0.675,。,在所求得的,3,个闭环极点中，极点,-s,3,（实数极点）与极点,-s,1,（或,s,2,）的模值之比,可根据由,s,1,、,s,2,所构成的二阶系统来估算本例的三阶系统的,性能指标,。,该二阶系统的阻尼比,0.5,，而自然振荡频率,n,为,在单位阶跃函数作用下，系统的动态性能指标为,系统的静态误差系数可按第三章的有关公式直接由开环传递函数计算获得，即,因为系统属,型系统，所以在位置,阶跃输入,作用下无稳态误差，而在单位,斜坡,给定信号,作用,下的稳态误差为,（,1,）单位反馈系统的闭环零点,设单位反馈系统的,开环传递函数,为,式中，,z,i,为开环零点；,p,j,为开环极点。,则系统的,闭环传递函数为,2.,求取闭环系统零点的方法,单位反馈系统的闭环零点等于开环传递函数的零点。,设非单位反馈系统的结构图如图,4-31,所示。,H(s),R(s),C(s),图,4-31,非单位反馈系统结构图,G,（,s,）,非单位反馈系统的闭环零点,则系统的闭环传递函数为,非单位反馈系统的闭环零点由,前向通道的零点,z,i,和,反馈通道的极点,p,l,所组成。,G(s),的极点与,H(s),的零点相抵消情况下的,闭环极点,G(s),1/H(s),R(s),C(s),图,4-32,非单位反馈系统等效结构图,H(s),R(s),C(s),图,4-31,非单位反馈系统结构图,G,（,s,）,例如，在,图,4-33,所示的含有速度反馈的系统，其闭环传递函数为,闭环特征方程为,这是三阶方程，表明闭环系统应有,3,个闭环极点。,对,控制系统的基本要求是,：闭环系统要,稳定,；动态过程的,快速性、平稳性要好,；,稳态误差要小,。,（,1,）要系统,稳定,，则全部闭环极点均应分布在,s,平面,的,左半,部。系统稳定与否，和闭环零点的位置无关。,（,2,）要系统,快速性好,，则,闭环极点,均应,远离虚轴,，以便使 阶跃响应中的每个分量都衰减的更快。,（,3,）要系统的平稳性好，,最佳阻尼系数,（,=0.707,）。,（,4,）离虚轴最近的闭环极点对系统的动态过程性能影响最大，起着决定性的主导作用，故称为主导极点。,（,5,）,闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近闭环极点的作用。,当某个零点和某个极点非常接近时，它们便称为一偶极子。偶极子靠的越近，则抵消作用越强。,3.,闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,1.,画出系统的根轨迹图,2.,在根轨迹上确定闭环,零、极点的位置,3.,根据系统,闭环零极点,的分布,分析系统的性能,用根轨迹法,分析,控制系统的步骤,:,根轨迹图可以直观地看,到,闭环,系统,极点,的分布,如何找出,想要,的闭环,极点？,如何分析系统性能？,闭环零点,的分布？,加入零极点对根轨迹,位置的影响？,(,校正问题,),4.5,增加开环零、极点对根轨迹的影响,（,1,）改变了根轨迹在实轴上的分布,（,2,）改变了根轨迹近线的条数、倾角及截距,（,3,）可通过加入一个零点，构成开环偶极子，抵消有损于系统性能的极点,（,4,）根轨迹曲线将,向左偏移,，有利于改善系统的动态性能，而且所加的零点越靠近虚轴，则影响越大,1.,增加开环零点对根轨迹的影响,（,1,）改变了根轨迹在实轴上的分布。,（,2,）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距,（,3,）改变了根轨迹的分支数,（,4,）根轨迹曲线将,向右偏移,，不利于改善系统,的动态性能，而且所增加的极点越靠近虚,轴，这种影响就越大。,2.,增加开环极点对根轨迹的影响,例,4-23,已知某系统的开环传递系数为,若给此系统增加一个开环极点,p,2,，或增加一个开环零点,z,2,。试分别讨论对系统根轨迹和动态性能的影响,。,解：,依据根轨迹的绘制法则，绘制出的根轨迹如图,4-36,所示。,j,0,-0.5,-1,(a),j,0,-0.422,-1,-2,(b),j,-1,-0.583,-2,0,(c),(a),原系统根轨迹；（,b,）增加极点后的轨迹；（,c,）增加零点后的轨迹,图,a,为原系统,的根轨迹；,图,b,为,增加极点,后,的根轨迹；,图,c,为,增加零点,后,的根轨迹。,增加极点,后根轨迹及其分离点都,向右偏移,增加零点,后使根轨迹及其分离点都,向左偏移,增加开环极点对系统动态性能是不利的,增加开环零点的效应恰恰相反,在工程设计中，常采用增加零点的方法对系统进行校正,例,4-24,单位反馈系统的开环传递函数为,试用根轨迹法讨论,增加开环零点,对系统稳定性的影响。,（,1,）开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益没有影响。,（,2,）若,开环偶极子位于,s,平面原点附近,，则由于闭环主导极点离坐标原点较远，故它对系统主导极点的位置及增益均无影响。但是开环偶极子显著影响系统的稳态误差系数，从而在很大程度上,影响,系统的,静态性能,.,3.,增加开环偶极子对根轨迹的影响,作业：,P188,4-5,4-6,4-8,4-10,